Đề và HD giải đề thi HSG Huyện Lộc hà năm 2009-2010

Gọi K là giao điểm của BO và AC.. Gọi M là trung điểm của BC.. Chứng minh rằng tam giỏc MPQ cõn tại M.

đề khảo sát chất lợng học sinh giỏi

Mụn : Toỏn Lớp 8 Năm học : 2009 – 2010

Thời gian làm bài : 120 phỳt

Cõu 1 : Giải phương trỡnh : a) x x 21 x x 43(x 2)2.(4 x)











b) 6x2 - x - 2 = 0

Cõu 2 : Cho x + y + z = 0

2 2 2

) ( ) ( ) (y z z x x y

z y x















Cõu 3 : Chứng minh rằng khụng tồn tại x thỏa món :

a) 2x4 - 10x2 + 17 = 0 b) x4 - x3 + 2x2 - x + 1 = 0

Cõu 4 : Cho tam giỏc ABC, điểm D nằm trờn cạnh BC sao cho 21

DC

DB

; điểm O nằm trờn đoạn AD sao cho 23

OD

OA

Gọi K là giao điểm của BO và AC Tớnh

tỷ số AK : KC

Cõu 5 : Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn, trực tõm H Một đường thẳng qua H

cắt AB, AC thứ tự ở P và Q sao cho HP = HQ Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng tam giỏc MPQ cõn tại M

hướng dẫn giải Cõu 1 (Bạn đọc tự giải)

Cõu 2:

Từ x + y + z = 0  x2 + y2 + z2 = - 2(xy + yz + zx) (1)

Ta cú: (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = 2(x2 + y2 + z2 ) - 2(xy + yz + zx) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = - 6(xy + yz + zx) (3)

Thay (1) và (3) vào biểu thức A ta cú:

A = - 2(xy + yz + zx) 1

- 6(xy + yz + zx) 3

Cõu 3:

a) 2x4 - 10x2 + 17 = 0  2( x4 - 5x2 + 17

2 ) = 0  2(x4 - 2 5

2 x2 + 25

4 )2 + 9

2 = 0

 2(x2 - 5

2)2 + 9

2 = 0

Vỡ 2(x2 - 5

2)2 + 9

2 > 0 với mọi x nờn khụng tồn tại x để 2x4 - 10x2 + 17 = 0 b) x4 - x3 + 2x2 - x + 1 = 0  (x2 + 1)(x2 - x + 1) = 0

Vỡ vế phải luụn dương với mọi x nờn khụng tồn tại x để x4 - x3 + 2x2 - x + 1 = 0

Cõu 4:

Từ D kẻ DM // BK

áp dụng định lí Talét vào AOK ta cĩ:

AK AO 3

KM OD 2 (1)

Tương tự, trong CKB thì: KM CD 1

CK DB 3 (2) Nhân (1) với (2) vế theo vế ta cĩ: AK 1

CK 2

Câu 5

Gọi giao điểm của AH và BC là I

Từ C kẻ CN // PQ (N AB),

Tứ giác CNPQ là hình thang, có H là trung điểm PQ,

hai cạnh bên NP và CQ đồng quy tại A nên K là

trung điểm CN  MK là đường trung bình của 

BCN

 MK // CN  MK // AB (1)

H là trực tâm của ABC nên CHA B (2)

Từ (1) và (2) suy ra MK CH  MK là đường cao

củaCHK (3)

Từ AH BC  MCHK  MI là đường cao của CHK (4)

Từ (3) và (4) suy ra M là trực tâm của CHK MHCN  MHPQ

MPQ cĩ MH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên cân tại M

O

K M

C D

B A

I K N

M

Q

P H

C B

A