Bài tập đạo hàm ôn tập và luyện thi

BÀI TẬP ĐẠO HÀM ĐỖ VĂN THỌ... Vấn đề 4: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong b.. Suy ra phương trình tiếp tuyến... Tiếp điểm có hoành độ bằng -2 b.. Hệ số góc của tiếp tuyến bằng -

BÀI TẬP ĐẠO HÀM

ĐỖ VĂN THỌ

Vấn đề 1: Tìm số gia của hàm số

Để tính số gia của hàm số y  f x  tại điểm x tương ứng 0

với số gia x cho trước ta áp dụng công thức tính sau:

Để tìm đạo hàm của hàm số y  f x  tại điểm x bằng 0

định nghĩa ta làm như sau:

Bài 2.2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x 0

a   1 cos 2sin ; 0

0 ; 0

x x

Bài 2.4: Tính đạo hàm của hàm số

a) f x( )  x3 tại điểm x0 bất kì b) ( )f x  x1 tại điểm x0 bất kì

* f x có đạo hàm tại   x0  f x  liên tục tại x 0

* f x liên tục tại   x chưa chắc 0 f x có đạo hàm tại   x 0

a Xét sự liên tục của hàm số tại x0 1

b Xét xem tại x0 1 hàm số có đạo hàm hay không?

a Xét sự liên tục của hàm số tại x0  0

b Xét xem tại x0  0 hàm số có đạo hàm không?

a Xét sự liên tục của hàm số tại x0  0

b Xét xem tại x0  0 hàm số có đạo hàm không?

Bài 3.2: Cho   sin 2 ; 0

a Xét sự liên tục của hàm số tại x0  0

b Xét xem tại x0  0 hàm số có đạo hàm không?

x x x

a Chứng minh rằng hàm số f liên tục tại x0  0

b Tính đạo hàm nếu có của f tại x0  0

x

x x

b Tính đạo hàm nếu có của f x tại   x0  0

a Hàm số f x có liên tục tại   x 1 không ?

b Từ đó suy ra hàm số f x có đạo hàm tại   x 1 không?

x  nhưng liên tục tại đó

Bài 3.22: Chứng minh rằng hàm số   cos ; 0

Vấn đề 4: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong

b Các loại tiếp tuyến:

* Loại 1: Tiếp tuyến tại điểm M x y  0; 0

Phương trình của tiếp tuyến với (C) tại điểm M x y thuộc (C) có  0; 0

dạng:

y  y  f x x  x

* Loại 2: Tiếp tuyến song song với đường thẳng  

- Tiếp tuyến (d) song song với    k d  k

- Gọi x là hoành độ tiếp điểm, ta có 0 f ' x0  k d (1)

- Giải (1) ta được x Từ đó suy ra 0 y 0

- Phương trình tiếp tuyến cần lập y  y0  f ' x0 x  x0

* Loại 3: Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  

- Gọi x là hoành độ tiếp điểm, ta có 0 f ' x0  k d 2 

- Giải (2) ta được x Từ đó suy ra 0 y 0

- Phương trình tiếp tuyến cần lập là y  y0  f ' x0 x x0

* Loại 4: Tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước

- Gọi (d) là tiếp tuyến cần tìm và x y là tiếp điểm 0; 0

Ta có (d): y  y0  f ' x0 x  x0

- Cho (d) đi qua A ta được y A  y0  f ' x0 x A  x0 (3)

- Giải (3) ta được x0  y0 Suy ra phương trình tiếp tuyến

a Tiếp điểm có hoành độ bằng -2

b Tiếp điểm có tung độ bằng 3

c Hệ số góc của tiếp tuyến bằng -4

d Tiếp tuyến song song với đường thẳng   1

4

2

x x

a Tại điểm có hoành độ bằng 6

b Song song với đường thẳng   : y   3x 29

c Vuông góc với đường thẳng   1

x





 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc

của tiếp tuyến bằng -5 (Đề thi TNTHPT 2009)

hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau

Bài 4.4: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): 3 2

y  x  x  Biết tiếp tuyến đi qua 23; 2

y  x  x  Viết phương trình tiếp tuyến của

đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M  1; 9

Bài 4.7: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số sau tại điểm có

b Lập phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x0 1

c Lập phương trình tiếp tuyến của (P), biết tiếp tuyến song song với

Bài 4.10: Cho parabol (P): 2

y  x Viết PTTT của (P), biết:

a Tiếp tuyến song song với đường thẳng   : y  2x 10

b Tiếp tuyến đi qua điểm A0; 1 

Bài 4.11: Gọi (C) là đồ thị của hàm số 3 2

y  x  x 

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó

a) song song với đường thẳng y   3x 1

b) vuông góc với đường thẳng 1 4

7

y  x 

c) đi qua điểm A(0;2)

Bài 4.12: Cho đường cong (C): 2

2

x y x







Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)

a) tại điểm có hoành độ bằng 1

b) tại điểm có tung độ bằng 1

3c) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là 4

Bài 4.13: Gọi (C) là đồ thị của hàm số 3

y  x  x

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó

a) nhận điểm A(2; 4) làm tiếp điểm

b) song song với đường thẳng y 9x  2

c) đi qua điểm B(0;2)

Bài 4.15: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị các hàm số

    

2 2

x y

u u

u



Bài tập Bài 6.1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau

x y

x y

x y

x y

x y

x



11

x y

x y

3

1

1

x y

1

ln

1

x x

2 1ln

f y  x e .lnx x g

ln

x y

x x

sinx' cosx sinu'u'.cosu     1

sin u '  sinu '.sin u

cosx' sinx cosu' u'.sinu     1

cos u ' cosu '.cos u

u

cot u ' cotu 'cot u

Chú ý:

a Để thu gọn kết quả ta cần chú ý các công thức sau:

 sin 2x 2sin cosx x

a 2sin sin 2 sin2 sin sin 2

f

20 2

2

1 tan

1 tan

x y

x y

Bài 7.2: Tìm đạo hàm các hàm số sau:

a y sin 3 cos 2x x b os sin 2 os2

Bài 7.4: Tính đạo hàm của các hàm số sau

1) y  5sinx 3cosx 2) y  sin(x2 3x 2) 3) y sin x

4) y  cos2 x 5) y cos 2x1 6) y  2sin 3 cos5x x

7) y  sinx cosx

 8) y  cos 2x 9) y  sinx  x

10)y  sin(cos )x  cos(sin )x 11) sin

b) y  tan3 x cot 2x c) y  cot x2 1

d) y  tan 3x cot 3x e) y  xcotx f)

2 2

1 tan 3

1 tan 3

x y

a y sin cos xcos sin x b y  sin ln x  cos ln x

c y  x2.sin x2 cos 22 x d y  sin 35 x cos 35 x

sinsin

x y

Vấn đề 8: Tìm vi phân của hàm số

a Tính vi phân của hàm số f x tại   x cho trước 0

- Tính đạo hàm của hàm số tại x 0

- Suy ra vi phân cùa hàm số tại x ứng với số gia x0  là:

x

1

x y

x



