bài giảng hình họa

Phép chiếu song song Π i Cho mặt phẳng Πi, gọi là mặt phẳng hình chiếu Một đường thẳng s không song song với mặt phẳng Π i gọi là hướng chiếu... Hình chiếu của một đường thẳng không song

B à i gi ả ng

Biên soạn: TS Phạm Văn Sơn

Bộ môn hình họa – Vẽ Kỹ Thuật

Trường ĐHBK Hà Nội

Chương 1 phép chiếu

I Phép chiếu xuyên tâm

Π i

Cho mặt phẳng Πi, gọi là mặt phẳng

hình chiếu

Một điểm S không thuộc mặt

phẳng Π i gọi là tâm chiếu

II Phép chiếu song song

Π i

Cho mặt phẳng Πi, gọi là mặt phẳng

hình chiếu

Một đường thẳng s không song song với

mặt phẳng Π i gọi là hướng chiếu

Tính chất của phép chiếu song song

1 Hình chiếu của một đường thẳng không song song với hướng

s

Trường hợp đặc biệt 1: Hình chiếu của một đường thẳng song song

với hướng chiếu là một điểm

a

a i

M

LMi

Trường hợp đặc biệt 2: Một đường thẳng song song với mặt

phẳng hình chiếu thì song song với hình chiếu của nó

Mở rộng: một hình phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu

thì có hình chiếu bằng hình thật

Π

2 Hai đường thẳng song song (và không song song với hướng chiếu) thì hai hình chiếu song song

3 Phép chiếu song song bảo toàn thứ tự và tỷ số đơn của 3 điểm thẳng hàng

4 Một mặt phẳng song song với hướng chiếu thì hình chiếu của

nó suy biến là một đường thẳng

III Phép chiếu vuông góc

1.5 Tính chất của phép chiếu vuông góc

* Có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song, ngoài ra còn có các tính chất riêng A

B

Π i Đặc biệt:

+ A i B i AB là hình thang vuông

Tính chất 1

Hình chiếu của một đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng hình chiếu là một đường thẳng

Trờng hợp đặc biệt 1

Π i

Một đường thẳng song song với mặt phẳng hỡnh chiếu thỡ song song với hỡnh chiếu của nú

là hỡnh chữ nhật Trờng hợp đặc biệt 2

Tính chất 4

Π i

α

g Lα i

Một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu thì hình chiếu của

nó suy biến là một đường thẳng

M

M i

Tính chất bảo toàn góc vuông của phép chiếu vuông góc:

* Hình chiếu của một góc vuông nói chung không phải là một góc vuông;

* Hình chiếu của một góc vuông là một góc vuông chỉ khi cóít nhất một cạnh góc vuông song song với mặt phẳng hình chiếu và cạnh kia không vuông góc với mặt phẳng hình chiếu

Mở rộng:

i i

i

b a

b a

b

a ít nhất có một cạnh song

song với Π i

Tính chất 4

Tính phản chuyển của hình biểu diễn:

+ Với một điểm A, tìm được duy nhất một điểm A i

+ Cho A i là hình chiếu vuông góc của điểm A, ta không xác định được A

Vậy biểu diễn điểm A bằng một hình chiếu A i là không có tính phản chuyển

Ch ươ ng 2

§Điểm

IV

A 1 Gọi là hình chiếu đứng, A 2 Gọi là hình chiếu bằng

Độ cao của A: Vị trí tương đối của A so với Π 2 ; có dấu(+) khi A ở phía trên Π 2 ; có dấu âm khi A ở phía dưới Π 2 Có trị số bằng khoảng cách từ A đến Π 2 z A  AA2  A1 A x

Độ xa của A: Vị trí tương đối của A so với Π 1 ; có dấu(+) khi A ở phía trước Π 1 ; có dấu âm khi A ở phía sau Π 1 Có trị số bằng khoảng cách từ A đến Π 1 y A  AA1  A2A x

2) Tồn tại duy nhất 1 điểm A

Chú ý: A1Ax=Trị số độ cao của điểm A; A2Ax =Trị số độ xa của điểm A

2.2 Đồ thức của điểm trong hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

Ch ươ ng 3

Đường thẳng

3.1 Biểu diễn đường thẳng trên đồ thức

Có hai cách

1) Biểu diễn bằng cách xác định 2 điểm

2) Biểu diễn bằng cách cho 2 hình chiếu( Không cùng vuông góc với trục x)

3.1.1 Biểu diễn bằng cách xác định hai điểm

A

B

Π Nhắc lại tính chất phép chiếu (Hình chiếu của một đường thẳng):

áp dụng, ta có A 1 B 1 là hình chiếu đứng của AB; A 2 B 2 là hình chiếu bằng của AB

Một ví dụ khác về biểu diển đường thẳng qua hai điểm

3.1.2 Biểu diễn bằng cách xác định hình chiếu( không cùng vuông góc với trục x)

x

a1

a2

x

a1

a2

x

a1

a2

x

a1

a2Nếu cho hai hình chiếu cùng vuông góc với x, sẽ không xác định duy nhất a:

x

a1

a2

3.2 Điều kiện điểm thuộc đường thẳng

3.2.1 Đối với đường thẳng thường

Thí dụ áp dụng: Cho điểm I thuộc đường thẳng a Biết I1, tìm I2

3.2.1 Đối với đường thẳng cạnh

Thường áp dụng hai mệnh đề sau:

Điều kiện cần và đủ để điểm M thuộc

Thí dụ áp dụng: Cho điểm M thuộc đường thẳng AB Biết M 1 , tìm M 2

M'

3.3 Độ lớn thật của một đoạn thẳng và góc của nó so với các mặt phẳng hình chiếu

Bài toán: Cho đoạn thẳng AB xác đihnh bỏi các hình chiếu Hãy tìm độ dài thực của AB và góc của nó so với các mặt phẳng hình chiếu

1- Lấy A1B1làm một cạnh của tam giác vuông

3- Dùng 1 đường vuông góc với A1B1tại A1 hoặc B1, trên đó lấy 1 đoạn = yAB làm cạnh thứ hai của tam giác vuông

1- Lấy A2B2 làm mét cạnh của tam giác vuông

3- Dùng 1 đường vuông góc với A2B2tại A2 hoặc B2, trên đó lấy 1 đoạn = zAB làm cạnh thứ hai cửa tam giác vuông

3.4 Các đường thẳng có vị trí đặc biệt so với các mặt phẳng hình chiếu

Các đường thẳng song song với các mặt phẳng hình chiếu:

1) Đường bằng: Là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng

2) Đường cạnh: Là đường thẳng song song với mặt phẳng hình

chiếu cạnh và có hình chiếu đứng, hình chiếu bằng cùng vuông góc với x

Các đường thẳng vuông góc với các mặt phẳng hình chiếu:

3.5 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong không gian, hai đường thẳng có thể:

- Cắt nhau

- Song song

- Chéo nhau nếu không cắt nhau và không song song

3.5.1 trường hợp cả hai đường không phải là đường cạnh

M

M b

a

M b

a M

b

a

2 1

2 2

2

1 1

b) Hai đường thẳng song song:

1 1

//

//

//

b a

b

a b

c) Hai đường thẳng chéo

3.5.2 trường hợp một trong hai đường là đường cạnh

Nhận xét: Hai đường thẳng này không song song cho cắt nhau hoặc chéo nhau

a)Chéo nhau:

Trong trường hợp này, hai đường thẳng không cắt nhau thì chéo nhau

3.5.2 Trường hợp cả hai đường là đường cạnh

Bài toán : Vẽ giao điểm của đờng thẳng và các mặt phẳng hình chiếu Xét

3.5 Vết của đường thẳng

Đường thẳng a cắt tại điểm M, thỡ điểm M được gọi là vết đứng của đường thẳng a Đường thẳng a cắt tại điểm N, thỡ điểm N được gọi là vết bằng của đường thẳng a

Chương 4

Biểu diễn trên đồ thức

IIĐiều kiện điểm, đường thẳng thuộc mặt phẳng

Điều kiện đường thẳng thuộc mặt phẳng là đường thẳg đi qua 1 điểm của mặt phẳng và song song với một đường

III.Các mặt phẳng có vị trí đặc biệt so với các mặt phẳng hình chiếu

Mặt phẳng α cắt Π 2 theo đường thẳng n α thì đường thẳng đó gọi là vết bằng của α

Trong một mặt phẳng, các đờng bằng song song với nhau và

song song với vết bằng

V.Giao của đường thẳng với mặt phẳng Giao của hai mặt phẳng

g=αGβ(ABC)

 g2 x

g2

M1

Phương pháp mặt phẳng phụ trợ giải bài toán giao của hai mặt phẳng:

k'2

Thí dụ áp dụng

Vẽ giao tuyến của hai mặt phẳng cho bằng vết

V.Đường thẳng song song với mặt phẳng

Hai mặ phẳng song song

1 Đường thẳng song song với mặt phẳng

Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng là đường thẳng này phải song song với một đường thẳng của mặt phẳng

α

a

b

Thí dụ áp dụng: Vẽ t 2 biết đường thẳng t đi qua M và song song với mặt phẳng α(ABC)

M1

M2

B1

Vẽ mặt phẳng α(ABC) song song với đường thẳng t

1 Hai mặt phẳng song song

Điều kiện để hai mặt phẳng song song là mặt phẳng này chứa 2 đường thẳng cắt nhau tương ứng song song với 2 đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng kia

Thí dụ áp dụng: Qua điểm M vẽ mặt phẳng β song song với

là β(t,k)

Qua điểm M vẽ mặt phẳng β song song với mặt phẳng α(mα,nα)

VI.Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng đó

i i

Một số bài toán cơ bản:

Bài toán 1: Cho đường thẳng d, Qua điểm M hãy vẽ mặt phẳng α vuông góc với d

vẽ

* Qua M2 vẽ đường thẳng vuông góc với d2

α Chọn 2 đường đó lần lượt là đường bằng h và đường mặt f

dα dh MÆt kh¸c h//2 suy ra

d2h2  c¸ch vÏ h

dα df Mặt khác h//1 suy

ra d2f1  cách vẽ f Mặt phẳng α xác định bởi h và f là mặt phẳng cần vẽ

Bài toán 2: Cho mặt phẳng α, Qua điểm M hãy vẽ đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng α

Bài toán 2: Cho mặt phẳng α, Qua điểm M hãy vẽ đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng α

Ch ươ ng 5

các phép biến đổi hình

chiếu

Ch ươ ng 6

đa diện

đa diện

Chãp(th¸p) L¨ng trô §a diÖn bÊt kú

đa diện là măt kín được tạo thành bởi các đa giác phẳng (lồi) gắn liền với nhau bởi các cạnh của chúng

Biểu diễn đa diện

Trên đồ thức, đa diện được biểu diễn thông qua biểu diễn các cạnh của chúng với qui định: các mặt của đa diện là không trong suốt

M1=N1

M2=

N2

+ + - -

Giao mặt phẳng với đa diện

Giao của một mặt phẳng với một đa diện là một đa giác phẳng

mà mọi đỉnh của nó là giao điểm của 1 cạnh đa diện với mặt phẳng, mỗi cạnh của nó là giao của mặt phẳng với một mặt của đa diện

Giao của hai đa diện

không gian khép kín mà mọi đỉnh là giao điểm của một

giao của một mặt đa diễn này với một mặt đa diện kia

Cách vẽ giao tuyến:

mặt đa diện kia và ngược lại, ta được các đỉnh của giao tuyến

+ Nối các đỉnh của giao tuyến theo nguyên tắc: Hai điểm được nối với nhau nếu vừa thuộc một mặt của đa diện này, vừa thuộc một mặt của đa diện kia Cạnh đó chỉ thấy khi nó thuộc cả hai mặt thấy