chuyên đề tổ hợp chỉnh hợp hay

chuyên đề tổ hợp chỉnh hợp hay

Sở GDĐT Tỉnh Phú Thọ Trường THPT Hùng Vương

Môn học : Giải tích Chủ đề: Tổ hợp, chỉnh hợp

và các phương trình tổ-chỉnh hợp

Nhóm 2

Trưởng nhóm: Hà Quỳnh Ngọc

Các thành viên: _Bùi Thu Thủy

_Nguyễn Hồng Ngọc _Nguyễn Mạnh Cường _Nguyễn Diệp Linh

_Trần Đức

_Đỗ Quang Huy

_Trần Vũ Long

_Nguyễn Thị Minh

Năm học 2015-2016

CHUYÊN ĐỀ THẢO LUẬN

Môn học : Giải tích Chủ đề: Tổ hợp, chỉnh hợp

và các phương trình tổ-chỉnh hợp

Nhóm 2

Trưởng nhóm: Hà Quỳnh Ngọc

Các thành viên: _Bùi Thu Thủy

_Nguyễn Hồng Ngọc

_Nguyễn Mạnh Cường

_Nguyễn Diệp Linh

_Trần Đức

_Đỗ Quang Huy

_Trần Vũ Long

_Nguyễn Thị Minh

Năm học 2015-2016

Lời mở đầu

Các bạn a, toán học là một trong những môn học hay và khó; đòi hỏi người học phải thực sự chuyên tâm và cần mẫn Môn toán được phân thành nhiều mảng với độ logic và phức tạp khác nhau Trong chuyên đề này chúng tôi sẽ giới thiệu tới các bạn một mảng bài tập khá hay mà luôn giành được nhiều sụ quan tâm của rất nhiều giáo viên, học sinh: tổ-chỉnh hợp và các phương trình liên quan Chủ đề này đã được nghiên cứu vào thế kỉ 17, khi những câu hỏi về tổ hợp được đưa ra trong các công trình nghiên cứu hay các trò chơi may rủi Liệt kê, đếm các đối tượng có những tính chất nào đó là một phần quan trọng của lý thuyết tổ

hợp.Chúng ta cần phải đếm các đối tượng để giải nhiều bài toán khác nhau.Hơn nữa các kĩ thuật đếm được dùng rất nhiều khi tính xác suất của các biến cố hay trong đánh giá độ phức tạp của một công việc trong đời sống thực tế

Trong chuyên đề này chúng tôi sẽ trình bày các nội dung cơ bản về chỉnh hợp, tổ hợp và một số dạng phương trình liên quan

Mục đính của chuyên đề :

• Cung cấp kiến thức cơ bản về hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp

• Nâng cao khả năng giải các phương trình, hệ phương trình cơ bản và cách phán đoán để giải các bài tập nâng cao

Dù đã rất cố gắng nhưng với thời gian hạn chế chắc chắn chuyên đề này vẫn còn rất nhiều thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn

Xin trân thành cảm ơn!

Nhóm tác giả

I Một số bài toán tổ hợp, chỉnh hợp.

Dạng 1 Chọn một nhóm phần tử từ các tập hợp

1/ Bài toán tổng quát 1: Cho tập hợp A có n phần tử, tập hợp B có m phần tử

Tính số cách chọn p phần tử từ hai tập hợp trên ( p < m+n) và thỏa mãn một điều kiện nào đó

Cách giải chung:

1) Tính trực tiếp Giả sử ta chọn k phần tử của tập hợp k và p-k phần tử của tập

hợp B ( trường hợp giả thiết cho nhiều tập hợp hơn, ta làm tương tự) Số cách chọn là S C Cp k

m

k n K

−

×

_ Cho k thay đổi phù hợp với giả thiết của bài toán và lấy tổng của tất cả các số hạng Sk tương ứng, ta được kết quả cần tìm

2) Tính gián tiếp Số cách chọn phần tử từ A,B một cách bất kì là Ck

m

n+ Kết quả phải tìm là hiệu của Ck

m

n+ với tổng các số hạng Sk, tương ứng với mỗi giá trị k không thỏa mãn giả thiết của bài toán

Thí dụ 1 Tổ một có 10 người, tổ hai có 9 người Có bao nhiêu cách chọn một

nhóm gồm 8 người sao cho mỗi tổ trên có ít nhất là 2 người?

Lời giải:

Giả sử ta chọn k người của tổ một và 8-k người của tổ hai Vì mỗi tổ có ít nhất 2 người nên2 ≤k ≤ 6

• Số cách chọn k trong số 10 người của tổ một là CK

10 Ứng với một cách chọn trên,

ta có số cách chọn 8-k người trong 9 người của tổ hai là C8 −K

9 Theo quy tắc nhân,

ta được số cách chọn 8 người như trên là SK= CK×C8 −K

9 10

•Cho k lần lượt bằng 2,3,…,6 và áp dụng quy tắc cộng, ta được số cách chọn 8 người thỏa mãn bài toán là

S =S2+S3+ +S6=C102 C69+C103 C59+ +C106 C29= 74088

Thí dụ 2 Trong cuộc thi “Rung chuông vàng” tại trường THPT Hùng Vương

vừa qua ban giám khảo đã sử dụng ba loại sách gồm: 8 cuốn sách về Toán, 6 cuốn sách về Lí và 5 cuốn sách về Hóa Mỗi loại dều gồm các cuốn sách đôi một khác loại nhau Hỏi có bao nhiêu cách chọn 7 cuốn sách trong số sách trên để làm giải thưởng sao cho mỗi loại có ít nhất một cuốn?

Lời giải: ( sử dụng cách tính gián tiếp).

Số cách chọn 7 trong số 19 cuốn sách một cách bất kì là C7

19 Các cạnh chọn không đủ cả ba loại sách là:

• Số cách chọn 7 trong số 11 cuốn sách Lí và Hóa là C7

11 ( không có sách Toán)

• Số cách chọn 7 trong số 13 cuốn sách Hóa và Toán là C7

13 (không có sách Lí)

• Số cách chọn 7 trong số 14 cuốn sách Toán và Lí là C7

14 ( không có sách Hóa)

• Số cách chọn 7 trong số 8 cuốn sách Toán là C7

8 ( không có sách Lí và Hóa)

Vì mỗi cách chọn chỉ có sách Toán, tức là không có sách Lí và Hóa, thuộc cả hai phép chọn: không có sách Lí và không có sách Hóa nên số cách chọn phải tìm là

44918

7 8

7 14

7 13

7 11

7

19 −C −C −C +C =

C

Lưu ý Khi tính theo phương pháp gián tiếp, mỗi số hạng ứng với trường hợp

không thỏa mãn bài toán được đặt sau dấu trừ Số hạng đồng thời thuộc hai trường hợp không thỏa mãn bài toán được đặt sau dấu cộng ( bạn đọc tự suy luận cho số hạng đồng thời thuộc ba trường hợp không thỏa mãn bài toán…)

*Bài toán tổng quát 2: Có tất cả n vật, trong đó có m vật giống nhau trong hộp

A, k vật giống nhau trong hộp B (m+k<n), các vật còn lại đôi một khác nhau

Khi đó số cách sắp xếp n vật thành một hàng ngang là

!

!

!

k m n

.

Thí dụ 3: Có 5 viên bi xanh giống nhau, 4 bi trắng giống nhau và 3 bi đỏ đôi

một khác nhau Có bao nhiêu cách xếp số bi trên vào 12 ô theo một hàng ngang sao cho mỗi ô có một viên bi?

Lời giải:

Nếu tất cả 12 viên bi đều khác nhau thì sô hoán vị chúng tạo thành là P12= 12 ! Nhưng các hoán vị của 5 bi xanh và các hoán vị của 4 bi trắng cho cùng một cách sắp xếp đối với 12 viên bi nên số cách sắp xếp phải tìm là

166320

! 4

! 5

! 12

4 5

×P

P P

Vậy số cách xếp thỏa mãn là: 166320 cách

*Bài toán tổng quát 3: Cho tập hợp A có m phần tử, tập hợp B có k phần tử

)

(m≥k Số cách xếp m+k phần tử trên theo vòng tròn sao cho không có hai

phần tử của B xếp cạnh nhau là Ak

m

m 1 )!

( −

Thí dụ 4: Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ

ngồi quanh một bàn tròn sao cho không có hai học sinh nữ nào cạnh nhau? (Nếu có hai cách sắp xếp mà cách xếp này quay quanh tâm vong tròn được cách sắp xếp kia thì ta coi chỉ là một cách sắp xếp)

Lời giải:

Giả sử đã xếp chỗ cho 5 học sinh nam Vì ba học sinh nữ không ngồi cạnh nhau nên họ được chọn 3 trong năm vị trí xen kẽ giữa các họ sinh nam, số cách chọn là

A3

5 Vì hai cách xếp vị trí cho 8 người với cùng một thứ tự quanh bàn tròn được coi là một nên ta có thể chọn trước vị trí cho một học sinh nam nào đó, số hoán vị của 4 học sinh nam còn lại vào các vị trí là 4!

Theo quy tắc nhân, số khả năng phải tìm là 4!A35= 1440 (cách)

Vậy số cách xếp thỏa mãn là: 1440 cách

Thí dụ 5: Có bao nhiêu cách chia 100 đồ vật giống nhau cho 4 người sao cho

mỗi người được ít nhất một đồ vật?

Lời giải:

Giả sử 100 đồ vật được xếp thành một hàng ngang, giữa chúng có 99 khoảng trống Đặt một cách bất kì 3 vạch vào 3 trong số 99 khoảng trống đó, ta được một cách chia 100 đồ vật ra thành 4 phần để lần lượt gán cho 4 người Khi đó mỗi người được ít nhất một đồ vật và tổng số đồ vật của 4 người bằng 100, thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Vậy số cách chia là C399= 156849 (cách)

Lưu ý Bằng cách giải tương tự như trên, ta có thể chứng minh rằng, phương trình

m

x x

x1+ 2+ + n = (1)

có tính chất:

• Với 1 ≤n≤m; m, n∈Ν thì số nghiệm của phương trình (1) trong tập hợp các số nguyên dương là Cn

m

1 1

−

−

• Với n≥ 1 ;m,n∈ Ν thì số nghiệm của phương trình (1) trong tập hợp các số tự nhiên là Cn

n m

1 1

−

− +

Hướng dẫn giải:

s với yi≥ 1, rồi áp dụng kết quả nêu trên

Thí dụ 6: Có bao nhiêu cách chia 8 đồ vật đôi một khác nhau cho ba người sao

cho có một người được 2 đồ vật và 2 người còn lại mỗi người được 3 đồ vật? Lời giải:

Giả sử có 3 người là A,B,C

•Với cách chọn người A được 2 đồ vật ta có:

Số cách chọn 2 trong 8 đồ vật cho người A được 2 đồ vật là C2

8, sau đó số cách chọn 3 trong số 6 đồ vật còn lại cho người B được 3 đồ vật là C3

6, 3 đồ vật còn lại chia cho người C Chú ý rằng đổi thứ tự người B và người C không cho cách chọn mới Như vậy sẽ có C C2

6

3

8 × cách chọn mà người A được 2 đồ vật, mỗi người B,C được 3 đồ vật

• Lần lượt cho người B, người C được 2 đồ vật thì theo quy tắc nhân, số cách chia phải tìm là 3 ×C82×C36= 1680 (cách)

Vậy số cách chia thỏa mãn là: 1680 cách

Lưu ý Khi giải bài toán trên, nhiều bạn cho đáp số sai là C C3

6

2

8 × hoặc C C3

6

2 8

!

Trường hợp thứ nhất, bạn đã coi vai trò của người được 2 đồ vật và người được 3

đồ vật như nhau (!) Trường hợp thứ hai, bạn đã coi vai trò của hai người cùng được 3 đồ vật khác nhau (!)

Bài tập Câu 1 Có bao nhiêu cách chia 10 đồ vật đôi một khác nhau cho hai người, sao cho

mỗi người được ít nhất một đồ vật?

Đáp số: 2 10 − 2 = 1022

Câu 2: Có 5 cuốn sách giáo khoa giống nhau và 3 cuốn sách tham khảo đôi một

khác nhau được đem làm giải thưởng cho 8 học sinh sao cho mỗi người được 1 cuốn sách Tính số cách nhận giải thưởng của các học sinh trên

Đáp số: C58× 3 ! = 336

Câu 3 Có bao nhiêu cách chia 6 người ra thành 3 nhóm, mỗi nhóm 2 người, trong

mỗi trường hợp sau:

a) Phân biệt thứ tự các nhóm là: nhóm 1, nhóm 2, nhóm 3

b) Không phân biệt thứ tự của các nhóm?

Đáp số: a) C26×C24×C22= 90

! 3

2 2

2 4

2

6×C ×C =

C

Câu 4 Có bao nhiêu cách chia 6 đồ vật đôi một khác nhau cho 3 người sao cho

mỗi người được ít nhất 1 đồ vật?

Hướng dẫn:

TH1: Mỗi người được 2 đồ vật C C2

4

2

6 ×

TH2: Một người được 1, một người được 2, một người được 3 đồ vật C16×C25× 3 !

TH3: Hai người mỗi người được 1, một người được 4 C16×C15× 3

Sử dụng quy tắc cộng, ta được 540 cách chia.

Câu 5: Đội thanh niên xung kích của trường THPT Hùng Vương có 12 học sinh,

gồm 5 học sinh lớp 11A, 4 học sinh lớp 11B và 3 học sinh lớp 11C Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho mỗi lớp có ít nhất 1 học sinh Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy

Đáp số : 270

Câu 6: Có 5 cuốn sách Toán giống nhau, 7 cuốn sách Lý giống nhau và 8 cuốn

sách Hóa giống nhau được đem làm giải thưởng cho 10 em học sinh sao cho mỗi người được hai cuốn sách khác loại Hỏi số cách chọn giải thưởng dành cho 10 em học sinh giỏi nói trên

Đáp số : 2520

Câu 7 Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn Văn

học, 4 cuốn âm nhạc và 3 cuốn hội hoạ ( Các cuốn đôi một khác nhau) Thầy giáo muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 học sinh, mỗi học sinh một cuốn sao cho sau khi tặng xong, một trong 3 thể loại Văn học, Âm nhạc, Hội họa đều còn lại ít nhất một cuốn Hỏi có bao nhiêu cách tặng ?

Đáp số: 579600

Câu 8: Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng Người ta

chọn ra 4 viên bi trong hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn số bi lấy ra không đủ

cả ba màu

Đáp số : 645

Câu 9: Một trường tiểu học có 50 em học sinh giỏi, trong đó có 4 cặp em sinh đôi Cần chọn ra 3 học sinh trong số 50 em học sinh giỏi đi trại hè Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà trong nhóm 3 em không có cặp anh em nào sinh đôi

Đáp số : 19408

Câu 10: Trong 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 học sinh khá và 8 học sinh trung bình Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ gồm 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá

Đáp số : 7560

Dạng 2 Các bài toán hình học

1 Các ví dụ

Ví dụ 1: Người ta cần xây một cầu thang từ vị trí A đến vị trí B.

Khoảng cách AC bằng 4,5m, khoảng cách CB bằng 1,5m chiều cao mỗi bậc thang

là 30cm, chiều rộng của mỗi bậc là 50cm.Hỏi có bao nhiêu phương pháp xây?

Lời giải:

Từ giả thiết, ta thấy cầu thang phải có

30

150

=5 bậc

Mặt khác, vì 4,5:0,5=9 nên có tất cả 10 chỗ có thế xây bậc

Cần chọn 5 chỗ trong 10 chỗ đó để xây thang

Vì vậy có tất cả C5

10=252 cách xây

Ví dụ 2: Cho đa giác đều A1 A2 A n(n≥2,n nguyên) nội tiếp đường tròn (O) Biết

số tam giác có 3 đỉnh trong 2n điểm A1,A2, A nnhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1,A2, A n Tìm n

Lời giải:

Số tam giác có 3 đỉnh trong 2n điểm A1,A2, An là Số đường chéo đi qua tâm O của đa giác đều A1A2 A2n là n C n

3 2

Hai đường chéo đi qua tâm O thì có tương ứng một hình chữ nhật nên số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1,A2, ,A2n là Cn

2

Từ giả thiết ta có:

C n

3

2 =20Cn

2 ⇔

)!

3 2 ( 3

! 2

−

n

n

=202(n n−! 2)! ⇔2n3 −18n2 +16n=0 ⇔ n=8 hoặc

n=1(loại)

Vậy n=8 thỏa mãn

2 Bài tập luyện tập

Câu 1 Trên một đường tròn có 15 điểm.Có thể dựng được bao nhiêu tam giác mà

các đỉnh của chúng thuộc tập 15 điểm đó.?

b) Có bao nhiêu đường chéo trong đa giác lồi 15 cạnh nội tiếp đường tròn đó

Đáp số : 455 tam giác.

Câu 2: Trên mặt phẳng cho thập giác lồi (hình 10 cạnh lồi) A1,A2, A10 Xét tất

cả các tam giác mà 3 đỉnh của nó là đỉnh của thập giác Hỏi trong số các tam giác

đó, có bao nhiêu tam giác mà cả 3 cạnh của nó đều không phải cạnh của thập giác?

Đáp số : 50

Câu 3: Cho đa giác lồi có n cạnh.

a) Tính số đường chéo của đa giác

b) Tính số giao điểm các đường chéo

Đáp số

a) Số đoạn thẳng nối 2 đỉnh là Cn

2

Do đó số đường chéo là Cn

2

−n

b) Cứ 4 điểm bất kỳ ta sẽ được 2 đường chéo cắt nhau tại 1 điểm

Do đó số giao điểm là Cn

4

Câu 4: Cho đa giác đều (H) có 20 đỉnh

a)Tính số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của (H) và không có cạnh nào của H

b)Tính số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của (H) và có 1 cạnh của H

Đáp số: a)800 b) 320

Câu 5: Có 6 đường thẳng song song và 12 đường thẳng song song khác Hỏi có

bao nhiêu hình bình hành được tạo thành ?

Đáp số: 990 hình bình hành.

Câu 6: Có hai đường thẳng song song d1 và d2.Trên d1 lấy 15 điểm phân biệt, trên

d2 lấy 9 điểm phân biệt Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong số các điểm đã cho

Đáp số: 1485

Câu 7: Cho hai đường thẳng song song d1, d2 Trên đường thẳng d1 có 10 điểm

phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt (n ≥2) Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho Tìm n.?

Đáp số: 20

Câu 8: Cho hai đường thẳng song song a và b Trên a có 10 điểm phân biệt và trên

b có 13 điểm phân biệt

Có bao nhiêu hình thang được tạo thành từ các điểm nằm trên hai đường thẳng đã cho

Đáp số: 3510

Câu 9: Có bao nhiêu đường chéo trong đa giác lồi 15 cạnh nội tiếp đường tròn đó

Đáp số: 90

Câu 10 Cho hai đường thẳng song song (d1) và (d2) Trên đường thẳng (d1) lấy

17

điểm, trên đường thẳng (d2) lấy 20 điểm phân biệt Hãy tính số tam giác có các

đỉnh là các điểm trong số các điểm đã lấy hai đường thẳng nói trên

Đáp số: 5950

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VỀ CẤU TẠO SỐ

Trong bài này ta quy ước :

• Khi nói cho tập hợp gồm n chữ số, thì đó là các chữ số đôi một khác nhau thuộc

tập hợp 0, 1, ,9 với n ≤ 10

• Một số có m chữ số thì đó là số tự nhiên có m chữ số và chữ số đầu khác 0.

Khi giải các bài toán loại này ta thường áp dụng các mệnh đề sau đây :

Mệnh đề 1 Giả sử ta viết các chữ số theo hàng ngang và m, n là các số nguyên

dương với m ≤ n thì

1.1) Số cách viết m chữ số trong n chữ số khác nhau vào m vị trí định trước bằng

m

n

A

1.2) Số cách viết m chữ số phân biệt đã cho vào m vị trí trong n vị trí định trước bằng m

n

A (ở n-m vị trí còn lại chưa xét sự thay đổi chữ số)

1.3) Số cách viết m chữ số giống nhau vào m vị trí trong n vị trí định trước bằng

n m

n

C − = Cn m

Mệnh đề 2 Cho tập hợp gồm n chữ số, trong đó có chữ số 0, số các số có m chữ

số khác nhau tạo thành từ chúng bằng (n-1)An m−−11

Sau đây là một số dạng toán thường gặp

DẠNG 1 Số tạo thành chứa các chữ số định trước

∗ Bài toán tổng quát 1 Cho tập hợp gồm n chữ số khác nhau (n ≤ 10), trong n chữ số đã cho có chữ số 0 Từ chúng có thể viết được bao nhiêu số tự nhiên m chữ

số khác nhau sao cho trong đó có mặt k chữ số định trước (thuộc n chữ số trên) với

k < m ≤ n?

Cách gải Số tạo thành gồm m chữ số có dang a a a Gọi tập hợp k chữ số1 2 m định trước là X

Trường hợp 1 X chứa chữ số 0

Ta có m - 1 cách chọn vị trí cho chữ số 0 ; số cách viết k - 1 chữ số khác 0 thuộc X vào k - 1 vị trí trong m - 1 vị trí còn lại bằng A m k−−11 (theo mệnh đề 1.2) ; số cách viết

m - k trong số n - k chữ số không thuộc X vào m - k vị trí còn lại bằng A n k m k−− (theo mệnh đề 1.1)

Theo quy tắc nhân, ta được số các số tạo thành trong trường hợp 1 bằng :

S= (m -1) A m k−−11 A n k m k−− Trường hợp 2 X không chứa chữ số 0

Ta tính theo các bước :

Bước 1 Tính các số tạo thành chứa chữ số 0

Lần lượt có m - 1 cách chọn vị trí cho chữ số 0 ; số cách viết k chữ số thuộc X vào

k vị trí trong m - 1 vị trí còn lại bằng A m k−1 (theo mệnh đề 1.2) ; số cách viết m k

-1 trong số n - k - -1 chữ số khác 0 mà không thuộc X vào m - k - -1 vị trí còn lại bằng A n k m k− −− −11 (theo mệnh đề 1.1)

Theo quy tắc nhân, ta được số các số tạo thành chứa chữ số 0 bằng :

1

S = (m - 1) A m k−1.A n k m k− −11

− − Bước 2 Tính số các số tạo thành không chứa chữ số 0

Số cách viết k chữ số thuộc X vào k vị trí trong m vị trí bằng k

m

A (theo mệnh đề 1.2) ; số cách viết m k trong số n k 1 chữ số khác 0 mà không thuộc X vào m

-k vị trí còn lại bằng m k1

n k

− − (theo mệnh đề 1.1)

Theo quy tắc nhân, ta được số các số đó bằng S2= k

m

A A n k m k− −− 1