HD chấm đề Toán HSG huyện (08-09)

Nên: S không là số nguyên.. y km là chiều dài quãng đường đua... Vậy: tam giác BMD đều.. 2R = 4R R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS

Khóa ngày 10 tháng 02 năm 2009 Môn: TOÁN

Câu 1

(6,0đ)

1) (3,0 điểm)

 Điều kiện: x  5

2

 Khi đó, phương trình đã cho tương tương với phương trình: ( 2x 5 3)  2  ( 2x 5 1)  2 4

 2x 5 3   2x 5 1 4  

 1 2x 5  2x 5 1 

 Do đó: 1 2x 5 0   x 3

 Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có: 5 x 3

2  

 Vậy tập nghiệm của phương trình là mọi x: 5 x 3

2 

2) (3,0 điểm)

 Ta có: P = 1 2x 3 2x  

 Mà: 1 2x  3 2x 1 2x 3 2x    4 Nên P  4

 Vậy: P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi (1+ 2x)(3-2x) 0

 1 x 3

  

0,25

1,0 0,5

0,5 0,25 0,5

0,5x2 1,0

0,5 0,5

Câu 2

(3,0đ)  S =

2 1 3 1 4 1 n 1

S = (1 12) (1 12) (1 12) (1 12)

       

S = n – 1 – ( 12 12 12 12

2 3  4  n ) < n – 1 Vậy: S < n – 1 (1)

 Ta chứng minh: S > n – 2 Thật vậy:

0,5

0,5

12 12 12 12

2 3  4  n <

1 1 1 1 1.2 2.3 3.4   (n 1).n

< (1 1) (1 1) (1 1) ( 1 1)

2 2 3 3 4 (n 1) n



< 1 - 1 n

Do đó: S > n – 1 – (1 - 1

n) = n – 2 +

1

n > n -2 Vậy: S > n – 2 (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: n – 2 < S < n – 1 với mọi số

nguyên dương n 2

Mà: n – 2 và n – 1 là hai số nguyên dương liên tiếp

Nên: S không là số nguyên

0,5

0,5 0,5 0,5

Câu 3

(3,0đ)

 Gọi x (km/h) là vận tốc người thứ hai

y (km) là chiều dài quãng đường đua

Điều kiện: x  3, y > 0

 Ta có: x + 15 (km/h) là vận tốc môtô thứ nhất

x – 3 (km/h) là vận tốc môtô người thứ ba

12 phút = 1

5 giờ

3 phút = 1

20 giờ

 Theo đề bài ta có hệ phương trình:

x x 15 5

y y 1

x 3 x 20





 



 Phương pháp giải hệ phương trình trên

Kết quả: x = 75, y = 90

 Vậy: vận tốc môtô thứ nhất là: 90 km/h;

vận tốc môtô thứ hai là: 75 km/h;

vận tốc môtô thứ ba là: 72 km/h

0,25 0,25 0,25

0,25

0,25 0,5 0,25x2

0,25x3 Câu 4

(3,0đ)

 Đặt AC = AB = x, BC = y

Ta có: tam giác AHC đồng dạng với tam giác BKC ( vì

có góc nhọn C chung) nên:

AH BK

AC BC Hay AH.BC = BK.AC

0,5 0,5

H A

Vậy: 5y = 6x (1)

 Mặt khác: trong tam giác AHC vuông tại H ta có:

AC AH HC Hay

2

x 10

2

 

   

  (2)

 Từ (1) và (2) ta suy ra: x = 25

2 , y = 15.

Vậy: AB = AC = 25

2 cm, BC = 15cm

0,5

0,5

0,5 0,5

Câu 5

(5,0đ)

1) (2,5 điểm)

 Lấy điểm D trên cạnh MC sao cho MD = MB

Ta có: góc BMD bằng 600

Vậy: tam giác BMD đều

 Suy ra: BM = BD (1)

 Ta có: MBA DBC ( vì cùng bằng 600

- ABD) (2)

AB = BC (3)

 Từ (1), (2), (3) suy ra: MBADBC

 Do đó: DC = MA

 Vậy: MA + MB = CD + DM = MC

2) (2,5 điểm)

 Do M thuộc cung nhỏ AB nên theo câu 1)

Ta có: P = MA + MB + MC = MC + MC = 2MC

P = 2MC 2 2R = 4R ( R là bán kính đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC.)

 Mà: R = a 3

3

 Nên P 4a 3

3



0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

0,5

0,5

0,5

C D

B

A M

 Vậy: P đạt giá trị lớn nhất bằng 4a 3

3 khi đó M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB

0,5 0,5