Dựng điểm M: Ta dựng hình vuông OADC, dựng đường tròn tâm O đi qua điểm D, cắt d tại M.. Chứng minh: Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MN và MP.. Tương tự, tam giác OPM cũng vuông cân tại P.. Do đó M
Trang 1HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH.
NĂM HỌC 2008-2009 MÔN THI: Toán (Thời gian làm bài 150 phút)
1
(2,5đ)
1.1
(0,75đ) Giải, xác định đúng điều kiện: 2; 2
x x
x24x 4 2x2 1 2 2x21 7 7 = 0
2 (x 2) ( 2x 1 7) 0
2
2
2 0
2 2
2
x x
x x
x
x
(Thỏa mãn)
0,25 0,25
0,25
1.2
(1.0đ)
Điều kiện :
2 2
2 3 0 (4)
x x x
Từ (2) (x2 – 4)(x2 + 4) 0 x2 4 0 kết hợp với (1) và (3) suy ra x = 2 Thay vào (4): y2 – 2y + 1 0 ; Đúng với mọi giá trị của y
Thay x = 2 vào phương trình và giải đúng, tìm được y = 1,5 Vậy nghiệm của phương trình: (x = 2; y = 1,5)
0.5đ 0,5
1.3
(0,75đ)
Biến đổi đưa được pt về dạng: (x2 – 2y2 – 5)(x2 + y2 +1) = 0
x2 – 2y – 5 = 0 x2 = 2y2 + 5 x lẻ Đặt x = 2k + 1 ; ( kZ) 4k2 + 4k +1 = 2y2 + 5 2y2 = 4k2 + 4k – 4
y2 = 2(k2 + k – 1) y chẵn Đặt y = 2n; (n Z) 4n2 = 2(k2 + k – 1) 2n2 + 1 = k(k + 1) (*) Nhìn vào (*) ta có nhận xét: Vế trái nhận giá trị lẻ, vế phải nhận giá trị chẵn (Vì k
và k + 1 là hai số nguyên liên tiếp) (*) vô nghiệm pt đã cho vô nghiệm
0,25 0,25 0,25
2
(2,0đ)
2.1
(1,0đ)
Để n 18 và n 41 là hai số chính phương
2 18
vàn 41q p q2 , N
Nhưng 59 là số nguyên tố, nên: 1 30
Từ n18p2 302 900 suy ra n 882
Thay vào n 41, ta được 882 41 841 29 2 q2 Vậy với n 882 thì n 18 và n 41 là hai số chính phương
0,5 0,5
2.2
( 1,0đ) Gọi số cần tìm là : ab10a b (a, b là số nguyên và a khác 0)
Theo giả thiết: 10a b a b là số nguyên, nên ab và b là các số chính phương,
do đó: b chỉ có thể là 1 hoặc 4 hoặc 9
10a b a b10a b a 2a b b 2 5a b a
2 5 b a
(vì a 0)
0,5
Do đó a phải là số chẵn: a2k, nên 5 b k 0, 5
Trang 2Nếu b 1 a 8 81 8 1 9 (thỏa điều kiện bài toán) Nếu b 4 a 6 64 6 4 8 (thỏa điều kiện bài toán) Nếu b 9 a 4 49 4 9 7 (thỏa điều kiện bài toán)
3
3,25đ) 3.1
(1,0)
d
d '
D
B
I E N
P
H O
M
Ta có: MN = MP (Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau) Chứng minh được 2 tam giác MAN và MNB đồng dạng
Suy ra: MA MN MN2 MP2 MA MB
0.25
0.5 0.25
Trang 3Dựng điểm M: Ta dựng hình vuông OADC, dựng đường tròn tâm O đi qua điểm D, cắt (d) tại M
Chứng minh: Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MN và MP Ta có MN MO2 ON2 , nênR
Tam giác ONM vuông cân tại N Tương tự, tam giác OPM cũng vuông cân tại P Do
đó MNOP là hình vuông
Bài toán luôn có 2 nghiệm hình vì OM R 2R
0,25 0,25
0,50 0,25
3.3
(1,0)
+ Ta có: MN và MP là 2 tiếp tuyến của (O), nên M, N, O, P cùng nằm trên đường tròn đường kính OM Tâm là trung điểm H của OM Suy ra tam giác ba điểm M, N,
P thuộc đường tròn đường kính OM, tâm là H
+ Kẻ OEAB, thì E là trung điểm của AB (cố định) Kẻ HL( )d thì HL // OE, nên HL là đường trung bình của tam giác OEM, suy ra: 1
2
HL OE (không đổi)
+ Do đó, khi M đi động trên (d) thì H luôn cách dều (d) một đoạn không đổi, nên H chạy trên đường thẳng (d') // (d) và (d') đi qua trung điểm của đoạn OE cố định
0,5 0,25 0.25
4
x c
b a
1
C
B A
O K P
Nối AO, xét tam giác vuông POM có OA là đường cao Theo Pi-ta-go ta có: PO2 = PM PA
1 1
PA
Áp dụng Pi-ta-go vào: POM và PON lại có: PA PM = PB PN ( = PO2)
PN PM mà góc APB chung APB ~NPM(c.g.c) AP AB
NP MN
(1 )(1 )
a b
AP NM AB
Tương tự tính được : AC = 2 2
( 1)( 1)
a c
( 1)( 1)
b c
0.25
0,25
0,5đ
0,5đ
Trang 4(0,75) Ta có a2 + b2 - ab ≥ ab
(a + b)(a + b - ab) ab(a + b) a + b ab(a + b)
2
a + 20b 19b + ab(a + b) 20b - ab(a + b) 19b - a b(20b - ab - a ) 19b - a b(20b - 5ab + 4ab - a ) 19b - a b[5b(4b - a) + a(4b - a)] 19b - a
b(4b - a)(a + 5b) 19b - a (4b - a)(ab + 5b ) 19b - a 19b - a
4b - a
ab + 5b
0.25
0,25
Tương tự với a, b, c > 0 thì:
19c - b 19a - c
4c - b; 4a - c
cb + 5c ac + 5a
Từ đó ta có BĐT cần chứng minh Dấu “=” xảy ra khi a = b = c 0,25
Các cách giải khác nhưng đúng yêu cầu đề ra vẫn cho điểm tối đa, phần hình học phải có hình vẽ