Chứng minh mặt phẳng SAC vuông góc với mặt phẳng SBM và tính thể tích tứ diện ANIB ĐS: 3 2 36 ANIB a... Bài 6: Khối A - 2007 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam g
Trang 1LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Trang 2Bài 1: (Khối B - 2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M, N, P
lần lượt là trung điểm của BB’, CD, A’D’ Tính d A B B D và góc giữa hai ' , '
đường thẳng MP, C’N
ĐS: ' , '
6
a
Bài 2: (Khối A - 2006) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N lần lượt
là trung điểm AB, CD Giả sử A0,0,0 ; B 1,0,0 ; D 0,1,0 ; ' 0,0,1 A
a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN
b Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy góc
mà cos 1
6
ĐS: a 1
2 2 b P1 : 2x y z 1 0; P2 :x2y z 1 0
Bài 3: (Khối A - 2003) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cạnh
AB AD a, AA'b, M là trung điểm của CC’
a Tính thể tích tứ diện BDA’M
b Tìm tỉ số a b: để BDM A BD'
ĐS: a
2 '
4
BDA M
a b
V b a b: 1:1
Bài 4: (Dự bị - Khối B -2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông tâm I, SA vuông góc với đáy Cho ABa SA, a 2 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD Chứng minh SC AHK và tính thể tích khối
IAHK
ĐS:
3
2 27
IAHK
a
Bài 5: (Khối B - 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật
Giả sử ABa AD; a 2;SAa SA, ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC và I là giao điểm của BM với AC Chứng minh mặt phẳng (SAC)
vuông góc với mặt phẳng (SBM) và tính thể tích tứ diện ANIB
ĐS:
3
2 36
ANIB
a
Trang 3Bài 6: (Khối A - 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP và tính
CMNP
V
ĐS:
3
3 96
C MNP
a
Bài 7: (Khối B - 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
2a, SAa SB, a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN
ĐS:
3
3
S BMDN
a
V và cos 1
5
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SAB đều cạnh a
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa đường thẳng SA và mặt
phẳng (ABCD) bằng 0
30
a Tính V S ABCD.
b Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
ĐS: a
3
6
S ABCD
a
V b
2
2 10 4
3
a
S R
Bài 9: (ĐH KT 2001) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và
2 ,
AB a BC a các cạnh bên đều có độ dài là a 2 Tính V S ABCD. và khoảng cách giữa hai đường thẳng SD, BC
ĐS:
3
3
S ABCD
a
,
7
a
d SD BC
Bài 10: (Khối D - 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang
vuông ở A, B và AB BC a AD, 2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy,
2
SAa Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB Chứng minh SCD
vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng SCD
ĐS: ,
3
a
d H SCD
Bài 11: (Khối A - 2009) Cho hindh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang
vuông tại A và D, AB AD2 ,a CDa, góc giữa hai mặt phẳng SBC và
Trang 4(ABCD) là 0
60 Gọi I là trung điểm của AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính V S ABCD. theo a
ĐS:
3
5
S ABCD
a
Bài 12: (Khối B - 2005) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C 1 1 1 có tọa độ các đỉnh
0, 3,0 ; 4,0,0 ; 0,3,0 ; 1 4,0, 4
a Tìm tọa độ các đỉnh A C1, 1 và viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng BCC B 1 1
b Gọi M là trung điểm của A B1 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt AC1 1 ở N Tính độ dài đoạn thẳng MN
ĐS: a A10, 3, 4 ; C1 0,3, 4 và 2 2 2 576
25
S x y z
b P :x4y2z12 0 và 17
2
Bài 13: (Khối D - 2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác
vuông, AB BC a , cạnh bên AA'a 2 Gọi M là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C
ĐS:
3 ' ' '
2
ABC A B C
a
V và , '
7
a
Bài 14: (Dự bị - Khối D - 2007) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC
là tam giác vuông, AB AC a, cạnh bên AA'a 2 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA BC', ' Chứng minh MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AA BC', ' Tính theo a thể tích của tứ diện MA BC ' '
ĐS:
3 ' '
6 2
MA BC
a
V
Bài 15: (Khối D - 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam
giác vuông tại B, ABa AA; '2 ; 'a A C 3a Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách
từ điểm A đến mặt phẳng (IBC)
Trang 5ĐS:
3
4 9
IABC
a
V và 2
,
5
a
Bài 16: (Dự bị - Khối D -2007) Cho lăng trụ đứnh ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh
đều bằng a Gọi M là trung điểm AA' Chứng minh MB B C' và tính
, '
d BM B C
, '
10
a
Bài 17: (Khối A - 2008) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên là 2a,
đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a AC, a 3 và hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC Tính theo a thể tích thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA B C', ' '
ĐS:
3 '.
2
A ABC
a
V và cos 1
4
Bài 18: (Dự bị - Khối B - 2007) Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường
kính AB 2R và điểm C thuộc đường tròn đó sao cho AC R Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SBC)
là 0
60 Tính V S ABC.
ĐS:
3
6 12
S ABC
R
Bài 19: (Khối A - 2006) Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán
kính đáy bằng chiều cao và bằng a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB 2a Tính V OO AB'
ĐS:
3 '
3 12
OO AB
a
Bài 20: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi DH là đường cao của tứ diện ABCD và
O là trung điểm của DH
a Tính V ABCD
b Chứng minh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau
ĐS:
3
2 12
ABCD
a
Bài 21: (Dự bị Khối D - 2006) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh
đáy là a, SH là đường cao và khoảng cách từ trung điểm I của SH mặt phẳng (SBC)
là b Tính V S ABCD. theo a và b
Trang 6ĐS:
3
2
S ABCD
a b
Bài 22: Cho hình chóp S.ABCD có SA x , tất cả các cạnh còn lại bằng a Chứng minh BD SAC và tìm xđể thể tích khối chóp S.ABCD bằng
3
2 6
a
ĐS: x a hoặc xa 2
Bài 23: (Cao đẳng – Khối A, B, D - 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD
là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, SA SB , góc giữa SC
và đáy bằng 0
45 Tính V S ABCD. theo a
ĐS:
3
5 6
S ABCD
a
Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SAB ABCD
và SCD đều cạnh a, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng Tính
.
S ABCD
V theo a và
ĐS:
3 sin 2
8
S ABCD
a
Bài 25: (Khối B - 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
2a, SAa SB; a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN
ĐS:
3
3
S BMDN
a
V và cos 1
5
Bài 26: Cho hình vuông ABCD cạnh a Qua trung điểm I của cạnh AB dựng đường
thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Trên d lấy điểm S mà 3
2
a
SI Tính khoảng cách từ C đến (SAD)
ĐS: 3
,
2
a
Bài 27: (Dự bị - Khối A - 2007) Cho hình chóp S.ABC có ABC, SBC là các tam
giác đều cạnh a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 0
60
a Tính V S ABC.
b Tính d B SAC ,
Trang 7ĐS:
3
3 16
S ABC
a
,
13
a
Bài 28: (Khối B - 2004) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy là a, góc
giữa cạnh bên và đáy là 0 0
0 90 Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo và thể tích hình chóp S ABCD theo a và
ĐS:
3
tan
3 2
S ABCD
a
Bài 29: (Dự bị - Khối B - 2003) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là
a, mặt bên tạo với đáy góc 0 0
Tính V S ABC. và d A SBC ,
ĐS:
3
tan 24
S ABC
a
V
2
a
Bài 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
,
AB a SA ABCD , SC tạo với đáy góc 0
45 và tạo với (SAB) góc 300 Tính
.
S ABCD
V
ĐS:
3
2 3
S ABCD
a
Bài 30: (Dự bị - Khối A - 2002) Cho tứ diện ABCD có ABa AC, b AD, c và
ba góc ở A đều bằng 0
60 Tính V ABCD
12
ABCD
abc
Bài 31: (Khối D - 2006) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a
và SA 2 ,a SAABC Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB, SC Tính V A BCNM.
ĐS:
3
9
50 3
A BCNM
a
V
Bài 32: Cho tứ diện ABCD có cách cạnh AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau,
AB BC CD a Gọi C’, D’ tương ứng là hình chiếu vuông góc của B trên AC,
AD Tính V ABC D' '
ĐS:
3 ' '
36
ABC D
a
V
Trang 8Bài 33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA 2a và
SA ABCD Gọi B’, D’ tương ứng là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC ở C’ Tính V S AB C D. ' ' '
ĐS:
3 ' ' '
16 45
S AB C D
a
Bài 34: (Dự bị - Khối A - 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ
nhật, ABa AD, 2a, SAABCD, SB tạo với đáy góc 0
60 Trên cạnh SA là
3
a
AM Mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N Tính V S BCNM.
ĐS:
3
10
9 3
S BCNM
a
V
Bài 35: (ĐHThS - 2001) Cho tứ diện SPQR có ba góc phẳng ở đỉnh S vuông và
SP a SQ b SRc Gọi A, B, C lần lượt là trung điểm của các cạnh PQ, QR, RP
a Chứng minh các mặt phẳng của hình chóp S.ABC là các tam giác bằng nhau
b Tính V S ABC.
ĐS: .
24
S ABC
abc
V
Bài 36: (Cao đẳng – Khối A, B, D - 2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có
độ dài các cạnh AB a SA, a 2 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB,
CD Chứng minh MN SP và tính V AMNP
ĐS:
3
6 48
AMNP
a
Bài 37: (Khối A - 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, AD và H là giao điểm của CN với DM Biết
SH vuông góc với đáy và SH a 3 Tính V S CDNM. và khoảng cách giữa 2 đường thẳng DM, SC theo a
ĐS:
3
24
S CDNM
a
,
19
a
d DM SC
Bài 38: (Khối B - 2010) Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A’B’C’ có
AB a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) là 0
60 Gọi G là trọng tâm của tam giác A’BC Tính thể tích lăng trụ và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC
Trang 9ĐS:
3 ' ' '
8
ABC A B C
a
12
a
R
Bài 39: (Dự bị - Khối D - 2007) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC
là tam giác vuông, AB AC a AA, 'a 2 Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của '
AA và BC' Chứng minh PQ là đường vuông góc chung của AA'và BC' Tính
' '
PA BC
V
ĐS:
3 ' '
2 12
PA BC
a
Bài 40: (Dự bị - Khối D - 2007) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các
cạnh đều bằng a Gọi M là trung điểm của AA' Chứng minh MB B C' và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM, B’C
, '
10
a
Bài 41: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có ABC vuông cân với cạnh huyền AB 2, mặt phẳng A AB vuông góc với đáy, ' AA' 3, góc 'A AB
nhọn và góc giữa mặt phẳng A AC với đáy bằng ' 600 Tính thể tích lăng trụ
ĐS: ' ' ' 3
2 5
ABC A B C
Bài 42: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều,
Aba độ dài đoạn vuông góc chung giữa AA’ và BC là 3
4
a
Tính V A BB C C'. ' '
ĐS:
3 ' ' '
3 18
A BB C C
a
Bài 43: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ABa AD, b AA, 'c và ba góc ở A đều bằng 0
60 Tính thể tích hình hộp
ĐS: ' ' ' '
2
ABCD A B C D
abc
Bài 44: (Khối B - 2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB' a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 0
60 , tam giác ABC vuông tại C
và BAC 600 Hình chiếu vuông góc của điểm B’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính V A ABC'
Trang 10ĐS:
3 '
9 208
A ABC
a
V
Bài 45: (Khối A - 2008) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên là 2a,
đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a AC, a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính Cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’, B’C’
ĐS:
3 '.
2
A ABC
a
V và 1
cos ', ' '
4
AA B C
Bài 46: Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB 2a Trên đường thẳng d qua A và vuông góc với (ABC) lấy điểm S sao cho (SBC) tạo với (ABC) góc 0
60 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Bài 47: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SA a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 0
60
a tính thể tích khối chóp S ABCD
b Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
ĐS:
3
4
5 15
S ABCD
a
V và
2
5 3
a
S
Bài 48: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC cùng tạo với (ABC) góc 0
60 , tam giác ABC cân với AB AC a 3,BC 2a
a Tính V S ABC.
b Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
ĐS:
3
3 2
S ABC
a
6
a
Bài 49: (Khối A - 2006) Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán
kính đáy bằng chiều cao và bằng a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB 2a Tính thể tích khối tứ diện OO’AB
ĐS:
3 '
3 12
OO AB
a
Bài 50: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, canjha,
SO ABCD Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh SA và BC Biết góc giữa MN và (ABCD) bằng 0
60 Tính MN, SO và V S ABCD.