Bài tập tích phân luyện thi

Chú ý: Các phân số hữu tỉ ở vế phải có bậc vủa mẫu lớn hơn bậc tử một bậc* Sử dụng phương pháp phân tích đối với tích phân – nguyên hàm có dạng  sau đó ta sẽ đồng nhất hệ số với P x

I Phương pháp đổi biến số: t v x  

Để sử dụng phương pháp đổi biến số thì ta cần chuyển tích phân b  

0 1

x dx

�

Nhận xét  

3 2

1

1 '3

x x

1

2x1 dx

3 4

2 1

x dx

2 3 4

1sin x dx

2 2

a x

2 0

2 2

33

1

dx I

2 1

2

1

x dx x

3

11

3 2

1 4

dx I

c

4

2 4

3

14

1

I  �x  x dx b I  �x331 x dx2 c

2 1

11

11

Đổi cận:

22

1 1

dx I

Đổi cận:

1

4 3

2 1

Khi đó

3

2 3

2 1

8 4

x dx I

11

x dx I

4 0

3 3

sin sinx

cotsin

x x

dx I

x

I  �e dx

h I  �e x e2x 2e x 2dx

* MỘT VÀI THỦ THUẬT ĐỔI BIẾN KHÁC:

4 2

3 0

sinx1

e

xdx I

sin

xdx x





�

xdx I

- Nếu tích phân – nguyên hàm có dạng  

Chú ý: Các phân số hữu tỉ ở vế phải có bậc vủa mẫu lớn hơn bậc tử một bậc

* Sử dụng phương pháp phân tích đối với tích phân – nguyên hàm có dạng

 sau đó ta sẽ đồng nhất hệ số với P x  Để hiểu rõ

hơn ta xem ví dụ sau:

 

2 3

   

2 2

2

2 22

II Ứng dụng tích phân tính thể tích, diện tích trong hình học

1 Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng :

Bài toán 1:

Yêu cầu bài toán: “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

 

y  f x liên tục trên đoạn  a b; , hai đường thẳng x a x b ;  và trục Ox”

- Bước 1: Gọi S là diện tích cần xác định, ta có b  

a

- Bước 2: Xét dấu biểu thức f x  trên  a b; Từ đó phân được đoạn  a b;

thành các đoạn nhỏ, giả sử:   a b;  a c; 1 �c c1; 2� � c b k;  mà trên

mỗi đoạn f x  chỉ có một dấu

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

Gọi S là diện tích cần xác định, ta có

2 2 1

3 11

Khi cho f x  0 ta nhận được hai giá trị x x1; 2 không thuộc vào  0;1 nên ta

không có sự phân đoạn như ví dụ trên

Nhận xét: Để biết được dấu f x  trên đoạn  0;1 ta có thể lập bảng xét dấu Ở

ví dụ này, vì không có nghiệm x nào nằm trong đoạn  0;1 nên ta sẽ chọn bất kì

một giá trị x0� 0;1 sau đó thay vào hàm f x 0  L, khi đó dấu của f x  là

dấu của L

Giả sử ta chọn 0  

10;12

- Bước 2: Xét dấu biểu thức f x  trên  a b; Từ đó phân được đoạn  a b;

thành các đoạn nhỏ, giả sử:   a b;  a c; 1 �c c1; 2� � c b k;  mà trên

mỗi đoạn f x   g x  chỉ có một dấu

* Chú ý: Nhiều bài toán thuộc dạng trên được phát biểu: “Tính diện tích hình

phẳng giới hạn bởi: y  f x y g x ;    và x a ” Khi đó cận còn lại sẽ là

nghiệm của phương trình f x   g x 

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

x x

S  �e e dx

Để xét dấu f x   e x ex trên đoạn  0;1 ta chọn một giá trị 0  

10;12

 

y x  x là một hàm nghịch biến

Do vậy, (1) có duy nhất một nghiệm x 1

Gọi S là diện tích cần xác định

1 0

2x 3

Để xét dấu f x   2x  x 3 trên đoạn  0;1 ta chọn 0  

10;12

x  � , ta có1

- Bước 1: Xét phương trình f x  g x   �0 nghiệm x1  x2   x k

- Bước 2: Gọi S là diện tích cần xác định, ta có

Xét dấu f x   2x2 6x trên đoạn  0;3 Ta chọn x0  �1  0;3

Ta có f  1   4 0 Do đó, f x  mang dấu “âm” trên đoạn  0;3

- Đồ thị hàm số x  y2 với x �0 sẽ nằm hoàn toàn phía bên trái trục tung

và gồm hai phần phía trên y  x trục hoành, phần phía dưới

y   x trục hoành

Suy ra đồ thị x  y2 cắt y x 2 chỉ một nhánh phía trên trục hoành là nhánh

y  x với x�0 Để rõ hơn ta xem hình minh họa:

Do đó diện tích là phần giới hạn của nhánh y x 2 và một phía trên y  x

trục hoành của hàm số x y2

Phương trình hoành độ giao điểm

Chú ý: Khi phá dấu giá trị tuyệt đối x2 4x3 Ta thấy S1 là phần giới hạn của

đường thẳng y  3 x và phần đồ thị f x  �0 là y x 2 4x3 nên phá dấu giá trị tuyệt đối sẽ bằng chính f x  �0 cho nên phá trị tuyệt đối là:

Chú ý: S2 là phần giới hạn của đường thẳng y  3 x và phần đối xứng phía dưới

trục hoành ứng với f x   0 là phần là y   x2 4x3 cho nên phá trị tuyệt đối là: y  x2 4x  3  x2 4x4

�� � bằng cách xét dấu f x  Nhưng đối với những bài

toán phức tạp như trên thì ta cần vẽ hình để giải và nhìn hình để phá trị tuyệt đối

�� � bằng cách nếu đồ thị nào nằm phía trên thì ta lấy đồ thì đó trừ cho

đồ thị phần phía dưới Giả sử như ở bài toán trên trong phần tính diện tích S1 ta thấy đường thẳng y  3 x nằm phía trên đường cong y  x2 4x3 nên ta sẽ

2 0

3 x x 4x3 dx

1

2 0

- Bước 2: Thiết lập công thức tính diện tính

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

3,98

96;

28

x

x

A x

thành hai phần Tính diện tích mỗi phần đó

Trước khi giải bài toán này ta thử xem xét các tính chất của đường tròn và parabol

- Đường tròn x2  y2 8 có tâm là gốc tọa độ O  0;0 , bán kính

2 2

Ví dụ: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y e x, trục hoành và hai đường thẳng

* Bài toán 2: Yêu cầu bài toán: “Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền

(D) giới hạn bởi x  f y y a y b x ;  ;  ;  0, quay quanh trục Oy”

V �x dy�f y dy

Ví dụ: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quanh quanh trục tung một hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  3 x2, trục tung và đường thẳng y 1

Ta biến đổi hàm về dạng y  3 x2  3 y với 3�y 0 y 3

* Bài toán 3: Yêu cầu bài toán: “Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền

(D) giới hạn bởi y  f x y g x x a x b  ,    ,  ,  quay quanh trục Ox” Ta áp

dụng công thức: 2  2 

b

a

Ví dụ: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quanh quanh trục hoành hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y x 2 và y  2 x2

Phương trình hoành độ giao điểm x2  2 x2 � x  �1

* Bài toán 4: Yêu cầu bài toán: “Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền (D)

giới hạn bởi x f y x g y y a y b ;   ;  ;  khi quanh quanh trục Oy” Ta áp

dụng công thức 2  2 

b

a

Ví dụ: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quanh quanh trục tung hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y x và y  2 x2

V �y   y dy �y dy  �y dy   (đvtt)

* Bài toán 5: Yêu cầu bài toán: “Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền (D)

giới hạn bởi một đường cong (C) khép kín”

 Trường hợp 1: Khi quanh quanh trục Ox, ta thực hiện như sau:

- Bước 1: Phân đường cong kín (C) thành hai cung:  C1 :y  f x y1  1 và

 C2 : y  f x2   y2 với a x b� � và f x f x1   ; 2 không âm

- Bước 2: Thể tích cần xác định cho bởi 12 22

b

a

V �y  y dx hay2

b

a

V �y dx

 Trường hợp 2: Khi quanh quanh Oy, ta thực hiện như sau:

- Bước 1: Phân đường cong kín (C) thành hai cung  C1 :x f y1   x1 và

b

a

V �x dy

xoay tạo thành khi:

Nhận xét: Nếu ta quay quanh đường tròn (C) này quanh trục Oy thì sẽ tạo thành

một hình cầu tâm I  0; 2 và bán kính R 1 Khi đó 4 3 4

V  R   (đvtt)Nếu ta tính bằng phương pháp tích phân:

 

2 2

x y

  quanh trục hoành

Chia elip thành 2 phần

2 1

2 2

142142

Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường x2   x 5 0;x y  3 0 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

khối tròn xoay được tạo nên khi D quay quanh trục Oy

2 ; 4

y  x y  Tính thể tích khối tròn xoay được tọa nên khi quay D quanh:

a Trục Ox b Trục Oy

khối tròn xoay được tạo nên khi quay D quanh trục Ox

Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường

2 2

tròn xoay được tạo nên khi quay D quanh trục Ox

2

10;

Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

Bài 12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

với nó tại điểm M  5,3 và trục tung

Bài 20: Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường

Bài 23: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi

các đường y x e x ;x 0;x1 quay quanh trục Ox

sin 4

1 cos

x dx x



2 1

1 ln

e

x dx x

sin 2

2 sin

x dx x



� (ĐS: 2) 22) 4

2 0

1 sin 2os

x dx

2

12





� ĐS: 0 36)

0 2

15

x x

dx x

12

ln 1 x

dx x



�

� 46) 2 

3 0

3 13

3 0

1

3 1

x

dx x

sincos

x dx x





� 61) 2 3

2 0

sin cos

1 cos

dx x

sincos

dx x

x

x

e dx e

ln1

e

x dx x

2

0 1

x dx x

31

dx x

dx x

xdx x



� 94) 2 3

2 0

sin

1 cos

xdx x

sincos

xdx x

1 cos

x dx x

2

11

x dx x

1

3 2

x

dx x

e

x dx x



� 121)

3 2 0

11

x

dx x

sin

cos 3

xdx x

0 1

x dx

�

137) 2

4 0

sin 2

1 sin

xdx x





� 138) 2

4 0

sin 2

1 cos

xdx x

11

x

e dx x

1 x dx

� 145)

2 1

1 ln

e

x dx x

1 x x