Xác định tọa độ điểm A' là chân đường cao của tam giác ABC kẻ từ A c.. Xác định chân đường phân giác trong đỉnh O của tam giác OAB PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN A.. Kiến thức c
Trang 1HÌNH HỌC 12 -Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A Kiến thức cần nhớ
1 Tọa độ vectơ: Cho ar =(a ,a ,a , b1 2 3) r =(b , b , b1 2 3) Ta có
a br r± =(a1±b ;a1 2 ±b ;a2 3±b3) k.ar=(ka ;ka ;ka1 2 3)
a b
a b
=
=
r r
ar cùng phương 1 2 3
a
a a b
r
a.b a br r = 1 1+a b2 2+a b3 3 ar⊥ ⇔br a b1 1+a b2 2+a b3 3 =0
ar = a12+ +a22 a32 ( ) 1 1 2 2 3 3
a b a b a b cos a, b
a a a b b b
=
r r
2 Tọa độ điểm: Cho A(x y ;z ), B(x y ;z ),C(x y ;z )A; A A B; B B C; C C
ABuuur=(xB−x ; yA B−y ;zA B−zA)
ABuuur =AB= x −x + y −y + z −z
M là trung điểm của AB xA xB yA yB zA zB
G là trọng tâm tam giác ABC xA xB xC yA yB yC zA zB zC
3 Tích có hướng của hai vectơ: ar=(a , a , a , b1 2 3) r=(b , b , b1 2 3)
Tích có hướng của hai vec tơ ar và br là một vectơ, k/h: 2 3 3 1 1 2
a a a a
b b b b b b
r r
- Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng: a,b,cr r r
đồng phẳng ⇔ a, b c 0r r r =
- ar cùng phương br ⇔a, br r=0r
uuur uuur
1
S AB, AC
uuur uuur
1
V AB, AC AD
uuur uuur uuur
- Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D' : VABCD.A ' B'C ' D ' = AB, AD AA '
uuur uuur uuuur
B Các ví dụ và bài tập
1 Cho 3 điểm A(3 ; 1 ; -1), B(-2 ; 2 ; 3), C(0 ; 3 ; 2)
a Xác định tọa độ trọng tâm G và trực tâm H của tam giác ABC
b Xác định tọa độ điểm A' là chân đường cao của tam giác ABC kẻ từ A
c Gọi I là điểm chia đoạn HG theo tỉ số k = 3 Chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
2 Cho 4 điểm A(a ; 0 ; 0), B(0 ; a ; 0), C(0 ; 0 ; b), D(a ; a; b) với 0 a b< ≤
a Chứng minh AB vuông góc với CD
b Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD
Trang 2HÌNH HỌC 12 -Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com
3 Cho tứ diện S.ABC có A(1 ; 2 ; -1), B(5 ; 0; 3), C(7 ; 2 ; 2), SA vuông góc với (ABC) và S thuộc
mp(Oyz)
a Tìm tọa độ S b Tìm tọa độ giao điểm E của (ABC) và Ox
4 Cho 4 điểm A(-1 ; 2 ; 0), B(-3 ; 0 ; 2), C(0 ; 2 ; -1) và D(1 ; 4 ; 0) Chứng minh ABCD là một tứ
diện Tính thể tích của nó
5 Cho 2 điểm cố định A(1 ; 1; 0), B(0 ; 0 ; 1) và 2 điểm di động M(m ; 0 ; 0), N(0 ; n ; 0) (m, n R )∈ *+ a) Tìm quan hệ giữa m, n để OA ⊥MN
b) Tính thể tích của hình chóp B.OMAN
c) M, N di động sao cho m.n = 1 Tính m, n để VB.OMAN nhỏ nhất
6 Cho 4 điểm A(1 ; 1; 1), B(2 ; -1 ; 3), C(2 ; 1; 1) và D(3 ; 0 ; 2)
a Chứng minh A, B, D, C đồng phẳng
b Cho E(1 ; 3 ; 3) Chứng minh EA⊥(ABC) Tính thể tích tứ diện E.ABC
c Tính khoảng cách từ B đến (ACE)
7 Cho 4 điểm A(2 ; -1 ; 3), B(1 ; 3 ; -2), C(-1 ; 2 ; 3) và D(0 ; m ; p) Xác định m và p để 4 điểm A, B,
C, D theo thứ tự tạo thành hình bình hành
8 Cho 2 điểm A(-2 ; 1 ; 2) và B(1 ; -2 ; 2)
a Chứng minh OAB là tam giác vuông cân
b Tìm M thuộc Ox nhìn đoạn AB dưới một góc vuông
c Tìm tập hợp những điểm N thuộc mp(Oxy) nhìn đoạn AB dưới một góc vuông
9 Cho hai điểm A(1 ; 2; ;2) và B(8 ; 1; 4).
a Tính góc ·AOB
b Xác định chân đường phân giác trong đỉnh O của tam giác OAB
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A Kiến thức cần nhớ
1) Vectơ pháp tuyến, cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng:
* →n ≠→0là VTPT của mp(α) nếu: →n ⊥α
* Hai vectơ không cùng phương →a,→bđược gọi là cặp vectơ chỉ phương của (α) nếu chúng song song hoặc nằm trên (α) Khí đó:
→ →
b ,
a là vectơ pháp tuyến của (α)
2) Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B 2 + C 2 0≠ )
+ Mặt phẳng có phương trinh: Ax + By + Cz + D = 0 thì có VTPT: →n =(A;B;C)
+ Mặt phẳng qua M(x0 ; y0 ; z0) và có một VTPT là →n =(A;B;C) thì có pt:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 + Phương trình mp cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm (a ; 0 ; 0), (0 ; b ; 0), (0 ; 0; c) là:
1 c
z b
y a
x+ + = (phương trình theo đọan chắn) + MpOxy: z = 0 + Mp(Oyz): x = 0 + Mp(Ozx): y = 0
3) Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mp (Ptrình chùm mặt phẳng)::
Ax+By + Cz +D = 0 và A'x+B'y+ C'z + D'=0 là m(Ax + By + Cz + D) + n( A'x + B'y + C'z + D') = 0 (m, n không đồng thời = 0)
2
Trang 3HÌNH HỌC 12 -Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com
B Các ví dụ và bài tập Bài 1: Viết PT mp (P) qua A(-2 ; -1 ; 0) và song song với mp (Q): x - 3y + 4z + 5 = 0
Bài 2: Viết PT mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) Qua ba điểm A(1 ; -1; 2), B(2 ; 3 ; 0) và C(-2 ; 2 ; 2)
b) Mặt trung trực của AB
c) Qua C và vuơng gĩc với hai mặt phẳng (Q): x + y - 2z = 0 và (R): x - z + 3 = 0
Bài 3: Cho A(1 ; -1 ; 3), B(3 ; 0 ; 1) và C(0 ; 4 ; 5)
a) Viết phương trình mp(ABC)
b) Viết phương trình mp qua O, A và vuơng gĩc với (Q): x + y + z = 0
c) Viết phương trình của mặt phẳng chứa Oz và qua điểm P(2 ; -3 ; 5)
Bài 4
Trong khơng gian Oxyz, M(-4 ; -9 ; 12) và A( 2 ; 0 ; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M,
A và cắt Oy, Oz lần lượt tại B và C sao cho OB = 1 + OC (B, C khác O)
Bài 5:
Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua F(4 ; -3 ; 2) và vuơng gĩc với giao tuyến của hai mặt phẳng: (Q): x - y + 2z - 3 = 0 và (T): 2x - y - 3z = 0
Bài 6
Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua E(3 ; 4 ; 1) và vuơng gĩc với giao tuyến của hai mặt phẳng:(R): 19x - 6y - 4z + 27 = 0 và (K): 42x - 8y + 3z + 11 = 0
Bài 7
Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng: (P): x - 2y = 0,
(Q): 3x - 2y + z - 3= 0 và vuơng gĩc với mặt phẳng: (R): x - 2y + z + 5 = 0
Bài 8 Cho hai mặt phẳng: (P): 2x - y + z = 0, Q): x - 3y + 2 = 0
a) Viết phương trình của mặt phẳng (α) qua giao tuyến của (P), (Q) và song song với Ox
b) Viết phương trình mặt phẳng (β) qua giao tuyến của xOy và (Q) và tạo với 3 mặt phẳng tọa
độ một tứ diện cĩ thể tích bằng
36
125
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
A Kiến thức cần nhớ 1) Các dạng phương trình đường thẳng:
-Phương trình tham số:
x x a t
y y a t
z z a t
= +
= +
, với a (a ;a ;a )r= 1 2 3 là vectơ chỉ phương của đường thẳng
-Phương trình chính tắc: 0 0 0
x x y y z z
2) Cách xác định vị trí tương đối, tìm giao điểm của hai đường thẳng:
3) Cách viết phương trình đường thẳng:
Tìm một điểm và một VTCP (hoặc cặp VTPT) của đường thẳng → PTTS
CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
STT Bài toán Hình vẽ Cách giải
1
Viết phương
trình đường
thẳng đi qua
điểm M và cắt
2 đường thẳng
1, 2
B 1: - Gọi M1 (toạ độ có chứa tham số t) 1
- M2 (toạ độ có chứa tham số t’) 2
B 2: MMuuuuur1 và uuuuurMM2 cùng phương => t => M1
B 3 : Viết phương trình MM1 chính là phương trình đường thẳng
2 Viết phương
trình đường B 1: - Gọi M1 (toạ độ có chứa tham số t) 1
1
α α
2
1
α2
α1
2
M
M1
M2
Trang 4HÌNH HỌC 12 -Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com
thẳng song
song với d và
cắt cả 1 và 2
- M2 (toạ độ có chứa tham số t’) 2
B 2: M Muuuuuur1 2 và auurd cùng phương => t, t’ => M1, M2
B 3 : Viết phương trình M1M2 chính là phương trình đường thẳng
3
Viết phương
trình đường
thẳng đi qua
điểm M vuông
góc và cắt
đường thẳng d
Phương pháp 1
B 1: Gọi N (toạ độ có chứa tham số t) ∈ d
B 2: MN ⊥ d ⇔ MN auuuur uur d = 0 => t => M Phương trình chính là phương trình MN
Phương pháp 2
B 1 : Viết ptrình mặt phẳng(α ) qua M và vuông góc d
B 2 : Tìm H = (α ) ∩d
B 3: phương trình là phương trình đường MH
4
Viết phương
trình đường
thẳng đi qua
điểm M vuông
góc với đường
thẳng 1 và cắt
đthẳng 2
B 1 : Viết phương trình mặt phẳng(α ) qua M và vuông góc 1
B 2 : Tìm N = (α ) ∩(2)
B 3: phương trình là phương trình đường MN
5
Viết phương
trình đường
thẳng nằm
trong mặt
phẳng α và cắt
cả 2 đường
thẳng 1, 2
B 1 : Tìm M1 = 1 ∩(α )
B 2 : Tìm M2 = 2 ∩(α )
B 3 : là đường thẳng M1M2
7
Viết pt đường
thẳng nằm
trong mp(α ),
qua giao điểm
A của d và α ,
vuông góc d
B 1: Tìm điểm A = ∩(α )
B 2 : vtcp aqua A ,
d
Có n aα
r uur uur
B Các ví dụ và bài tập Bài 1: Lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua M(2; 3; -6) và song song với đường thẳng
1
x 1 y 2 z
d :
Bài 2: Cho A(2; 3; 5) và mặt phẳng (P): 2x + 3y - 17 = 0
a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuơng gĩc với (P)
b) Tìm giao điểm của d với trục Oz
Bài 3: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:
2
4 z 1
3 y 3
1
x− = − + = +
và song song với
đường thẳng d':
x 1 t
y 2 t
z 1 2t
= +
= +
= +
4
1
a u r
2
a uu r
1 M
M2 2
α1
α2
α
A d
M1
1
α
2
M2
M d
ra
α
ra N
Trang 5HÌNH HỌC 12 -Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com
Bài 4: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d:
x 1 t
y 2 t
z 1 2t
= +
= +
= +
và vgóc với mp(Q): 2x - y - z = 0
Bài 5: Lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm A(0;1;1), vuông góc với đường thẳng
1
x 1 y 2 z
d :
và cắt đường thẳng:
x 1 t
y 2 t
z 1 2t
= +
= +
= +
Bài 6: Lập phương trình đường thẳng d:
a) d qua A(1 ; 0 ; 3) và cắt hai đường thẳng: d1:
3
2 z 1
1 y 2
1
−
−
=
+
và d2:
3
2 z 2
2 y 1
x
−
−
=
+
=
− b) d vuông góc với (P): x - y - z - 3 = 0 và cắt hai đường thẳng:
d1:
3
4 z 2
3 y 1
1
x− = + = −
và d2:
2
2 z 1
1 y 1
x
−
−
=
+
=
c) d là hình chiếu của d :1 x 1 y 2 z
xuống măt phẳng: (P): x - y - z + 4 = 0
Bài 7: Lập phương trình đường thẳng d qua A(2 ; -5 ; 6), cắt Ox và song song với mp(P): x + 5y - 6z = 0 Bài 8: Tìm tọa độ hình chiếu của điểm A(1 ; -2 ; 1) lên mp(P): x + 5y - 6z = 0
Bài 9: Lập phương trình tham số của đường thẳng d cắt hai đường thẳng:
x+ y z− x− y− z
z 1
3 y 2
1 x
−
=
−
=
−
Bài 10: Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng:
+
=
+
=
−
=
+
−
=
+
−
=
−
=
t 2 2 z
t 1 y
t 6 x : d
; t 1 z
t 2 y
t 4 3 x :
Bài 11: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A(-4 ; -2 ; 4), cắt và vuông góc với đường thẳng:
x 3 y 1 z 1
d ' :
−
Bài 12: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:
x+ y z− x− y− z
a) Viết phương trình mặt phẳng chứa ∆1và song song với ∆2
b) Cho điểm M(2 ; 1 ; 4) Tìm tọa độ điểm H ∈∆2sao cho độ dài MH nhỏ nhất.
Bài 13: Trong không gian cho hai điểm A(2 ; 3 ; 0), B(0 ; -2; 0) và đường thẳng d:
2
2 z 1
1 y 1
x
−
−
=
+
= a) Lập phương trình mp(P) qua A và vuông góc với d
b) Tìm tọa độ N thuộc mặt phẳng (Q): x - 2y + z - 3 = 0 sao cho NA + NB nhỏ nhất
Trang 6HÌNH HỌC 12 -Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
A Tóm tắt lý thuyết
1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Cho 2 đường thẳng: (d) qua M0(x0 ;y0 ;z0), có VTCP u r
= ( a; b; c)
và (d’) qua M’0(x’0 ;y’0 ;z’0), có VTCP u ' ur
= ( a’; b’; c’) (d) và (d’) đồng phẳng ⇔ '
0 0
u, u ' M M 0
uuuuuur
r ur
(d) và (d’) cắt nhau ⇔ '
0 0
u,u ' M M 0
uuuuuur
r ur
và a:b:c ≠ a’:b’:c’
(d) // (d’) ⇔ a:b:c = a’:b’:c’≠ (x’0 – x0 ):(y’0 – y0) :(z’0 – z0)
(d) ≡ (d’) ⇔ a:b:c = a’:b’:c’ = (x’0 – x0 ):(y’0 – y0) :(z’0 – z0)
(d) và (d’) chéo nhau ⇔ '
0 0
u, u ' M M 0
uuuuuur
r ur
2 Vị trí tương đối của đường thẳng và của mặt phẳng :
Cho đường thẳng (d) qua M0(x0 ;y0 ;z0) , có VTCP u r
= ( a; b; c)
và mặt phẳng (α ): Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT nr =(A; B;C)
(d) cắt (α ) ⇔n.u 0r r ≠ ⇔ Aa +Bb +Cc ≠ 0
0
(d) / /( )
⊥
α ⇔
∉ α
⇔
Aa Bb Cc 0
Ax By Cz 0
(d) ⊂ (α ) ⇔
0
⊥
∈ α
⇔
Aa Bb Cc 0
Ax By Cz 0
Một số lưu ý:
1) Khi (d) cắt (α ) để tìm tọa độ giao điểm của (d) và (α ) ta giải hệ gồm các phương trình của (d)
và (α )
2) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α)
- Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua điểm M và (∆)⊥ (α)
- Tìm giao điểm của (∆) với (α) đó là điểm cần tìm
3) Tìm điểm M’ đối xưng với điểm M qua mặt phẳng (α)
- Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (α)
- M’ đối xứng với M qua (α) ⇔ H là trung điểm đoạn MM’
4) Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường đương thẳng (d)
- Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M và (α) ⊥ (d)
- Tìm giao điểm của (α) với (d) , đó là tọa độ H cần tìm
5) Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng (d)
- Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (d)
- M’ đối xứng với M qua (d) ⇔ H là trung điểm đoạn MM’
B Bài tập Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau, nếu chúng cắt nhau hãy tìm tọa độ giao điểm :
a) d: x− = y+ 2 =z
3
1
và d’
y t
x 1 t
= −
=
= +
b) d:
x 1 2t
y t
z 1 t
= −
=
= − −
và d’:x 2 y z 3
− = = +
c) d:
3
3 6
2 9
1= − = −
x
và d’:
2
5 4
6 6
7 = − = −
x
Bài 2 : Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng sau, nếu chúng cắt nhau hãy tìm tọa độ giao
điểm của chúng:
6
Trang 7HÌNH HỌC 12 -Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com
a) d:
4
3 1
2 2
1
−
+
=
−
=
x
và (α) : 4x + 2y – 8z +2 = 0 b) d:
1
3 1
2 2
1
−
+
=
+
=
x
và (α) : 2x + y – z –3 = 0
c) d:
+
=
+
=
+
=
t z
t y
t x
1
3 9
4 12
(α) : 3x + 5y – z – 2 = 0
Bài 3 Cho điểm M(2; 1; 4) và đường thẳng (d) :.
x 1
y 2 t
z 1 2t
= +
= +
= +
a) Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (d) b) Tìm điểm M’ đối xứng với M qua (d)
Bài 4 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho N( 2; -3; 1 ) và mặt phẳng (α) : x + 2y – z + 4 = 0
a) Tìm hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng
b) Tìm điểm N’ đối xứng với N qua (α)
Bài 5 Cho mặt phẳng (α) : 2x + y + x – 2 = 0 và đường thẳng (d) :
3
2 1
2
1
−
+
=
=
x
a) Chứng minh (d) cắt (α) b) Tìm tọa độ giao điểm A của (d) với (α)
− , (α) : x +3y – 2z – 5 = 0 Định m để:
a) (d) cắt (α) b) (d) // (α) c) (d) ⊥ (α)
KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
- Khoảng cách từ M(x0; y0; z0) đến mp (α): Ax + By + Cz = 0 là: ( ) 0 0 0
Ax By Cz D
d M ,( )
α =
- Khoảng cách từ điểm M1 đến đt ∆ đi qua M0 và có vectơ chỉ phương ur là: ( ) 0 1
1
M M ,u
d M ,
u
∆ =
uuuuuur r r
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ và ∆', trong dó:
∆ đi qua điểm M0 và có vectơ chỉ phương ur, ∆' đi qua điểm M0' và có vectơ chỉ phương u 'ur
( ) u, u ' M M '0 0
d , '
u,u '
∆ ∆ =
r ur uuuuuuur
r ur
Bài 1 Tính khoảng cách từ các điểm M1(1;-3;4) , M2( 0;4 ;1) , M3( 2;-1;0 ) đến mặt phẳng
(α) : 2x –2y + z – 5 = 0
Bài 2 Tính khoảng cách từ điểm A(1;1;3) tới đường thẳng ∆:
3
1 2
1 1
2
−
+
=
−
=
x
Bài 3 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :
(∆1):
1
1 1
2
1
−
−
=
−
=
x
và (∆2):
1
3 1
2 1
1
−
−
=
+
=
x
Bài 4 Cho đường thẳng d:
1
1 1
2
1
−
−
=
−
=
x
và mặt phẳng (α): x+ y + 2z – 4 = 0 Tính góc giữa d và (α)
Bài 5 Tìm trên Oz điểm M cách đều điểm A( 2; 3; -1 )và mặt phẳng:x + 3y +z –17 = 0
Bài 6 Cho đường thẳng (d):
x 1 2t
y 2 t
z 3t
= +
= −
=
và mặt phẳng (α) : 2x – y – 2z +1 = 0
Trang 8HÌNH HỌC 12 -Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com
Tìm các điểm M ∈ (d) sao cho khoảng cách từ M đến (α) bằng 3
Bài 7 Cho hai đường thẳng (d1):
5
4 3
3 2
2
−
+
=
−
=
x
và (d2):
1
4 2
4 3
1
−
−
=
−
−
=
x
Tìm hai điểm M, N lần lượt trên (d1) và (d2) sao cho độ dài đoạn MN nhỏ nhất
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU - ĐƯỜNG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN
A Kiến thức cần nhớ 1) Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a ; b; c), bán kính R:
(S) : (x a)− + −(y b) + −(z c) =R
- Phương trình: x2 + y2+ z2 +2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với A2 + B2 +C2 - D > 0 là phương trình mặt cầu tâm I(-A ; -B; -C), bán kính R = A2+B2 +C2−D
2) Giao của mặt cầu và mặt phẳng - Phương trình đường tròn:
(S) : (x a)− + −(y b) + −(z c) =R với tâm I(a ; b; c), bán kính R và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0
+ d(I, (P)) > R: (P) và (S) không có điểm chung
+ d(I, (P)) = R: (P) tiếp xúc (S)
+ d(I, (P)) < R: (P) cắt (S) theo đường tròn có tâm H là hình chiếu của I xuống (P), bán kính
r = R −d
Phương trình đường tròn trong không gian:
Ax By Cz D 0 (x a) (y b) (z c) R
Aa Bb Cc D
R
<
B Các ví dụ và bài tập Bài 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn (C): 2x 2y z 9 02 2 2
x y z 6x 4y 2z 86 0
Bài 2: Cho (S): x2 + y2 + z2 -2mx + 2my -4mz + 5m2 + 2m + 3 = 0
a) Định m để (S) là mặt cầu Tìm tập hợp tâm I của (S)
b) Định m để (S) nhận mặt phẳng (P): x + 2y + 3 = 0 làm tiếp diện
c) Định m để (S) cắt d:
x t 5
y 2t
z t 5
= +
=
= − +
tại hai điểm A, B sao cho AB 2 3=
Bài 3: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc Ox và tiếp xúc với hai mặt phẳng (Oyz)
và (P): 2x + y - 2z + 2 = 0
Một số bài toan hình học, đại số giải bằng hình giải tích
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của E = (2 - a)2 + (1 - b)2 + (1 - c)2 Biết rằng a, b, c thỏa điều kiện:
= +
−
+
= +
−
−
0 5
c
b
a
0 2 c
b
a
2
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại C
với AB = 2a, chiều cao từ C bằng 1; chiều cao hình lăng trụ bằng b
a Tính khoảng cách giữa B'C và AC' theo a và b
b Cho a, b thay đổi nhưng luôn thỏa a + b = 4 Tìm a, b để khoảng cách giữa B'C và AC' lớn nhất
Bài 3: Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện:
= + +
≤
≤
(2) 3 z y x
(1) 2 z y, x, 0 Tìm GTLN, GTNN của: u = x2 + y2 + z2
8
Trang 9HÌNH HỌC 12 -Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com
MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC LIÊN QUAN ĐẾN CHỦ ĐỀ
Bài 1 (D-2007)
Cho A(1;4;2), B(-1;2;4) và đường thẳng (d): x 1 y 2 z
1 1 2
− = + =
−
1 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mp(OAB)
2 Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ sao cho: MA2 + MB2 nhỏ nhất
Bài 2 (B-2007)
Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 2z – 3 = 0 và mp (P): 2x – y + 2z – 14 = 0
1 Viết phương trình mp (Q) chứa Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3
2 Tìm tọa độ điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất
Bài 3 (A-2007)
Cho hai đường thẳng 1
x y 1 z 2
d :
x 1 2t
d : y 1 t
z 3
= − +
= +
=
1 Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau
2 Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z = 0 và cắt cả hai đường thẳng d1, d2
Bài 4 (A-2008)
Cho A(2;5;3) và đường thẳng d: x 1 y z 2
2 1 2
− = = −
1 Tìm tọa độ hình chiếu của A trên d
2 Viết phương trình mp (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất
Bài 5 (B-2005)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0;-3;0), B(4;0;0), C(0;3;0); C1(0;0;4)
1 Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mp(BCC1B1)
2 Gọi M là trung điểm của A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, M và song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt A1C1 tại N Tính độ dài MN
Bài 6 (D-2010)
Chuẩn: Cho hai mặt phẳng (P): x + y + z – 3 =0 và (Q): x – y + z – 1 = 0 Viết phương trình mặt
phẳng (R ) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng các htu72 O đến (R) bằng 2
Nâng cao: Cho hai đường thẳng 1
x 3 t
d : y t
z t
= +
=
=
và d :2 x 2 y 1 z
Xác định tọa độ điểm M
thuộc d1 sao cho khoảng cách từ M đến d2 bằng 1
Bài 7 (A-2010)
Chuẩn: Cho đường thẳng :x 1 y 2 z 3
∆ = = và mặt phẳng (P): x – 2y + z = 0 Gọi C là giao điểm của ∆ và (P), M là điểm thuộc ∆ Tính khoảng cách từ M đến (P) biết MC = 6
Nâng cao: Cho A(0;0;-2) và đường thẳng : x 2 y 2 z 3
∆ = = Tính khoảng cách từ A đến ∆
Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8
Bài 8 (B-2010)
Chuẩn: Cho A(1;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) trong đó b, c dương và mặt phẳng (P): y – z +1 = 0.
Xác định b và c, biết mp(ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ O đến (ABC) bằng 1
3