Hình học 12 chuong 2Hình học 12 chuong 2Hình học 12 chuong 2Hình học 12 chuong 2Hình học 12 chuong 2Hình học 12 chuong 2Hình học 12 chuong 2Hình học 12 chuong 2Hình học 12 chuong 2Hình học 12 chuong 2Hình học 12 chuong 2Hình học 12 chuong 2Hình học 12 chuong 2Hình học 12 chuong 2Hình học 12 chuong 2
Trang 1Chọn gĩc nhọn là
cạnh ối i cạnh uyề ïc
đ o n
đ h
h
cạnh ề hông cạnh uyền ư
cạnh ối oàn cạnh
t k
đ
cạnh ề ết cạnh ối đ oàn
Chọn gĩc nhọn là
cạnh ối i cạnh uyề ïc
đ o n
đ h
h
cạnh ề hông cạnh uyền ư
cạnh ối oàn cạnh
t k
đ
cạnh ề ết cạnh ối đ oàn
A
a
Cạnh kề
Cạnh đối Cạnh huyền
KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Các hệ thức lượng trong tam giác vuơng:
Cho tam giác ABC vuơng tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến Ta cĩ:
2 Các tỉ số lượng giác của gĩc nhọn trong tam giác vuơng:
3 Các hệ thức lượng trong tam giác thường:
a Định lý cosin:
*
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2bc
2ac
2ba
B
A
BC2 =AB2 +AC2
AH BC =AB AC.
AB2=BH BC AC , 2=CH CB.
12 12 12, AH2 HB HC.
AH =AB +AC =
2AM =BC
Trang 2b Định lý sin:
c Công thức tính diện tích tam giác:
d Công thức tính độ dài đường trung tuyến:
4 Định lý Thales:
A
c
a
b
- nửa chu vi
- bán kính đường tròn nội tiếp
p r
ABC
ABC
abc
4R
*p p p a p b p c
2
2
2
-A
N K
M
A
N M
2 2
/ /
AMN ABC
k
D D
* =��� ��=
� (Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng)
(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC)
A
a
R
Trang 35 Diện tích đa giác:
a Diện tích tam giác vuông:
Diện tích tam giác vuông bằng ½
tích 2 cạnh góc vuông
b Diện tích tam giác đều:
Diện tích tam giác đều:
Chiều cao tam giác đều:
c Diện tích hình vuông và hình chư
nhật:
Diện tích hình vuông bằng cạnh bình
phương
Đường chéo hình vuông bằng cạnh
nhân 2.
Diện tích hình chữ nhật bằng dài
nhân rộng
d Diện tích hình thang:
SHình Thang 1
2
= (đáy lớn + đáy bé) x chiều cao
e Diện tích tứ giác có hai đường chéo
vuông góc:
Diện tích tứ giác có hai đường chéo
vuông góc nhau bằng ½ tích hai đường
chéo
Hình thoi có hai đường chéo vuông
góc nhau tại trung điểm của mỗi đường
b CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC
1 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng :
A
D
( )
2
AD BC AH
� =
B
1 2
ABC
A
B
C
a
h
2 3 4 3 2
ABC
a S
a h
D
�
�
�
� � �
� =
�
�
C D
2
2
HV
�
�
� ��
�
A
B
D
2
H Thoi
Trang 4( )
( ) ( )
d
d
a
a a
�
�
� ��
�
�� ��
( )
d
a b
�
�
��
�
�
P
P (Hệ quả 1, trang 66, SKG HH11)
'
( )
d
a
�
�
�
P
d
d
(Tính chất 3b, trang 101, SKG HH11)
2 Chứng minh hai mặt phẳng song song:
a a bb
a b O
�
�
�
P
( ) ( ) ( ) ( )
Q Q
a
b
�
��
�
�
�
P
P
( ) ( )
( )
d d
b
�
�
�
P (Tính chất 2b, trang 101, SKG HH11)
3. Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau
Hai mặt phẳng ( ),a b( ) có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song
,
a bthì giao tuyến của chúng đi qua điểm S cùng song song với a,B.
( )
( )
S
a b
�
�
�
�
�
P P P
(Hệ quả trang 57, SKG HH11)
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng ( )a Nếu mặt phẳng ( )b chứa a và cắt
( )a theo giao tuyến b thì b song song với a
( ) ( )
( ),
( )
a
b b
�
� ����
�
P
P
a
a (Định lý 2, trang 61, SKG HH11)
Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó
( ) ( )
( ) ( )
b a
�
�
�
P
P
=d ,d d (Định lý 3, trang 67, SKG HH11)
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau
Trang 5( )
( )
d
d
a
a
�
�
�
�^ ��
d d (Tính chất 1b, trang 101, SKG HH11)
Sử dụng phương pháp hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Talét đảo, …
4 Chứng minh đường thẳngvuông góc với mặt phẳng:
Định lý (Trang 99 SGK HH11) Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy
( )
{
( )
( )
}
a
�
�
�
Tính chất 1a (Trang 101 SGK HH11) Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng
nào vuông góc với đường thẳng này thì vuông góc với đường thẳng kia
( )
�
� �
�� ^
�
�^ ��
P
d d
Tính chất 2a (Trang 101 SGK HH11) Cho hai mặt phẳng song song Đường thẳng
nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia
( ) ( )
( ) d ( )
d
a b
�
�
�� ^
�
�
P
Định lý 2 (Trang 109 SGK HH11) Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc
với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
P
d
a
b
�
�
�
�
Định lý 1 (Trang 108 SGK HH11) Nếu hai mặt phẳng vuông góc thì bất cứ đường
thẳng nào nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến đều vuông góc với mặt
phẳng kia.
( ) ( )
( ) ( )
( ), ( )
P
a
a
a
�
�
�
�
5 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
Cách 1: Dùng định nghĩa: a^ �b ( )a b�, =90 0
Hay a^ � ^ �b ar br abr.r = �0 a b cos a br r ( )r,r =0
Cách 2: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song
thì phải vuông góc với đường kia
b//c
�
�� ^
�
�
Cách 3: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với
mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó
Trang 6( )
a
b
a
a
�
�� ^
�
�
Cách 4: (Sử dụng Định lý Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng b nằm trong mặt
phẳng ( )P và a là đường thẳng không thuộc ( )P đồng thời không vuông góc với
( )P Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của a trên ( )P Khi đó b vuông góc với a khi và
chỉ khi b vuông góc với a’
( )
'
�� ^ � ^
�
Cách khác: Sử dụng hình học phẳng (nếu được).
6.Chứng minh mp( )a ^mp( )b :
Cách 1: Theo định nghĩa: ( ) ( )a ^ b �(�( ) ( )a , b ) =90 0Chứng tỏ góc giữa hai mặt
phẳng bằng 90�
Cách 2: Theo định lý 1 (Trang 108 SGK HH11):
c HÌNH CHÓP ĐỀU
1 Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều
và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
Nhận xét:
Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau Các
mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau
Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
2 Hai hình chóp đều thường gặp:
a Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S ABC Khi
đó:
Các mặt bên là các tam giác cân tại S
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO� =SBO� =SCO� .
Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO� .
AB
Lưu y: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều.
Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều.
Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh
đáy.
b Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S ABCD
Các mặt bên là các tam giác cân tại S
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:SAO� =SBO� =SCO� =SDO� .
B
A
C
D S
O I
B
S
O
Trang 7B
Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO� .
d THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1 Thể tích khối chóp: 1 .
3
V = B h
:
B Diện tích mặt đáy
:
h Chiều cao của khối chóp
2 Thể tích khối lăng trụ: V =B h
:
B Diện tích mặt đáy
:
h Chiều cao của khối chóp
Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng là
cạnh bên
3 Thể tích hình hộp chữ nhật:
V =abc
�Thể tích khối lập phương: V =a3
4 Tỉ số thể tích:
.
.
S A B C
S ABC
=
5 Hình chóp cụt ABC A B C ���
3
h
V = B +B�+ BB�
Với B B h, ,�là diện tích hai đáy và chiều cao.
C D S
O
C A
B
B’
A B
C
A’
B’
C’
a
b
c
a
S
A
C
’
C
Trang 8B CÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
NHẬN BIẾT Câu 1 Số mặt của một khối lập phương là:
Câu 2 Hai khối đa diện được gọi là bằng nhau nếu:
A Các cạnh tương ứng của hai khối đa diện bằng nhau
B Các mặt tương ứng của hai khối đa diện bằng nhau
C Các cạnh và các mặt tương ứng của hai khối đa diện bằng nhau
D Có một phép dời hình biến hình này thành hình kia
Câu 3 Có bao nhiêu loại khối đa diện?
Câu 4 Trong các hình đa diện sau hình nào có tâm đối xứng?
đều
Câu 5 Khối đa diện bên có bao nhiêu mặt?
INCLUDEPICTURE
"https://i1.wp.com/www.k6-geometric-shapes.com/image-files/pyramid.jpg" \* MERGEFORMATINET
Câu 6 Khối đa diện bên có bao nhiêu đỉnh?
INCLUDEPICTURE
"http://image.elib.tlvnimg.com/document/thumbnail/collection/240x160/442328-722_1426644880.jpg" \* MERGEFORMATINET
Câu 7 Có bao nhiêu khối đa diện đều?
Câu 8 Cho khối đa diện đều p q; , chỉ số p là
C Số cạnh của đa diện.D Số đỉnh của đa diện.
Trang 9Câu 9 Cho khối đa diện đều p q; , chỉ số q là
A Số đỉnh của đa diện.B Số mặt của đa diện.
C Số cạnh của đa diện.D Số các mặt ở mỗi đỉnh.
Câu 10 Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a
A
3 2
12
a
3 2 4
a
3 6
a �
Câu 11.Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A Hình lập phương là đa điện lồi B Tứ diện là đa diện lồi
C Hình hộp là đa diện lồi D Hình tạo bởi hai tứ diện đều ghép với nhau là một đa diện lồi
Câu 12 Trong các hình dưới đây hình nào không phải đa diện lồi?
Câu 13 Khối đa diện đều loại {3;3} có số cạnh mỗi mặt là:
Câu 14 Khối đa diện đều loại {3;4} có số cạnh mỗi mặt là:
Câu 15 Khối đa diện đều loại {3;5} có số cạnh mỗi mặt là:
Câu 16 Khối đa diện đều loại {4;3} có số cạnh mỗi mặt là:
Câu 17: Khối đa diện đều loại {5;3} có số cạnh mỗi mặt là:
Câu 18 Khối đa diện đều loại {3;3} thì mỗi đỉnh là đỉnh chung của bao nhiêu mặt?
Câu 19 Khối đa diện đều loại {3;4} thì mỗi đỉnh là đỉnh chung của bao nhiêu mặt?
Câu 20 Khối đa diện đều loại {3;5} thì mỗi đỉnh là đỉnh chung của bao nhiêu mặt?
Câu 21: Cho hình chóp S.ABC, có SA vuông góc với đáy, SA = a và đáy là tam giác vuông cân
đỉnh B, AB = BC = 2
2
a Thể tích V của khối chóp S.ABC theo a là:
A
3 4
a
3 6
a
3 12
a
3 2
a
V
Câu 22: Cho khối chóp S.ABC, có SA vuông góc với đáy, SA = a và đáy là tam giác vuông cân
đỉnh B, AC a 2 Thể tích V của khối chóp đó là:
Trang 10A
3 6
a
3 2 3
a
3 3
a
3 2
a
V
Câu 23: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tạiB , AB a ,BC a 3 ,
SA vuông góc với mặt đáy, SA 2a Thể tích khối chóp S.ABC theo a là:
3 3
3
a
3
a
3
a D
Câu 24: Cho khối chóp S.ABC, có SA vuông góc với đáy, SA = a và đáy là tam giác vuông tại
đỉnh B,AC a 2, �ACB30 0. Thể tích của khối chóp đó là:
A
3
3
12
3 4
3 6
2 9
a
V
Câu 25: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a và AC =a 3 Thể
tích của khối chóp S.ABC là 3
3
a Chiều cao của khối chóp S.ABC là:
3
2
2
9
a
Câu 26: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA(ABC), AB a ,
2
BC a , SB a 3 Thể tích của khối chóp S.ABC theo a bằng:
A
3
3
a
B 3
3 2 3
a
3
a
Câu 27: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA(ABC)vàSA a 2 Thể
tích của khối chóp S.ABC theo a bằng:
4
12
6
3
a
Câu 28: Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, cạnh bên
SA vuông góc với mặt đáy và SB =a 5 Tính thể tích V của khối chóp S ABC
3
a
2
a
6
a
V =
Câu 29: Một hình chóp tam giác có đường cao bằng 100cm và các cạnh đáy bằng 20cm, 21cm,
29cm Thể tích khối chóp đó bằng:
2
7000cm
Câu 30: Cho hình chóp S.ABC với SASB SB, SC SC, SAvà SA a SB , 2 ,a SC3a Thể tích của khối chóp S.ABC theo a là:
THÔNG HIỂU Câu 31: Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài đường cao không đổi thì thể tích S ABC tăng lên bao nhiêu lần?
2.
Câu 32: Cho S ABCD là hình chóp đều Tính thể tích khối chóp S ABCD biết AB a , SA a
Trang 11A a3 B
3
2 2
2 6
3
a
Câu 33: Cho hình chópS ABC có SAABC, đáyABC là tam giác đều Tính thể tích khối chóp S ABC biết AB a , SA a
12
4
3 3
a
Câu 34:Cho hình chóp S ABCD có SAABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật Tính thể tích
S ABCD biết AB a , AD2a, SA3a
3 3
a
�
Câu 35:Thể tích khối tam diện vuông O ABC vuông tại O có OA a OB OC , 2a là
A
3
2
3
3 2
3 6
Câu 36: Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc mặt đáy, tam giácABCvuông tạiA SA, 2cm
, AB4cm AC, 3cm Tính thể tích khối chóp
A 12 3
3
24
3
24
3
24cm
Câu 37: Thể tích của khối tứ diện đều, cạnh a là:
12
a
4
a
6
a
12
a
V
Câu 38: Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy a 3, cạnh bên bằng 2a Tính thể tích V của khối chóp S ABC
A
3
4
a
4
a
3
9 4
a
3
3 4
a
V =
Câu 39: Một hình chóp tam giác S.ABC có AB3cm AC, 4cm BC, 5cm, một cạnh bên bằng
4cmvà tạo với đáy một góc 300 Thể tích của khối chóp đó là:
Câu 40: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và đáy bằng
300 Thể tích khối chóp S.ABC theo a là:
36
12
2 12
24
a
Câu 41: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, BC=a 3,
SA vuông góc với mặt đáy Biết góc giữa SC và (ABC) bằng 600 Thể tích khối chóp
S.ABC theo a là:
A a3 B a3
Câu 42: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a , �BAC120o, biết SA(ABC)và SA=2a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
A 2 3 3
9
3
9
a D 2a3 3
Trang 12Câu 43: Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB =a,
ACB = , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SB tạo với mặt đáy một góc 450 Tính thể tích V của khối chóp S ABC
18
a
3
a
9
a
6
a
V =
Câu 44: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích là V Gọi M là trung điểm của BC Hãy tính thể tích
của khối DABM ?:
A 1
1
1
Câu 45: Cho khối chóp S.ABC, trên ba cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ sao cho
SA' = SA ; SB' = SB ; SC' = SC , Gọi V và V’ lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC
và S.A’B’C’ Khi đó tỉ số V'
V là:
1 24
Câu 46 Cho khối chóp có đáy là n giác Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A Số cạnh của khối chóp bằng n+1 B Số mặt của khối chóp bằng 2n
C Số đỉnh của khối chóp bằng 2n+1 D.Số mặt của khối chóp bằng số đỉnh
của nó
Câu 47 Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A Số cạnh của hình đa diện luôn lớn hơn hoặc bằng 8
B Số cạnh của hình đa diện luôn lớn hơn hoặc bằng 7
C Số cạnh của hình đa diện luôn lớn hơn hoặc bằng 6
D Số cạnh của hình đa diện luôn lớn hơn 6
Câu 48 Tổng số mặt số cạnh và số đỉnh của hình lập phương bằng :
Câu 49 Cắt hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ bởi mặt phẳng (AA’C’C) ta được hình nào sau
đây?
A Hình hộp đứng B Hình lăng trụ đều C, Hình lăng trụ đứng D Hình tứ diện
Câu 50 Số cạnh của một khối đa diện phải:
Câu 51 Cho hình tứ diện đều SABC, gọi S’ là đối xứng của S qua mặt phẳng (ABC) Khẳng
định nào dưới đây sai ?
A khối chóp SABC đều
B khối đa diện SABCS’ có 9 cạnh và 6 mặt
C SS’ là trục đối xứng của đa diện SABCS’
D khối đa diện SABCS’ có 4 mặt phẳng đối xứng
Câu 52 Cho tứ diện đều, khẳng định nào dưới đây sai ?
A 6 cạnh của tứ diện đều bằng nhau
B Chân đường cao vẽ từ một đỉnh là trọng tâm mặt đối diện
C Bốn trọng tâm của 4 mặt là 4 đỉnh của một khối tứ diện đều
Trang 13D.Các trung điểm của các cạnh tạo thành khối đa diện có 8 cạnh.
Câu 53 Hình nào dưới đây không phải là khối đa diện?
Câu 54 Nối tâm các mặt liên tiếp của hình lập phương thì được:
A Khối 8 mặt
B Khối đa diện có các cạnh đều bằng nửa cạnh lập phương
C khối đa diện có 12 mặt đều là tam giác
D Khối đa diện gồm 6 cạnh và 8 mặt
Câu 55 Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến đường thẳng ∆ thành chính nó khi và chỉ khi:
A. �(P) B./ /(P) C. (P)
D.�(P)hoa�c (P)
Câu 56 Hình chóp tứ diện đều có số mặt phẳng đối xứng bằng:
Câu 57 Hình chóp S.ABCD có SA (ABCD), ABCD là hình vuông, số mặt phẳng đối xứng của hình chóp bằng:
Câu 58 Nếu một tứ diện có các cạnh đối diện đôi một bằng nhau thì tổng các góc phẳng ở đỉnh
của tứ diện bằng:
3
D 2 3
Câu 59 Cho tứ diện S.ABC có các mặt SBC, ABC là tam giác đều cạnh a và SA = a Gọi O
là trung điểm của BC, kéo dài AO một đoạn OD = x để tứ diện S.BCD đều thì giá trị của x bằng:
4
3
3 a
Câu 60 Số cạnh của hình mười hai mặt đều là:
Câu 61 Số đỉnh của hình hai mươi mặt đều là: