chuyen de To hop cuc hay

Tính số tam giác có các đỉnh là 3 trong số 37 điểm đã chọn ở trên... Cách 2:Mỗi tam giác được tạo thành bởi một điểm trên đường thẳng này và hai điểm trên đường thẳng kia.. 4 Có bao nhiê

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

I/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN

1) Quy tắc cộng:

Có n1 cách chọn đối tượng A1

n2 cách chọn đối tượng A2

A1  A2 = 

 Có n1 + n2 cách chọn một trong các đối tượng A1, A2

2) Quy tắc nhân:

Có n1 cách chọn đối tượng A1

Ứng với mỗi cách chọn A1, có n2 cách chọn đối tượng A2

 Có n1.n2 cách chọn dãy đối tượng A1, A2

3) Hoán vị:

 Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử gọi là một hoán vị của n phần tử

 Số hoán vị: Pn = n!

4) Chỉnh hợp:

 Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 < k  n) và sắp thứ tự của chúng gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử

 Số các chỉnh hợp: k

n

n!

A (n k)!





5) Tổ hợp:

 Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0  k  n) gọi là một tổ hợp chập

k của n phần tử

 Số các tổ hợp: k

n

n!

C k!(n k)!





 Hai tính chất k n k

C C 



k 1 k k

n 1 n 1 n

   

6) Nhị thức Newton

n

n

k 0









 Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1): k n k k

 

(1 x)   C  xC  x C  x C 

II / MỘT SỐ VÍ DỤ

1 Bài toán đếm.

1.1 Đếm các số tự nhiênđược thành lập.

Ví dụ 1

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho

a) Các chứ số đều khác nhau

b) Chữ số đầu tiên là 3

c)Các chữ số khác nhau và không tận cùng bằng chữ số 4

Giải

a) Mỗi số có 5 chữ số khác nhau được thành lập tương ứng với một chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử  Có 5

7

A = 2520 số b) Gọi số cần thiết lập là abcde

Chữ số đàu tiên là 3  a có 1 cách chọn

b, c, d, e đều có 7 cách chọn

 Có 1.7.7.7.7 = 2401 số

c) Gọi số cần thiết lập là abcde

Chữ số cuối cùng khác 4  e có 6 cách chọn (trừ số 4)

a có 6 cách chọn

b có 5 cách chọn

c có 4 cách chọn

d có 3 cách chọn

 Có 6.6.5.4.3 = 2160 số

Ví dụ 2.(ĐH An ninh 97)

Từ bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 thành lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau

Giải

Gói số cần thiết lập là abcde

Xét hai trường hợp

+ Trường hợp 1: Chọn e = 0  e có 1 cách chọn

Khi đó a có 6 cách chọn

b có 5 cách chọn

c có 4 cách chọn

d có 3 cách chọn

 Có 6.5.4.3 = 360 số

+ Trường hợp 2: Chọn e  { 2, 4, 6 }  e có 3 cách chọn

Khi đó a có 5 cách chọn trừ số 0 và e

b có 5 cách chọn

c có 4 cách chọn

d có 3 cách chọn

 Có 3.5.5.4.3 = 900 số

Vậy có 360 + 900 = 1260 số

Ví dụ 3

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số sao cho số tạo thành gồm các chữ số khác nhau và nhất thiết có chữ số 5

Giải

Cách 1:

Thành lập số có 3 chữ số khác nhau và không có mặt chữ số 5  Có A = 120 số36 Với mỗi số vừa thành lập có 4 vị trí để xen số 5 tạo thành số có 4 chữ số khác nhau và có mặt chữ số 5

 Có 120.4 = 480 số

Cách 2:

 Số cần tìm có 1 trong bốn dạng 5bcd,a5bc, ab5d,abc5

 Mỗi dạng có 120 số  có 480 số

Ví dụ 4:

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 2008 chữ số sao cho tổng các chữ số bằng 3

Giải

Xét các trường hợp

+ Trườnghợp 1: Số tạo thành gồm 1 chữ số 3 và 2007 chữ số 0

 Chỉ có 1 số 3000…000 (2007 chữ số 0)

+ Trường hợp 2: Số tạo thành gồm 1 chữ số 1, 1 chữ số 2 và 2006 chữ số 0

Chọn chữ số đầu tiên có 2 cách chọn số 1 hoặc 2

Chữ số còn lại có 2007 vị trí để đặt, còn các vị trí khác đặt số 0

 Có 2.2007 = 4014 số

+ Trường hợp 3: Số tạo thành gồm 3 chữ số 1 và 2005 chữ số 0

Chọn chữ số đầu tiên là 1

Chọn 2 trong 2007 vị trí để đặt chữ số 1  có 2

2007

C = 2007.1003 = 2013021 Vậy có 1 + 4014 + 2013021 = 2017036 số

Ví dụ 5(ĐHQG TPHCM 2001)

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai lần, chữ số ba có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần

Giải

+ Coi một dãy gồm 7 chữ số tương ứng với một số gồm 7 chữ số (Kể cả bắt đầu bằng 0) Khi đó ta thành lập số bằng cách xếp các chữ số vào 7 vị trí

Chọn 2 trong 7 vị trí để xếp chữ số 2: có C cách2

Chọn 2 trong 8 chữ số 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 để đặt vào 2 vị trí còn lại có 2

8

A cách

 Có 2

7

C 3

5

C 2

8

A = 11 760 cách

+ Cần phải loại các trường hợp chữ số 0 đứng đầu Lập luận tương tự cho 6 vị trí

 có 2

6

C 3

4

C 1

7

A = 420 số Vậy có 11 760  420 = 11 340 số

1.2 Đếm số phương án.

Ví dụ 6: (ĐH Thái nguyên 99)

Một lớp học có 25 nam và 15 nữ Cần chọn một nhóm gồm ba học sinh Hỏi có bao nhiêu cách:

a) Chọn 3 học sinh bất kì

b) Chọn 3 học sinh gồm 2 nam và một nữ

c) Chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam

Giải

a) Mỗi cách chọn là một tổ hợp chập3 của 40  Số cách chọn là: 3

40

C 9880 cách

b) Chọn 1 nam có C125 25 cách

Chọn 2 nữ có 2

15

C 105 cách

 Có 25.105 = 2625 cách chọn

c) Chọn 3 học sinh bất kì có 9880 cách

Chọn 3 học sinh nữ có 3

15

C 455 cách

 Có 9880  455 = 9425 cách chọn có ít nhất 1 nam

Ví dụ 7: (ĐHSP Quy Nhơn 97)

Cho hai đường thẳng song song a và b Trên a lấy 17 điểm phân biệt, trên b lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có các đỉnh là 3 trong số 37 điểm đã chọn ở trên

Giải

Cách 1

Mỗi tam giác được hình thành bởi ba điểm không thẳng hàng

Số bộ ba điểm từ 37 điểm trên là: 3C37

Số bộ ba điểm thẳng hàng trên a là: 3C17

Số bộ ba điểm thẳng hàng trên b là: 320C

Vậy số tam giác tạo thành là: 3C  337 C  32017 C = 11 340 tam giác

Cách 2:

Mỗi tam giác được tạo thành bởi một điểm trên đường thẳng này và hai điểm trên đường thẳng kia Xét 2 trường hợp

+ TH1: Tam giác tạo thành bởi 1 điểm trên a và 2 điểm trên b: có 2

20

17.C + TH2: Tam giác tạo thành bởi 2 điểm trên a và 1 điểm trên b: có 20.C172

 Số tam giác là: 2

20

17.C + 2

17

20.C = 11 340

Ví dụ 8: (ĐH Cảnh sát nhân dân)

Cho tam giác ABC Xét bộ gồm 4 đường thẳng song song với AB, 5 đường thẳng song song với BC và 6 đường thẳng song song với CA trong đó không có ba đường thẳng nào đồng quy Hỏi các đường thẳng trên tạo được bao nhiêu tam giác

và bao nhiêu tứ giác (không kể hình bình hành)

Giải

a) Mỗi tam giác được tạo thành bởi ba đường thẳng thuộc ba nhóm khác nhau

 Số tam giác là 4.5.6 = 120

b) Mỗi hình thang không phải hình bình hành được tạo thành bởi hai đường

thẳng thuộc nhóm này và một đường thẳng thuộc mỗi nhóm còn lại  Số hình thang là 2 1 1 1 2 1 1 1 2

C C C C C C C C C 720 hình thang

2 Giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số tổ hợp

Ví dụ 1: (CĐSP TPHCM99)

Tìm k thỏa mãn: kC14C14k 2 2C14k 1

Giải

k 12











Phương trình tương đương với

k!(14 k)! (k 2)!(12 k)! (k 1)!(13 k)!14!  14!  2.14!

 (14 k)(13 k) (k 2)(k 1)1  1 (k 1)(13 k)2

 (k + 2)(k + 1) + (14  k)(13  k) = (k + 2)(14  k)

 k2  12k + 32 = 0

 k = 4, k = 8 (Thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm: k = 4, k = 8

Ví dụ 2: (ĐH Hàng hải 99)

Giải bất phương trình:

n 3





Giải

ĐK: 4 n+1  n  3, n nguyên dương

n 3





 14.P C. n 3 A4

3 n 1  n 1 

n 1 !

n 3 !2!





n2  n 42 0 n 6 n 7      7 < n < 60

Kết hợp với Đk n 3 được tập nghiệm của bất phương trình là: {3, 4, 5}

Ví dụ 3: (ĐHBK HN2001)

Giải hệ phương trình:

2.Ax 5.Cx 90

5.Ax 2.Cx 80











Giải

ĐK: x, y  N*, y  x

u A ,  v C   u, v N* ta có hệ

u

2.u 5.v 90

5 2.v 80









  u 20v 10







Thay vào ta có

y

Ax 20 y

Cx 10









x!

(x y)!

x!

y!(x y)!

20

10













 

y! 2 x!











 

y 2 x!













 x(x 1) 20y 2 



  x 5, xy 2 4





Kết hợp điều kiện  Hệ phương trình có nghiệm x 5y 2





3) Xác định một số hạng của khai triển Newuton.

Ví dụ 1: (ĐH Kinh tế quốc dân, 1997)

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển Newton của x 1 12

x

Giải

Số hạng tổng quát

k

1

x



Số hạng không chứa x tương ứng với 12  2k = 0  k = 6

Đáp số:số hạng không chứa x phải tìm là: C x126 0 12.11.10.9.8.7 924

1.2.3.4.5.6

Ví dụ 2:(ĐH và CĐ, khối A, 2003)

Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển nhị thức Niutơn của

n

3 x

 ,

biết rằng Cn 1n 4  Cnn 37 n 3  

Giải

Ta có Cn 1n 4  Cnn 37 n 3    (n 1)!.3! (n)!.3!(n 4)!  (n 3)! 7(n 3)

 (n 4)(n 3)(n 2) (n 3)(n 2)(n 1) 42(n 3)         

(n 4)(n 2) (n 2)(n 1) 42     

 3n = 36  n = 12

Số hạng tổng quát

1

x

Số hạng chứa x8 tương ứng với 5k 36 3k 82     11k = 88  k = 8

Đáp số:Hệ số của số hạng chứa x8 phải tìm là: C12 8 495

Ví dụ 3:

Khai triển đa thức:

P(x) =1 2x  12 thành dạng :   12

P x  a  a x a x a x    Tìm maxa ,a , ,a 1 2 12

Giải

Số hạng tổng quát T C k 2xk C 2 xk k k

Xét hai hệ số liên tiếp a C 2k k

12

k  và ak 1 C12k 1 k 1 .2  Giả sử ak < ak + 1 

C 212 C12 2 

   k!.(12 k)! (k 1)!.(11 k)!12!  12! .2

3

Vậy a0 < a1 < … < a8

Tương tự như trên  a8 > a9 > … > a12

Vậy hệ số lớn nhất là: a8 C 28 8 126720

12

4) Tính tổng hoặc chứng minh đẳng thức.

Ví dụ 1 : Chứng minh rằng  n, k  N* và n ≥ k ≥ 1 thì: k k 1





Giải

Thật vậy  n, k  N* và n ≥ k ≥ 1 ta có:

k

n

k!(n k)! (k 1)!(n k)!



(k 1)!(n k)!



1

k n

nC 

 (đpcm)

Lưu ý :(Đây là một kết quả có nhiều ứng dụng trong các bài tập chứng minh đẳng thức tổ hợp khi chưa có công cụ đạo hàm và tích phân)

Ví dụ 2 : (ĐH Quốc gia Hà Nội, khối D, 1997)

Tính tổng 6 7 8 9 10 11

S C   C  C  C  C  C

Giải

Do C116 C ,C115 117 C , 114 nên

S C C C C C C  2S C C C  C C (1)

Áp dụng khai triển Niu tơn  

n

n

k 0



  với x = 1, n = 11 được  

11

k 0



Từ (1), (2) suy ra 2S 2 11 S 2 10 1024

Đáp số : S 2  10  1024

Ví dụ 3 : (ĐH Bách Khoa Hà Nội, 1999)

Cho n là số tự nhiên lớn hơn 2, tính tổng :

S C 1n 2.C2n3.C3n 4.C4n   ( 1)n 1 n.Cnn

Giải

Cách 1: (Sử dụng kết quả ví dụ 1)

Áp dụng kết quả ví dụ 1 ta có:

0

n n

n

1

Cn Cn 1 2.Cn Cn 1

( 1) n.C n ( 1)  Cn 1













 Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được

n 1

S Cn 2.Cn 3.Cn 4.Cn ( 1) n.Cn





Cách 2: (Sử dụng đạo hàm)

Xét khai triển

(1 x) C xC x C  x C

n.(1 x)  C 2xC nx C

n.(1 1)  C 2C ( 1) nC

Vậy : S = 0

Ví dụ 4: (ĐHDL Duy Tân, khối A, 2001)

n 1

1

Giải

Cách 1( Sử dụng kết quả ví dụ 1)

Âp dụng kết quả ví dụ 1 ta có:











Thay k = 0, 1, 2 … , n ta có

0 1

























n 1

n 1 1

n 1 1

n 1

1











n 1







Cách 2:(Sử dụng tích phân)

Xét khai triển

(1 x) n C0n xC1n x C2 2n x C3 3n  x C n nn

(1 x) dx (C xC x C x C x C )dx

Ta có:

1

0

n 0

(1 x) dx



n 1

n 1





x

n 1



n 1





Vậy Vậy 1 n 1

n 1







Ví dụ 5: Chứng minh đẳng thức sau:

7

2 .C0 2 .C1 2 C2 2 C3 2 C4 2C5 1C6





Giải

Xét khai triển

(2 x) 2 C 2 xC 2 x C 2 x C 2 x C 2x C x C

1 1

(2 x) dx (2 C 2 xC 2 x C 2 x C 2 x C 2x C x C )dx

7

1 1

(2 x)

0 7

1

0

 37 27

7

2 .C0 2 .C1 2 C2 2 C3 2 C4 2C5 1C6



7

2 .C0 2 .C1 2 C2 2 C3 2 C4 2C5 1C6





BÀI TÂP T Ự L ƯY ỆN :

1) Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 người khách gồm 3 nam và 2 nữ ngồi vào một hàng 8 ghế nếu:

a) họ ngồi chỗ nào cũng được?

b) họ ngồi kề nhau?

c) 3 nam ngồi kề nhau, 2 nữ ngồi kề nhau và giữa hai nhóm này có ít nhất một ghế trống?

2) Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 người khách

a) vào 5 ghế xếp thành một dãy

b) vào 5 ghế chung quanh một bàn tròn, nếu không có sự phân biệt giữa các ghế này

3) Mười người muốn chụp ảnh chung Họ muốn chụp nhiều ảnh khác nhau bằng cách đổi chỗ đứng lẫn nhau Cho rằng mỗi lần đổi chỗ và chụp ảnh mất

1 phút, hỏi cần bao lâu để có thể chụp tất cả các ảnh khác nhau?

4) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng

ba chữ số này bằng 8?

5) Một dãy 5 ghế dành cho 3 nam sinh và 2 nữ sinh Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:

a) họ ngồi chỗ nào cũng được

b) nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau

c) chỉ có nữ sinh ngồi kề nhau

6) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau biết rằng tổng ba chữ số này bằng 12?

Một phòng khách có 3 chỗ có thể đặt tranh, ảnh hoặc tượng Chủ nhà muốn trang trí bằng cách xếp đặt 4 bức tranh khác nhau vào một chỗ, 3 tấm ảnh khác nhau vào chỗ thứ hai và 2 pho tượng khác nhau vào chỗ còn lại Hỏi có bao nhiêu cách trang trí phòng khách?

7) Ta muốn mời 6 người ngồi vào một dãy 6 ghế Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:

a) Có 3 người trong bọn họ muốn ngồi kề nhau?

b) Có 2 người trong bọn họ không muốn ngồi kề nhau?

c) Có 3 người trong bọn họ không muốn ngồi kề nhau đôi một?

8) Một bàn dài có 12 ghế, mỗi bên 6 ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 12 người khách gồm 6 nam và 6 nữ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:

a) họ ngồi chỗ nào cũng được ?

b) nam ngồi một bên, nữ ngồi một bên ?

c) nam nữ ngồi đối diện nhau ?

d) nam nữ ngồi xen kẽ và đối diện nhau ?

9) Cho các số 0,1,2,3,4,5,6 Có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau được lấy từ các số đã cho, sao cho:

a) Số đó chẵn

b) Số đó chia hết cho 5

c) Luôn có mặt chữ số 1 và 3

10) Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6,7 Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số đã cho sao cho các số lẻ luôn đứng liền nhau

11) Cho các số : 0,1,2,3,4,5,6

a) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 9 chữ số được lấy từ các số đã cho sao cho số 3 có mặt 3 lần, các số khác có mặt đúng 1 lần

b) Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số được lấy từ các số đã cho sao cho số 3 có mặt 1 lần, các số khác có mặt một vài lần

12) Cho các số: 0,1,2,3,4,5 Có thể lập được bao nhiêu số từ 4 số khác nhau được lấy từ các số đã cho Sao cho:

a) Luôn có mặt chữ số 5

b) Số đó chia hết cho 3

c) Không bắt đầu từ chữ số 3

13) Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6 Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số được lấy từ các số đã cho sao cho:

a) Số đầu và số cuối giống nhau, các số giữa khác nhau

b) 2 chữ số đầu và 2 chữ số cuối giống nhau

14) Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6,7

a) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số sao cho số 0 có mặt 2 lần,

số 3 có mặt 2 lần Các số khác có mặt một lần

b) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số sao cho số 2 có mặt 2 lần, các số khác có mặt một vài lần

15) Cho các số: 0,1,2,3,4,5 Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho các số chẵn không đứng liền nhau

16) Một nhóm người thành lập một công ty Họ muốn chọn một ban điều hành gồm một giám đốc,một phó giám đốc và một thủ qũy Có 10 người hội đủ điều kiện để được chọn Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban điều hành?

17) Huấn luyện viên một đội bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11m Có bao nhiêu cách chọn nếu:

a) Cả 11 cầu thủ có khả năng như nhau? ( Kể cả thủ môn)

b) Có 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số

1 và cầu thủ B đá quả số 4?

18) Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:

a) Người đó có 6 pho tượng khác nhau?

b) Người đó có 4 pho tượng khác nhau?

c) Người đó có 8 pho tượng khác nhau?

19) Với năm số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số trong đó số

1 có mặt hai lần các số còn lại mỗi số có mặt đúng một lần?

20) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau biết rằng:

32) Với sáu số 2,3,5,6,7,8, ta muốn thành lập những số gồm bốn chữ số khác nhau

a) Có bao nhiêu số nhỏ hơn 5000 ?

b) Có bao nhiêu số chẵn nhỏ hơn 7000 ?

21) Một lớp học có 30 học sinh Trong đó có 12 nữ, cần thành lập một tổ công tác gồm 8 người Có bao nhiêu cách lập sao cho trong tổ có đúng 2 nữ

22) Trong không gian cho một tập hợp gồm 9 điểm trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng Hỏi có thể lập được bao nhiêu hình tứ diện với đỉnh thuộc tập hợp đã cho

23) Một bộ đề thi có 15 câu hỏi Mỗi thí sinh phải rút ra 4 câu (4 câu rút ra là “

đề thi ” của thí sinh này)

a) Có bao nhiêu đề thi khác nhau? ( Hai đề thi được coi là khác nhau nếu

có ít nhất một câu khác nhau )

b) Tham gia kỳ thi có 2736 thí sinh Chứng tỏ rằng có ít nhất 3 thí sinh gặp cùng một đề thi

24) Một tổ trực gồm 9 nam sinh và 3 nữ sinh Giáo viên trực muốn chọn 4 học sinh để trực thư viện Có bao nhiêu cách chọn nếu:

a) Chọn học sinh nào cũng được?

b) Có đúng một nữ sinh được chọn?

c) Có ít nhất một nữ sinh được chọn?

25) Một họ n đường thẳng song song cắt một họ m đường thẳng song song Hỏi

có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành

26) Cho tập X = {a, b, c, d } Có bao nhiêu tạp con của X

a) Không chứa phần tử a?

b) Chứa phần tử a?

27) Một bình đựng 5 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ, chúng chỉ khác nhau về màu Lấy ra hai viên

a) Có bao nhiêu kết quả khác nhau?

b) Có bao nhiêu cách lấy ra được 2 viên bi xanh?, hai viên bi đỏ? Hai viên

bi khác màu?

28) Giáo viên hướng dẫn lao động muốn chia 9 học sinh ra làm 3 nhóm gồm 4,

3, và 2 học sinh Có bao nhiêu cách chia?

29) Cho một đa giác lồi có n đỉnh ( n 4)

a) Tính số đường chéo của đa giác này;

b) Biết rằng ba đường chéo không cùng đi qua một đỉnh thì không đồng quy, hãy tính số các giao điểm ( không phải là đỉnh ) của các đường chéo ấy

30) Một tổ trực gồm 8 nam sinh và 6 nữ sinh Giáo viên trực muốn chọn một nhóm 5 học sinh Có bao nhiêu cách chọn nếu nhóm này phải có ít nhất một

nữ sinh?