Ta có :tứ giác ABCD là hình vuông... Gọi M là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức.. Số đo radian của mỗi gốc lượng giác tia đầu là Ox và tia cuối OM được gọi là acgumen của z.
Trang 1CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ĐỖ VĂN THỌ
BÀI 1: SỐ PHỨC A/Kiến thức căn bản:
1/ Định nghĩa số phức :
Số phức là một biểu thức có dạng : z=a+bi
Trong đó : + a và b là 2 số thực , i là số thỏa i2 = -1
+ i là đơn vị ảo, a là phần thực ,b là phần ảo
* Nhận xét :
z = a+bi là số thực Û phần ảo của z là b = 0
z = a+bi là số ảo Û phần thực của z là a = 0
Tập hợp C ={a bi a b R i+ / , Î , 2= - 1}là tập số phức
và RÌ C
2/ Hai số phức bằng nhau:
Cho hai số phức : z = a + bi và z' = a' + b'i
'
'
z z
b b
ìï = ï
= Û íï =
ïî và
0 0
0
a z
b
ìï = ï
= Û íï =
ïî
3/ Biểu diễn hình học của số phức:
y u r
M(a;b)
b
O a x
Mỗi số phức z = a + bi hoàn toàn được xác định bởi cặp số
(a;b) Điểm M(a;b) hoặc u r = ( ; ) a b trong mặt phẳng Oxy
được gọi là điểm hoặc vec tơ biểu diễn số phức z = a + bi
Ta còn kí hiệu M(a+bi) hay M(z)
+ Trục Ox còn được gọi là trục thực
+ Trục Oy còn được gọi là trục ảo
+ Mặt phẳng (Oxy) được gọi là mặt phẳng phức
4/ Môđun của số phức:
Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a;b)
hoặc u r = ( ; ) a b trong mặt phẳng Oxy
Khi đó : độ dài của vec tơ u r hay OM uuur được gọi là môđun
của số phức z
z =OMuuur = a +b
Lưu ý : Nếu M1 là điểm biểu diễn của số phức z1
M2 là điểm biểu diễn của số phức z2
Thì z2- z1 =M Muuuuur1 2 =M M1 2
5/ Số phức liên hợp của số phức:
Cho số phức z = a + bi , khi đó số phức liên hợp của số phức z
là z = + = - a bi a bi
Tính chất :
a/z = z b/z = z
c/ z là số thực Û z = z
d/ z là số ảo Û z = - z
e/ Trên mặt phẳng phức , các điểm biểu diễn z và z đối xứng
nhau qua trục hoành
Bài1
Tìm z và tính z với :
a/ z = -2+ 3i , b/z = 2 2i - , c/z=3 d/ z = -3i
Bài2
Cho z = (2a-1) + (3b+5)i với a và b là 2 số thực
a/ Tìm a và b để z là số thực b/ Tìm a và b để z là số ảo c/Tìm a và b để z = z' với z' = (-b+2) - (1+b)i
Bài3
Tìm số phức z thỏa : a/z = 2 và z là số ảo a/z = 5 và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của z
c/z = ( 2 + i ) (12 − 2 ) i .
d/ z = 2 và z2 là số thuần ảo
6/ Các phép toán trên tập số phức:
a/Phép cộng, trừ hai số phức :
Cho hai số phức : z = a + bi và z' = a' + b'i Khi đó :
z z ± = a a ± + ± b b i
Tính chất:
+Tính kết hợp : (z+z')+z'' = z+(z'+z'') +Tính giao hoán : z+z' = z'+z
+Cộng với số 0 : z+0 = 0+z = z +Nếu u r,u ur ' theo thứ tự biểu diễn của hai số phức z và z' thì u r+u ur 'biểu diễn của số phức z + z'
+Đặc biệt :
z + z = + z z và z z - ' = - z z '
Bài tập 4(SGK)
Cho hai số phức z = 2+3i , z' = 1+2i và z'' = 2-i a/Biểu diễn các số phức đó trong mặt phẳng b/Viết số phức liên hợp của mỗi số phức đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức
c/Viết số đối của mỗi số phức đó và biểu diễn chúng trên một mặt phẳng
Bài tập 5(SGK)
Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức , biết rằng một đỉnh biểu diễn số i
Bài tập6
Trong mặt phẳng phức , xác định các điểm biểu số phức z thỏa mản điều kiện sau:
a) z = z - 3 4 + i
Giải :
a/ áp dụng tính chất : z = z và z+z1= +z z1
Ta có :z = z- 3 4+ i ⇔z =z- 3 4+ i
⇔ z = -z 3 4- i
Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z=3+4i
và M là điểm biểu diễn của số phức z = x+yi Khi đó , z- 3 4- i =AMuuuur
Do đó z = -z 3 4- i ⇔ OM=AM Vậy tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng OA
Cách khác :
Gọi z = x+yi Þ z = x-yi
Ta có
Trang 2CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ĐỖ VĂN THỌ
( ) (2 )2
Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng (d) :6x+8y=25
b) z+ + =z 3 4 Vì z + + = z 3 2 x + 3 nên
z+ + =z ⇔ 2x +3=4 ⇔ (2x+3)2=16
1
2
x x
é
ê =
ê
Û ê + = -ê Û êê
= -ê
c) z z- + -1 i =2
Vì z z - + - 1 i=1+(2y-1)i nên
z z - + - i = ⇔1+(2y-1)2=4
⇔4y2-4y-2=0 ⇔
2
2
y
y
ê = ê ê
-ê = ê
Vậy tập hợp điểm M là hai đường thẳng có pt 1 3
2
d/Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn
các số phức z thỏa mãn điều kiện z – (3 – 4i)= 2
Gọi z = x + yi Ta có z – (3 – 4i) = x – 3 + (y + 4)i
Vậy z – (3 – 4i) = 2 ⇔ (x 3)− 2+ +(y 4)2 =2
⇔ (x – 3)2 + (y + 4)2 = 4
Do đđó tập hợp biểu diễn các số phức z trong mp Oxy là
đường tròn tâm I (3; -4) và bán kính R = 2
e/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn
các số phức z thỏa mãn điều kiện z i − = + (1 ) i z
b/phép nhân hai số phức :
Cho hai số phức : z = a + bi và
z' = a' + b'i
Khi đó :
z z = aa bb - + ab ba i +
Tính chất:
+Tính kết hợp : (z.z')z'' = z(z'.z'')
+Tính giao hoán : z.z' = z'.z
+Nhân với số 1 và số 0 : z.1 = 1.z = z và z.0 = 0
+Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
z(z'+z'') = z.z' + z.z''
+Đặc biệt :
' '
z z = z z , z z = z2= a2+ b2
*Chú ý : z2¹ z2 và z z ' = z z '
*(a+bi)(a'+b'i) = a.a'+a.b'.i+b.a'.i+b.b'.i2
= a.a'+a.b'.i+b.a'.i+b.b'.(-1)
= (a.a'-b.b') + (a.b' + b.a')i
( Phép nhân bình thường và lưu ý i2 = -1)
Bài7 (SGK)
Tính z+z' ; z-z' và z.z'
a/z= +5 2 ; 'i z = + , b/4 3i z= -2 3 ; 'i z = +6 4i
Bài8 (SGK)
Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số sau :
a/i + -(2 4 ) (3 2 )i - - i , b/( 2 3 )+ i 2
c/(2+3 )(2 3 )i - i , d/ (2i - i)(3+ i)
c/phép chia hai số phức :
*Số phức nghịch đảo : Cho số phức z = a + bi ( z khác 0) Khi đó , số phức nghịch đảo của z là : 1
2
================================
Nếu z = a + bi thì
1
Bài9
Tìm số phức nghịch đảo của các số phức sau a/z= + , b/1 2i z= -4 3i, c/z= -i
*Phép chia 2 số phức Cho hai số phức : z' = a' + b'i
z = a + bi ( z khác 0 ) Khi đó , phép chia của z' cho z là :
1 2
'.
z z
==============================
Nếu z' = a' + b'i
z = a + bi ( z khác 0
thì :z' a'.a+b'.b2 2 a.b'-a'.b2 2
i
=çç ÷÷+çç ÷÷
+Đặc biệt :
æ ö ÷
ç ÷=
ç ÷
ç ÷
çè ø ,
'
z
z = z
Bài10
z= - + i Hãy tính :
a/1
z, b/z , c/z d/2 ( ) z 3 e/ 1 z + + z2 Giải
z = - + i và
2 2
1
z = æ öçççç- ÷÷÷÷+æ öçççç ÷÷÷÷=
÷
-c/
z = -æççç + iö÷÷÷÷= -æ öçç ÷÷÷+ -æ öçç ÷÷÷æççç iö æ÷÷÷÷+ççç iö÷÷÷÷
-d/
( )
æ ö ÷ ê æ ö ÷ ú
= - ç ç - ÷ ÷ = - ê ç ç + ÷ ÷ ú
è ø ê ë è ø ú û
Trang 3CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ĐỖ VĂN THỌ
2
= - êç + ççç ÷÷ + çç ÷÷+çç ÷÷÷÷ú=
ç
e/ 1 z + + z2= = 0
Bài11
Thực hiện các phép tính sau
a/(1 - i )2 b/(2 3 ) + i 2 c/(1 + i )3+ 3 i
Bài12
Thực hiện các phép tính sau
(1+i)(4 3 )- i
=
(1 ).(4 3 )
(1 ).(16 9 )
=
-(1 ).(4 3 ) (1 1).(16 9)
=
7
50
i
50 50i
-b/ 5 6
4 3
i
i
- +
+
( ) ( )
( ) ( )
5 6 4 3
4 3 4 3
-=
25 25i
( ) ( ) ( ) ( )
7 2 4 3
4 3 4 3
-=
Bài13
Thực hiện các phép chia z cho z' trong các trường hợp sau:
a/z= -3 2 , 'i z = + b/2 i z= - +1 2, 'i z = -2 i
c/z=2, 'i z = - d/1 i z= -1 3 , 'i z = -i
B/Những bài tập căn bản:
Bài 14
Thực hiện các phép tính sau
a/A =1 7 17
2i i i
Ta có : i7=i i6 =( ) i2 3i = -( 1) 3i = -i
1
ç- + ÷= - + = - - =
b/B =
33
10
(1 ) (2 3 )(2 3 ) 1
i
æ+ ÷ö
ç
c/C =1 (1+ + + +i) (1 i)2+ +(1 i)3+ (1+ +i)10
(Dùng tổng của các số hạng trong cấp số nhân )
Bài 15
Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo ( với z là số phức tùy
ý sao cho biểu thức đã cho xác định )
a/ z2+( )z 2 b/ 3 3
( )
z z
-+ c/
2 ( )2
z z
-+ ( là số ảo )
Bài 16
Tìm tập hợp điểm M(z) trong các trường hợp sau:
1/z - 1 + = i 2
( quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I(1;-1) bán kính R = 2 )
2/1≤ z + - 1 i ≤ 2
-Xét số phức z = x+yi có điểm biểu diễn là M
và số phức z0 = -1+i có điểm biểu diễn A(-1;1)
Khi đó , 1≤ z + - 1 i ≤ 2 Û 1≤ AM ≤ 2 Vậy tập hợp điểm M là hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm A(-1;1) bán kính thứ tự là 1 và 2
3/z - 4 i +z + 4 i =10 4/2 z + =i - z (quỹ tích là đường thẳng : 4x+2y+3=0) 5/2 2 z+ =z z - + 2 i ( quỹ tích là (P):
2 4
x
y = )
6/z2- ( ) z 2 = 4 ( quỹ tích là hai Hypebol: y 1
x
7/z 2 i
z i
+
- là số thực ( tập hợp điểm M là trục ảo ( trục Oy) bỏ A(0;1) ) 8/z 2 i
z i
+
- là số ảo ( tập hợp điểm M là đường tròn
2
x +æçççy+ ö÷÷÷÷=
bỏ A(0;1) )
z i - = là số ảo
Bài 17
Cho z1 = 3+4i , z2 = 2-3i Hãy biểu diễn : z1 ; z2 ;z1 +z2 và
1
25
8i z
- lên mặt phẳng Oyz
Bài 18 (SGK)
Trong mặt phẳng phức, cho 3 điểm phân biệt A,B,C biểu diễn
3 số phức z1 , z2 ,z3 a/ Khi A,B,C không thẳng hàng thì trọng tâm G của V ABC biểu diễn số phức nào?
b/Khi z1 =z2 =z3 Chứng minh V ABC đều khi và chỉ
khi : z1+z2+z3=0
Bài 19
Tìm số phức z thỏa hệ thức :
1 1 /
3 1
z
z i a
z i
ìï
ïï -ïïí
ï
ïï + ïïî
/ 4 1 8
z
b z z
ìï
ïï -ïïí
ï
ïï -ïïî c/z (2 i)− + = 10 và z.z 25=
Bài 20
y
A 1 -1 O x
Trang 4CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ĐỖ VĂN THỌ
Giải các phương trình và hệ phương trình sau
1/ (2 3 )+ i z= -z 1
Ta có :(2+3 )i z= -z 1Û (1 3 )+ i z= - 1
i
-2/ (2- i z) - 4=0
i
+
i
3/
z
=
:
-2
z
-4/ z+2z= -2 4i
Đặt z= +x yi Þ z = -x yi
Ta có :
Û 3x yi- = -2 4i
2
3
ìï
4
3
2
5/ z + =z 0
ìï = -ïï
= + Þ íï
ïïî
Ta có :z2+ = Ûz 0 (x2- y2+x) (2+ xy y i- ) =0
xy y
ïï
4
z i
æ+ ÷ö
ç
3
7/ z = 8/i iz+ -2 i =0 9/ (2 3 )+ i z= - 10/ (2 3 )z 1 - i z- 4=0
2
11/ z + = Û4 0 (z- 2 )(i z+2 )i =0
4 2
ìï + + = +
ïï
íï
ïïî
13/ Tìm x và y biết:
ïí
14/ Tìm x ,y và z biết:
ïï
íï
ïïî
Đáp số : nghiệm của hệ là :
3 11
3 9
1 7
ìï = -ïï
ï = -íï
ï = -ïïî
Bài 21
Trong các số phức z thỏa mản điều kiện : 3
2 3
2
Số phức z nào có moodun nhỏ nhất ?
Bài 22
Cho số phức z=m+(m- 3) ,i m RÎ a/ Tìm m để điểm biểu diễn của số phức M(z) nằm trên đường thẳng (d): y = - x
b/ Tìm m để điểm biểu diễn của số phức M(z) nằm trên
y x
= - ( tự làm) c/Tìm m để khoảng cách từ điểm biểu diễn của z đến gốc tọa
độ bé nhất ?
Bài23
Cho số phức
1 ( 2 )
m i z
m m i
- +
=
-a/ Tìm m để 1
2
z z =
4
z i - £ c/ Tìm m để zlớn nhất ?
Bài24
Trong mặt phẳng phức , xét các điểm A,B,C theo thứ tự biểu
;(1 )(1 2 );
+
-a/ Chứng minh tam giác ABC vuông cân
suy ra : A(2;-2) +Ta có: (1 - i )(1 2 ) + i = + - - 1 2 i i 2 i2= + 3 i
suy ra B(3;1) +Ta có: 2 6 (2 6 )(3 ) 2
suy ra B(0;2)
Ta có : BC2 = 10 , BA2 =10 ; CA2 =20 Suy ra: BA = BC và BA2 + BC2 = CA2 vậy tam giác ABC vuông cân tại B b/ Tìm số phức biểu diễn bởi D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông
Ta có :tứ giác ABCD là hình vuông
1 1
x x x x x
BA CD
ï - = - ï =
ï - = - ï =
uuur uuur
suy ra D (-1;-1) Vậy số phức cần tìm là z = - - 1 i
Bài25
Trong mặt phẳng phức , xét các điểm A,B,C và A' ,B' ,C' theo thứ tự biểu diễn các số phức z1,z2,z3 và z'1,z'2,z'3
( A,B,C và A' ,B' ,C' đều không thẳng hàng) Chứng minh rằng : V ABC và V A B C ' ' ' có cùng trọng tâm khi và chỉ khi z1+ z2+ z3 = z'1+ z'2+ z'3
Bài26
Trang 5CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ĐỖ VĂN THỌ
Trong mặt phẳng phức , xét các điểm A,B theo thứ tự biểu
diễn các số phức z và 1
' 2
i
z = + z (z≠0) Chứng minh rằng : V OAB vuông cân tại O(O là gốc tọa độ )
Bài27
Cho z1 và z2 là 2 số phức phân (z1¹ z2) Chứng minh rằng :
1 2
1 2
+
- là số ảo
Bài28
Trong mặt phẳng phức , xét các điểm A,B theo thứ tự biểu
diễn các số phức z0 và z1 (z z0. 1≠ 0) và thỏa mản đẳng
thức sau : z02+ z12 = z z0. 1
Chứng minh rằng : V OAB đều (O là gốc tọa độ )
Bài29
Cho z1= - +1 i, 2 2
1
z
i
=
- + và :
7 7 3 4 4 3
3 1 2 1. 2 1. 2
z = + + z z z z + z z
Chứng minh rằng : z3∈ R
Bài30
Cho A,B,C,D biểu diễn số phức theo thứ tự
z = + i, z2= +1 3+i ,z3= +1 3- ivà :
4 1 2
z = - i
Chứng minh rằng : Tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn
Tâm của đường tròn biểu diễn số phức nào?
(Đi chứng minh B và C cùng nhìn AD dưới 1 góc vuông
Tâm của đường tròn biểu diễn số phức z = 1)
BÀI 2: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG
TRÌNH BẬC HAI A/Kiến thức căn bản:
1/Định nghĩa:
Cho số phức w.Số phức z thỏa z2 = w gọi là căn bậc hai của w
* Số w =0 có đúng một căn bậc hai là z = 0
* Số w ¹ 0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau ( khác 0 )
2/ Nhận xét :
- Số thực a > 0 có hai căn bậc hai là a và - a
- Số thực a < 0 có hai căn bậc hai là i -a và -i -a
B/Bài tập cơ bản:
Bài31
Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:
a/w= +4 6 5.i
- Gọi z= +x yi ( x và y là hai số thực ) là căn bậc hai của
số phức w= +4 6 5.i
Khi đó : z =w2 Û (x+y.i)2= +4 6 5.i
2 2
(x -y )+2xy.i 4 6 5.i
2 2
ïï
Û íï
=
2
3 5
y x x x
ìïï
ï = ïï
Û í
ïïïî
3 5 3 5
x y x y
éìï =ïêï íêï = êïïîê
Û ìêï =-ïïêíê
ï = -êïïîë
Vậy có hai căn bậc hai của w là :
z= + i và z= - -3 5.i
b/w= - -1 2 6.i
- Gọi z= +x yi ( x và y là hai số thực ) là căn bậc hai của
số phức w= - -1 2 6.i
Khi đó : z =w2 Û (x+y.i)2= - -1 2 6.i
2 2 (x -y )+2xy.i 1 2 6.i
-2 2
-ïï
Û íï
=
2
6 6 1
y x x x
ìïï
ï = -ïï
Û í
-ïïïî
- Ta có :
2
4 2
2
2
3
x
x
é = ê
-ê
2
x
-ê
= Û ê
ë +Với x = -2 3 ( vô nghiệm vì x là số thực ) Vậy có hai căn bậc hai của w là :
z= - i và z= - 2+ 3.i
c/w = - i ,w = 17 20 2 + i
d/w = 4 ,w i = 46 14 3, - w = - + 8 6 i
e/w = - 4,w = + 1 4 3.i
Bài32
Giải các phương trình sau:
a/ z2 + 2z + 5 = 0
2
Vậy z1 = -1+2i và z2 = -1+2i là 2 nghiệm của phương trình
b/ x2-4x+7=0 trên tập số phức (Tốt Nghiệp 2007)
2
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm :
c/ 2x2+x+3=0 trên tập số phức (Tốt Nghiệp 2007)
2
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : 1
i
2
1 23 1 23
i
d/z2- 2(2 + i z ) + (7 4 ) + i = 0
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm :
z = + +i i = + i , z2=(2+ -i) 2i = -2 i
e/z2+ - (1 3 ) i z - 2(1 + = i ) 0
(1 3 ) i 8(1 i ) 1 6 i 9 i 8 8 i
1
(1 3 ) (1 ) 2 2
2
f/z2- (3 4 ) + i z - 1 5 + i = 0
Trang 6CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ĐỖ VĂN THỌ
2
(3 4 ) i 4( 1 5 ) i 3 4 i
Ta đi tìm căn bậc hai của D = - + 3 4i
Gọi a+bi là căn bạc hai của D = - + 3 4i
Khi đó ta có : ( a bi + )2= - + 3 4 i
2 2
( a b ) 2 abi 3 4 i
a b
ab
ïî
VậyDcó 2 căn bậc hai là : 1 2i+ và - (1 2 ) + i
Do đó , pt đã cho có hai nghiệm :
1
(3 4 ) (1 2 )
2 3 2
2
(3 4 ) (1 2 ) 1
2
g/i x 2- 2(1 - i x ) - 4 = 0
2
-2
2
x
i
-h/x2- (5 - i x ) + - 8 i = 0
(5 ) 4(8 ) i i 8 6 1 2.1.3 9 i i i (1 3 ) i
-1
(5 ) (1 3 )
3 2 2
2
k/Gọi z1 và z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 2z + 10 = 0.
tính giá trị của biểu thức A = |z 1 | 3 + |z 2 | 3.
Bài33
Giải các phương trình sau:
a/z -3 1 0 = Û ( z - 1)( z2+ + = z 1) 0
Suy ra pt(*) có hai nghiệm là :
b/z4+ 3 z2- 4 = 0
( )
2
2 2
1
z
é = ê
Û ê
ê = - = ë
c/z3+ i z 2- i z + = 1 0
c/z2- ( os c a + i sin ) a z c + os sin a i a = 0
d/( z2+ z )2+ 4( z2+ - z ) 12 = 0 (1)
e/( z2+ 3 z + 6)2+ 2 ( z z2+ 3 z + - 6) 3 z2 = 0
( z 3 z 6 3 )( z z 3 z 6 z ) 0
f/ 4 3 1 2 1 0
2
z - z + z + + = z (1)
g/z4- 4 z3+ 7 z2- 16 z + 12 = 0
Bài34
a/ Tìm các số a và b để có phân tích
z + z + z - = z - z + az b +
b/ Giải phương trình sau z3+ 3 z2+ 3 z - 63 = 0
(áp dụng phân tích ở câu a )
Bài35
a/ Tìm các số a và b để có phân tích
4 2 3 3 2 2 2 ( 2 1)( 2 )
z + z + z + z + = z + z + az b + -Làm tương tự bài 33 ta được :
4 2 3 3 2 2 2 ( 2 1)( 2 2 2)
z + z + z + z + = z + z + z + b/ Giải phương trình sau z4+ 2 z3+ 3 z2+ 2 z + = 2 0 (áp dụng phân tích ở câu a )
Bài36
Cho phương trình:z3- 2(1 + i z ) 2+ 3 i z + - 1 i = 0(1)
a/Chứng minh z = 1 là nghiệm của phương trình (1) b/Tìm các số a và b sao cho :
3 2(1 ) 2 3 1 ( 1)( 2 )
z - + i z + i z + - = - i z z + az b +
c/Giải phương trình sau: z3- 2(1 + i z ) 2+ 3 i z + - 1 i
(áp dụng phân tích ở câu b )
Bài37
Chứng minh rằng : z0 là một nghiệm của phương trình :
Az2 + Bz + C =0 (*) ( với A,B,C là 3 số thực ) thì z0 cũng là nghiệm của phương trình (*)
Bài38
Giải hệ phương trinh sau:
a/ 12 22
4
5 2
ìï + = + ïïí
-ïïî đáp số : hệ đã cho có hai nghiệm là : 1
2
3
1 2
ìï = -ïí
1
2
1 2 3
ìï = + ïí
-ïî
b/ 1 22 2
5 2
ìï = -ïïí
ïïî
1 2 2
ìï = -ïï
ïïî
c/ w
iz
ìï - = ïí
ïî ( ẩn z và w )
d/ 13 23
3(1 ) 9( 1 )
ïïí
ïïî
Bài39
Chứng minh rằng nếu 3 số phức z1, z2, z3 thỏa mãn :
1 2 3
1 1
ïïí
ïïî Thì một trong ba số phức đó phải bằng 1 b/ Giải hệ phương trình :
1 2 3
1 1
z z z
ïï
íï
ïïî
BÀI 3: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC A/Kiến thức cơ bản :
1/Số phức dưới dạng lượng giác : a/Acgumen của số phức :
Cho số phức z khác 0 Gọi M là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức Số đo ( radian) của mỗi gốc lượng giác
tia đầu là Ox và tia cuối OM được gọi là acgumen của z.
Trang 7CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ĐỖ VĂN THỌ
b
a M(z) y
x O
+Nhận xét :
- Nếu j là một acgumen của z thì mọi acgumen của z có
dạng j + k 2 , p k Z Î
-Số thực dương có một acgumen là 0
-Số thực âm có một acgumen là p
-Hai số phức z và l.z ( z khác 0 và l là số thực dương ) có
acgumen sai khác nhau k 2 , p Î k Z vì các điểm biểu diễn
của chúng cùng thuộc một tia gốc O
b/Dạng lượng giác của số phức :
+Xét số phức z = + a bi z , ¹ 0
Giả sử môđun của z là r = z = a2+ b2
Gọi j là một acgumen của z thì :
z = r c j + i j
+Nhận xét :
- Dạng z = r c ( os j + i sin ) j (r>0) được gọi là dạng
lượng giác của số phức z khác không
- Dạng z = + a bi được gọi là dạng đại số của số phức z
Để tìm dạng lượng giác r c ( os j + i sin ) j của số
phức z= a+bi (khác 0) ta làm như sau :
+Tìm r = z = a2+ b2 , r cũng chính là độ
dài đoạn thẳng OM
+Tìm j ( một acgumen) của z : j là số thực thỏa
cos a;sin b
Bài40
Tìm một acgumen của số phức :
a/z = - + 2 2 3 i b/ os sin
z = c p - i p
c/ 1 sin os 0
2
z = - j + i c j æ ç ç ç < < j p ö ÷ ÷ ÷
÷
çè ø d/z = ( os c j + i sin ) j 2+ ( os c j + i sin ) j
Bài41
Viết số phức sau dưới dạng lượng giác
a/z = + 1 3 i
* Cách 1:
2
-Gọi j là một acgumen của z ta có:
c
j = = j = = do đó ta chọn
3
p
j =
z= æçççc p+i pö÷÷÷
÷
* Cách 2:
z= + i= æçççç + iö÷÷÷÷= æççççc p+i pö÷÷÷÷
b/z = - 3 + i
2
-Gọi j là một acgumen của z ta có:
c
j = = - j = = do đó ta chọn
5
6 6
p p
j = - p = Vậy 2 os5 .sin5
z= æçççc p+i pö÷÷÷
÷
c/z = 3 - i
2
-Gọi j là một acgumen của z ta có:
c
j = = j = = - do đó ta chọn
6
p
j = - Vậy 2 os sin
z= éêêc æ öççç- p÷÷÷÷+i æ öççç- p÷÷÷÷ùúú
d/z = 6 - 2 i
z= - i = - i = æççç - iö÷÷÷
÷
2 2 os sin
é æ öç ÷ æ öç ÷ù
= ê ççç- ÷÷+ ççç- ÷÷ú
e/z = - 1 3 i f/z = + 1 i g/z = 1
2 2
z
i
= + i/z = - + 2 2 3. i kj/z = - 3
2/Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác : a/ Nhân và chia 2 số phức :
Cho 2 số phức : z = r c ( os j + i sin ) j và
z ' = r c '( os ' j + i sin ') j , với r r ³ , ' 0
Khi đó :
z z = r r c é ê ë j + j + i j + j ù ú û
z = r é ê ë j - j + j - j ù ú û(r' > 0)
b/ Nhận xét : Nếu z = r c ( os j + i sin ) j khác 0 thì 1 1
( os c i sin )
z = r j - j
Bài42
Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác a/z = - ( 1 3 1 i ) ( + i ) b/ 1 3.
1
i z
i
+
= + c/
z = i - i d/z = - 1 ( 2 1) - i
3/Công thức Moa-vrơ(Moivre) :
z = r c ( os j + i sin ) j
Trang 8CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ĐỖ VĂN THỌ
z r c j i n j
Minh họa :
Rút gọn :
a/
7
ç
= çç- + ÷÷= -
-÷
b/
365
1
2
i
æ+ ÷ö
çè ø
2
Do đó :
2
c æç p pö÷÷ i æç p pö÷÷
-c /Tìm n để 3 3
3 3
n
i i
æ- ö÷
-è ølà số thực ? là số ảo?
2
3 1
3 3
i
3 3
n
i
i
æ- ö÷
-è ølà số thực khi sin 6 0 6 ,
n p= Û n= k k ZÎ
3 3
n
i
i
æ- ö÷
n
c p = Û n= + k k ZÎ d/ Viết số phức sau dưới dạng lượng giác và tìm căn bậc hai
của z= - +2 2 3.i
* Viết dưới dạng lượng giác :
z= - + i= -æççç + iö÷÷÷÷
4 os2 sin2 .
Vậy z có hai căn bậc hai là :
z = æçççc p+ p iö÷÷÷÷= + i
z = - æçççc p+ p iö÷÷÷÷= - - i
*Cách khác : làm như bài 31
Bài43
Tùy theo số j hãy viết các số phức sau dưới dạng lượng giác
z
-=
b/z= -(1 cosj - i.sin )(1j +cosj +i.sin )j
Bài44
Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z = (tan1 - i )4
Bài45
Cho số phức z = r c ( os j + i sin ) j Hãy tìm dạng lượng giác của số phức :
a/z b/- z c/1
z
Bài46
Cho số phức z=(m2+m+1)+(m2+m+1)i a/Tìm một acgumen j 0 của z biết j 0Î (0;2 ) p
Viết z dưới dạng lượng giác với acgumen j 0
b/ Chứng minh z
z có một môđun không phụ thuộc vào m và
một acgumen bằng 2j 0
Bài47
Cho số phứcw 2(1 )
1 3
a/ Chứng minh rằng z0 os sin
= + , z1=z e0 và 3
2 0
z =z e là các nghiệm của phương trình : z3 - w = 0 (*) b/ Biểu diễn hình học các số phức z0 ,z1 , z2
Bài48
Chứng minh rằng:
z
+ = thì 2008
2008
1
3
z z
-Bài49
Chứng minh rằng số phức z = + 2 3 + i có acgumen là
.2
p p
+
Bài50
z = - c p - i p Tìm môđun ,acgumen và viết z dưới dạng lượng giác
Bài51
Cho số phức z có môđun bằng 1 và j là một acgumen của z
Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức dưới đây : a/ 1
2z
- b/z
z c/z + z d/z2- z e/z2+ z
Bài52
Trang 9CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ĐỖ VĂN THỌ
Tìm số phức z thỏa : 3
1
z i
-= + và z +1 có một acgumen bằng
6
p
-Bài53
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn các số
phức sao cho :
2
2
z
z
-+ có một acgumen là 3
p
Bài54
Cho số phức z thỏa z 1 1
z
+ = , với số phức ấy , hãy tìm
ax
m z
Bài55
Tìm phần thực và phần ảo của :
a/
10
9
(1 )
3
i
i
+
5