Bài tập số phức hay và khó

Song hẳn bạn sẽ thắc mắc khi tựa đề cho chương mở đầu chúng ta lại bắt đầu đi tìm hiểu về chủ đề SỐ PHỨC.. Nghĩa l{ SỐ PHỨC được “chủ ý” xếp vào phần đơn giản mà bạn có thể dễ dàng lấy

CHƯƠNG I SỐ PHỨC

Chào mừng bạn đến với chương đầu tiên của cuốn sách Song hẳn bạn sẽ thắc mắc khi

tựa đề cho chương mở đầu chúng ta lại bắt đầu đi tìm hiểu về chủ đề SỐ PHỨC Bạn cứ hình dung để chinh phục Kì Thi THPT Quốc Gia giống như việc bạn phải “vượt qua những

bậc thang” từ thấp tới cao Và để vươn tới những nấc thang cao hơn thì việc bước từ những

bậc thang đầu tiên một cách chắc chắn l{ điều cần thiết Nghĩa l{ SỐ PHỨC được “chủ ý”

xếp vào phần đơn giản mà bạn có thể dễ dàng lấy được những điểm số đầu tiên trong kì thi THPT Quốc Gia Bởi, bạn chỉ cần biết thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia là có thể học tốt được chủ đề này Bạn đ~ s~n s{ng chưa ? Tôi tin l{ đôi ch}n của bạn đang muốn bước đi Thế thì còn chần chừ gì nữa, chúng ta sẽ bắt đầu bước tới nấc thang đầu tiên nhé !

SỐ PHỨC

Chúng ta đều đ~ biết cách thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên tập số thực Với tập số phức c|c phép to|n n{y được thực hiện như thế nào ? Bài học này sẽ giúp bạn trả lời được đầy đủ câu hỏi trên

Một số phức z được biểu diễn dưới dạng z   a bi ( a b,  ) trong đó a gọi là phần

1

i   Ví như số phức z   2 3 i có phần thực là 2 và phần ảo là  3 Một số phức z   a bi thì số phức liên hợp của nó là z a bi

CÁCH THỰC HIỆN CÁC PHÉP TOÁN

Ví dụ 1:Cho 2 số phức z1 2 3i , z2  3 4i

Hãy thực hiện các phép toán sau: z1z2, z1z2, 3z1, z z1 2, 1

2

z

z

Giải

 z1 z2   2 3  i     3 4 i     (2 3) (  3 4)  i  5  i

 z1 z2   2 3  i     3 4 i     (2 3) ( 3   4 ) i   1  7 i

 3 z1 3 2   3 i   6 9  i

 z z1. 2   2 3  i  3 4  i    6 12    ( 8 9)  i  18  i

 1

2

Ví dụ 2:Hãy viết các biểu thức sau dưới dạng số phức a bi  ( ,a b )

1. (1 2 )(3 ) 2(2 3 ) 4 2

1

i

i



 2.

B

Giải

1 (1 2 )(3 ) 2(2 3 ) 4 2 (3 2) ( 1 6) 2(2 3 )(1 ) 4 2

2(5 )

1 1

i

2

2

B

i i i

 CHÚ Ý : Nếu các phép toán liên quan tới lũy thừa bậc cao thì các bạn cần nhớ thêm

2 công cụ sau để giải quyết:

Ví dụ 3:Hãy viết các biểu thức sau dưới dạng số phức a bi  ( ,a b )

1. 2015 2016 2016

(1 )

Ai i  i 2. 2 2015 2016

3 2017

(1 )

C i 4

102 1 1

i D

i



   

Giải

Ai i  i  i i i  i 

 ( 1)1007.i ( 1)1008(2i)1008 (21008 1) i

Suy ra 2 3 2016 2017

iB  i i i i i (2) Lấy (1) – (2) ta được: 2007 2 1008

(1i B)  1 i  1 ( )i i  1 i B    1 1 0 i

Cách 2: B là tổng của một cấp số nhân với số hạng đầu u11 và công bội q1 nên

ta có:

2017 2 1008 1

n

B u

    Vậy B    1 1 0. i

3. 2017 2 1008  1008 1008 2 504 1008 1008

C  i  i   i i  i i  i  i

51

1

Chắc bạn đang cảm thấy “chưa sướng” với bài học đầu tiên này vì chưa thấy một “áp lực” nào xuất hiện Công việc chỉ là thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia mà chúng ta đã biết ngay từ khi bắt đầu làm quen với môn Toán Có chăng chỉ là một chút khác biệt, song đã được tháo gỡ trong bài 1 này Không quên nhắc mình luôn cẩn thận trong từng phép toán để đưa đến một kết quả chính xác – đó là điều mà chắc chắn bạn

đã học được qua bài bài học này Ngoài một kết quả đúng thì lúc này chúng ta cần thời gian nhanh hơn Sự khác biệt ở những câu hỏi tính toán không nằm ở độ khó, dễ thì mình hơn người khác ở việc nhanh hơn họ Để làm được điều này, bạn phải rèn luyện thông qua việc làm nhiều các bài tập, bởi “kĩ năng sẽ biến thành kĩ xảo” Bạn sẽ sớm cải thiện được tốc độ nhanh chóng – đó là điều quan trọng để ta có thể xuất phát với một khởi đầu thuận lợi

Hẳn bạn đang cảm thấy có nhiều năng lượng để vươn cao hơn Vậy thì tiếp tục nào !

ĐẶC TRƯNG

Bài toán: Xác định số phức z và các đại lượng đặc trưng thỏa mãn điều kiện (*)

Đ}y l{ b{i to|n xuất hiện với tần xuất nhiều nhất trong c|c đề thi Để làm tốt được dạng toán này, ngoài việc biết cách thực hiện các phép toán ở Bài 1 thì bạn cần nắm thêm các kiến thức cơ bản sau:

Đầu tiên ta sẽ đi giải quyết bài toán với trường hợp 1 Cụ thể:

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1:Cho số phức z thỏa mãn (1 2 ) i z 11 2i Tìm môđun của z

Giải

11 2 (11 2 )(1 2 ) 11 4 22 2 15 20

Vậy môđun của z là: 2 2

3 ( 4 ) 5

z    

Ví dụ 2. Cho số phức z thỏa mãn (2 ) 2(1 2 ) 7 8

1

i

i



Tìm môđun của số phức w    z 1 i

Phân tích

Điều kiện (2 ) 2(1 2 ) 7 8

1

i

i



 chỉ chứa z nên ta thực hiện các phép toán  z. Khi đó w      z 1 i a bi 2 2

Giải

Ta có: (2 ) 2(1 2 ) 7 8

1

i

i





2(1 2 )(1 )

(1 )(1 )

i i

i i

(2 ) 2(3 ) 7 8 (2 ) 3 7 8

2

i

4 7 (4 7 )(2 ) 15 10

3 2

i



Ví dụ 3. Cho z là số phức có phần ảo dương v{ thỏa mãn 2

z  z  Tìm phần thực và phần ảo của số phức: 2

1

w z

Phân tích

Điều kiện 2

4 13 0

z  z  chỉ chứa z v{ l{ phương trình bậc 2 với z  z

Khi đó 2

1

w z  a bi, suy ra phần thực, phần ảo

Trường hợp 1: Trong (*) l{ phương trình chỉ có mặt z ( hoặc z)

Phương pháp giải

 Bước 1: Giải phương trình (*) với ẩn z (hoặc z) , suy ra z (hoặc z)

 Bước 2: Dựa vào yêu cầu b{i to|n, suy ra đ|p số

Giải

Phương trình 2

' 4 20 16 16i (4 )i

nên phương trình có hai nghiệm z   2 4 i hoặc z   2 4 i (loại – vì z có phần ảo dương) (bạn nên kiểm tra lại bằng việc sử dụng máy tính để giải phương trình bậc 2)

Vậy số phức w có phần thực là 11 và phần ảo là  16

Ví dụ 4. Cho số phức z thỏa mãn (1 2 ) i z (1 3 )(2i i)

Tìm phần thực và phần ảo của số phức z

Phân tích

Điều kiện (1 2 ) i z (1 3 )(2i i) chỉ chứa z nên ta thực hiện các phép toán  z z

Giải

Điều kiện (1 2 ) i z (1 3 )(2i i)  (1 2 )i z 5 5i

5 5 5(1 )(1 2 ) 5( 1 3 ) 1 3

1 2 (1 2 )(1 2 ) 5

Suy ra z    1 3 i Vậy z có phần thực là 1 và phần ảo là  3

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1:Cho số phức z thỏa mãn z(2   i) z 5 3i Tìm môđun của số phức z

Giải

Gọi z   a bi (a b,  ), khi đó điều kiện bài toán trở thành:

(a bi )(2    i) a bi 5 3i

 2 a ai   2 bi b a bi      5 3 i

(3a b  ) (a b) 5 3i

z i

5

2 1

Trường hợp 2: Trong (*) có chứa f z z( , ) (chứa đồng thời z và z)

hoặc có dấu môdun " "

Sơ đồ giải

Ví dụ 2 Tìm môđun của số phức z thỏa m~n điều kiện:

1) 3zz(1 i) 5z 8i 1 (D – 2014) 2) 2z3(1i z)  1 9i (B – 2014)

Phân tích

Trong các điều kiện trên đẳng thức cho đều chứa đồng thời zvà z nên:

Bước 1: Gọi z   a bi ( ,a b )

0

a a

b b





Giải

Gọi z   a bi ( ,a b ) Khi đó từ giả thiết bài toán ta được:

1)  3( a bi  ) (   a bi ) (1    i ) 5( a bi  )   8 i 12(a2 )(1bi  i) 5a5bi 8i 1  (3a4 ) (2b  a b i )   1 8i 3 4 1 3 3 2

Vậy môđun của zlà: 2 2

2) 2(a bi ) 3(1 i a bi)(  ) 1 9i

2a 2bi (3a 3 ) ( 3b a 3 )b i 1 9i

(5a 3 ) (3b a b i) 1 9i

Vậy môđun của zlà: 2 2

Ví dụ 3 (A,A1 – 2014) Cho số phức z thỏa m~n điều kiện z (2 i z)  3 5i

Tìm phần thực và phần ảo của z

Giải

Gọi z   a bi ( ,a b ) Từ giả thiết b{i to|n ta được: a bi  (2 i a bi)(  ) 3 5i

Suy ra số phức z có phần thực bằng 2 và phần ảo bằng  3

Ví dụ 4 Cho số phức z thỏa mãn 5( ) 2

1

z i

i z

 Tính môđun của số phức

2

1

w  z z Giải

Gọi z   a bi ( ,a bR), z 1 Khi đó: 5( ) 2 5( ) ( 1)(2 )

1

z i

z



5(a bi i  ) (a bi 1)(2i) 5a5(b1)i(2a    2 b) (a 1 2 )b i

Vậy môđun của số phức w là 13

Ví dụ 5 Tìm số phức z thỏa mãn: z  2và 2

z là số thuần ảo

Giải

+) Gọi z   a bi ( ,a bR) 2 2 2 2

z  a bi a b  abi là số thuần ảo 2 2

0

a b

b a

Thay (2) vào (1): 2 1 1

a

   



Vậy các số phức cần tìm là: 1 ; 1 ;  1 i;   1 i

Ví dụ 6. Trong các số phức thỏa m~n điều kiện z   2 4 i   z 2 i

Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất

Giải

Gọi z   a bi ( ,a bR)   z 2 4 i   z 2 i

 ( a    2) ( b 4) i    a ( b 2) i 2 2 2 2

(a 2) (b 4) a (b 2)

    4 a 8 b 20    4 b 4    b 4 a

Khi đó z  a2 b2  a2  ( a 4)2  2( a2 4 a  8)  2( a  2)2  8 8

 zmin  2 2 khi a       2 0 a 2 b 2 Vậy số phức z   2 2 i

Nếu bạn đã hoàn thành xong được bài 2 này Thì xin chúc mừng bạn ! Vì bạn có thể gần như làm được phần lớn các câu hỏi trong đề thi thuộc chủ đề này Và để chắc chắn lấy trọn điểm chuyên đề này, chúng ta sẽ tiếp tục chuyển qua bài số 3

Bài 3: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN

SỐ PHỨC

Bài toán : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z

thỏa mãn điều kiện (*) cho trước

Phương pháp giải

 Bước 1: Gọi M x y( ; ) l{ điểm biểu diễn số phức z x yi (x y,  )

 Bước 2: Cắt nghĩa điều kiện (*) để tìm mối liên hệ giữa x và y Cụ thể ta có được

đẳng thức f x y( ; )0 dưới những dạng sau:

 ax by  c 0: Tập hợp c|c điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng

0

x y ax by  c (hoặc 2 2 2

(xx ) (yy ) R ): Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn

yax bx c : Tập hợp c|c điểm biểu diễn số phức z là một parabol



x y

a b  : Tập hợp c|c điểm biểu diễn số phức z là một elip CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1(D – 2009). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số

phức z thỏa mãn: z   (3 4 ) i  2

Giải

Gọi M x y( ; ) l{ điểm biểu diễn số phức z x yi ( ;x yR)

Khi đó: z   (3 4 ) i      2 x yi (3 4 ) i   2 ( x   3) ( y  4) i  2

2 2 2 2

(x 3) (y 4) 2 (x 3) (y 4) 4

          Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(3; 4) , bán kính R2

Ví dụ 2(B – 2010). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số

phức z thỏa mãn: z i    (1 i z )

Giải

Gọi M x y( ; ) l{ điểm biểu diễn số phức z x yi ( ;x yR)

Khi đó: z i    (1 i z )      x yi i (1 i x )(  yi )   x ( y  1) i  ( x  y ) (   x y i )

x2(y1)2 2

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0; 1) , bán kính R 2

Ví dụ 3. Cho số phức z thỏa mãn z   3 i z 2

Tìm tập hợp c|c điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức z

Giải

Gọi M x y( ; ) l{ điểm biểu diễn số phức z x yi ( ;x y )

Khi đó: z          3 i z 2 x yi 3 i x yi 2

 ( x   3) ( y  1) i  ( x   2) yi

2 2 2 2

(x 3) (y 1) (x 2) y

  6x 2y104x 4 5x  y 3 0

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình: 5x  y 3 0

Ví dụ 4. Tìm tập hợp c|c điểm biểu diễn trong mặt phẳng số phức z biết

1).(2z i)( z) là số thuần ảo 2). 2 2

z  z 3). z 2 1

i z



4). z     i z i 4 5). z    2 i 1 3 6). 1    z i 1 2

Giải:

Gọi M x y( ; ) l{ điểm biểu diễn số phức z x yi ( ;x y ) trong mặt phẳng tọa độ Oxy

1). (2  z i )(     z )  2 ( x yi )  i   x yi    (2   x ) yi x    (1 y i ) 

 (x2y22xy) ( x 2y2)i Khi đó (2z i)( z) là số thuần ảo, khi và chỉ khi :

2

x y x y x y 

Vậy tập hợp c|c điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 1;1

2

I 

 , bán kính

5 2

R

z  z  xyi  x yi x y  xyix y

2

0

y

xy



 Vậy tập hợp c|c điểm biểu diễn số phức z là trục hoành Ox

3). z 2 1 z 2 1 z 2 i z





(x 2) y x (1 y)

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình: 4x2y 3 0

4). z i            z i 4 x yi i x yi i 4

Gọi F1(0; 1), F2(0;1) và ta có M x y( ; ), do đó : (*)MF1MF2 4

Suy ra M thuộc elip có 2 2 2

3 1

a

b a c c



 

1

x  y 

Hay tập hợp c|c điểm M biểu diễn số phức z là một elip có phương trình :

2 2

1

x  y 

5). z          2 i 1 3 x yi 2 i 1 3 ( x   1) ( y  2) i  3

2 2 2 2

(x 1) (y 2) 3 (x 1) (y 2) 9

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một hình tròn tâm I(1; 2) , bán kính R  3

6). 1            z i 1 2 1 x yi i 1 2 1 ( x   1) ( y  1) i  2

2 2 2 2

1 (x 1) (y 1) 2 1 (x 1) (y 1) 4

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là hình vằn khăn tâm I( 1;1) với bán kính lớn

1 2

R  và bán kính nhỏ R2 1

CHÚC MỪNG BẠN ĐÃ HOÀN THÀNH XONG CHƯƠNG ĐẦU TIÊN CỦA CUỐN SÁCH CÔNG VIỆC BÂY GIỜ LÀ KIỂM TRA LẠI NHỮNG GÌ MÌNH ĐÃ HỌC ĐƯỢC QUA 20 BÀI TOÁN CUỐI CHƯƠNG DƯỚI ĐÂY

BÀI TẬP TỰ LUYỆN CUỐI CHƯƠNG

Bài 1 (THPTQG – 2015). Cho số phức z thõa mãn   1  i z    1 5 i 0.

Tìm phần thực và phần ảo của z

Bài 2 Cho số phức z   3 2 i Tìm phần thực, phần ảo của số phức w3zz

Bài 3. Đặt   3 2

f z  z  z   z với z là số phức Tính f z 0  f z 0 , biết z0  1 2 i

Bài 4. Cho số phức z thỏa mãn   1  i z  2 z  2.Tính môđun của số phức     z 2 3 i

Bài 5. Tìm môđun của số phức z, biết    2 1 2   

1

i

i





Bài 6. Cho số phức z thỏa mãn  1 2  i z     2 2 i z   i Tìm môđun của z

Bài 7. Cho số phức z thỏa m~n điều kiện   1

1

i

i



Tìm môđun của số phức 2

1

w  z z

Bài 8. Gọi z z1, 2 là hai nghiệm phức của phương trình 2

z  z  và M N, lần lượt là c|c điểm biểu diễn z z1, 2trên mặt phẳng phức Tính độ d{i đoạn thẳng MN

Bài 9. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức:   2  

i



Tìm môđun cho số phức w z i.

Bài 10. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn z  2 z   3 2 i

Bài 11. Tìm số phức z thỏa mãn z  2 và 2

1

z i



 là số thực

Bài 12. Cho số phức z 1 3i Tính môđun của số phức 2 16

w z

z

Bài 13. Cho số phức zcó phần ảo âm và thỏa mãn 2

6 13 0

z  z  Tính môđun của số phức: w z 6

z i

 



Bài 14. Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình

z2 2z 3 0 Tính 2

1

A z

Bài 15. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn : z    2 i z     5 3 i z   1

Bài 16. Tìm môđun của số phức zi, biết  z i   z   i  2 iz (i l{ đơn vị ảo)

Bài 17. Tìm số phức z thỏa mãn  1 1   

1

i z

z





Bài 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:

2 3

z  iz i z 

Bài 19. Tìm hai số thực b và c biết z1 1 i và z2 là nghiệm của phương trình

2

0

z bz c Khi đó tính môdun của số phức wz1 2i 1z2 2i 1

Bài 20 Cho a  và z thỏa mãn 2 2

z  za  a  Tìm a để zmin

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN CUỐI CHƯƠNG

Bài 1.

Ta có:   1  i z      1 5 i 0   1 i z   1 5 i

2

1 5 1

3 2

i i

Vậy phần thực của z bằng 3; phần ảo của z bằng 2

Bài 2

Với z   3 2 i   z 3 2i, khi đó: w3z z 3.(3 2 ) (3 2 ) i   i  6 8i

Vậy số phức w có phần thực là 6 và phần ảo là 8

Bài 3

Ta có z0   1 2 i Khi đó:      3 3  2 2  

f z  f z  z z  z z  z z

  2 2  

z z z z z z z z 

 2    2 

4 i  z z z z 3 z z 1  4 4 i z 6 1

  4 4 5 6 1 i       24 i Vậy f z 0  f z 0 24i

Bài 4.

Đặt z   a bi a b  ,   Theo bài ra ta có:

(1i)(1bi) 2( a bi )     2 a bi ai b 2a2bi2

(3a b) (a b) 2

  nên z   1 i Khi đó           z 2 3 i 1 i 2 3 i 3 4 i

3 4 5

   

Bài 5. Ta có:    2 1 2   

1

i

i





2(1 2 )(1 )  

2

i i

iz i zi   i z

    2 i  1 2 i z      3 i  3 2 i z 

5

2

i z z i

2

2

5

2

z     

 

 

Bài 6

Giả sử z   a bi a b  ,  

Khi đó điều kiện  1 2  i z     2 2 i z   i trở thành:  1 2  i  a bi      2 2 i  a bi    i