Chuyen de To Hop

Cú bao nhiờu số chẵn cú 6 chữ số đụi một khỏc nhau với chữ số đứng đầu là số lẻ Vớ dụ 2.. Cú bao nhiờu số cú 6 chữ số khỏc nhau đụi một trong đú cú 3 chữ số chẵn.. Cú bao nhiờu cỏch tạo

Chuyờn đề II ĐẠI SỐ TỔ HỢP

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP.

1 Quy tắc cộng 1: Giả sử một cụng việc cú thể được thực hiện bởi k phương ỏn A1, A2, , Ak Và cú

n1 cỏch thực hiện phương ỏn A1, n2 cỏch thực hiện phương ỏn A2, , nk cỏch thực hiện phương ỏn Ak Khi đú cú n1+ n2 +nk cỏch thực hiện cụng việc

 Quy tắc cộng 2: Nếu A, B là hai tập hợp hữu hạn phần tử khụng giao nhau thỡ

A B A  B

 Quy tắc cộng mở rộng: Cho A, B là hai tập hợp hữu hạn phần tử A B A B  A B

2 Quy tắc nhõn: Giả sử một cụng việc cú thể được thực hiện bởi k cụng đoạn A1, A2, , Ak Và cú n1

cỏch thực hiện cụng đoạn A1, n2 cỏch thực hiện cụng đoạn A2, , nk cỏch thực hiện cụng đoạn Ak Khi đú cú n1 n2 nk cỏch thực hiện cụng việc

3 Hoỏn vị: Số cỏc hoỏn vị của n phần tử P n 1.2 n n !

4 Chỉnh hợp: Số cỏc chỉnh hợp chập k của n phần tử (0≤k≤n) .( 1).( 2) ( 1) !

k n

n

n k



5 Tổ hợp : Số cỏc tổ hợp chập k của n phần tử: ! (0 )

k

k n n



1



7 Nhị thức Niuton:

 Cụng thức khai triển:

n n n k n k k n n k n k k k k n k

 Số hạng thứ k+1: 1 k k n k

 

 Hệ quả: 1 n 0 1 k k n n 0 n 1 n 1 k n k n

Cho x những giỏ trị đặc biệt ta được những đẳng thức cơ bản

x =1, x =-1, x = 2, x = -2, …

B BÀI TẬP VẬN DỤNG

I Bài toỏn về sắp xếp vị trớ.

VÍ DỤ

Vớ dụ 1 Cú bao nhiờu cỏch bỏ 6 lỏ thư vào 8 phong bỡ để mỗi phong bỡ chứa nhiều nhất một lỏ thư

Vớ dụ 2 Cú bao nhiờu cỏch nhốt 5 con thỏ vào 3 lồng để mỗi lồng cú ớt nhất 1 con

Vớ dụ 3 Cú bao nhiờu cỏch xếp 5 học sinh A, B, C, D, E vào một hàng ngang sao cho:

a C đứng chớnh giữa

b Hai học sinh A, E đứng ở hai đầu

Vớ dụ 4 Cú 12 cuốn sỏch đụi một khỏc nhau, trong đú cú 5 cuốn sỏch văn học, 4 cuốn sỏch õm nhạc và 3

cuốn sỏch hội họa đem cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi học sinh một cuốn

a Nếu chỉ cho học sinh những cuốn sỏch thuộc thể loại văn học và õm nhạc Hỏi cú bao nhiờu cỏch

cho sỏch

b Cú bao nhiờu cỏch cho sỏch để sau đú mỗi thể loại sỏch cũn ớt nhất 1 cuốn.

BÀI TẬP Bài 1 Liệt kê tất cả các hoán vị của {a,b,c}

Bài 2 Có bao nhiêu hoán vị của {a, b, c, d, e, f}

Bài 3 Có bao nhiêu hoán vị của {a, b, c, d, e, f} với phần tử cuối cùng là a.

Bài 4 Có 6 ứng cử viên chức thống đốc bang Tính số cách in tên ứng cử viên lên phiếu bầu cử.

Bài 5 Có bao nhiêu cách xắp xếp 6 ngời ngồi xung quanh một bàn tròn "hai cách gọi là nh nhau nếu cách

này xoay bàn đi ta đợc cách kia"

II Bài toỏn chọn đối tượng số.

VÍ DỤ

Vớ dụ 1 Cú bao nhiờu số chẵn cú 6 chữ số đụi một khỏc nhau với chữ số đứng đầu là số lẻ

Vớ dụ 2 Cú bao nhiờu số cú 6 chữ số khỏc nhau đụi một trong đú cú 3 chữ số chẵn 3 chữ số lẻ

Vớ dụ 3 Từ cỏc chữ số {0;1;2;3;4;5} cú thể viết được bao nhiờu chữ số:

a Cú 8 chữ số trong đúchữ số 1 cú mặt 3 lần cũn cỏc chữ số khỏc cú mặt đỳng một lần

b Cú 4 chữ số khỏc nhau sao cho cỏc chữ số 1 và 5 cú mặt và đứng cạnh nhau.

Vớ dụ 4 Từ cỏc chữ số {1,2,3,4,5,6,7,8,9} cú thể viết được bao nhiờu chữ số khụng lớn hơn 789

Vớ dụ 5 Với cỏc chữ số {1;3;4;5;6} cú thể viết được bao nhiờu số

a Cú 3 chữ số khỏc nhau mà chữ số đứng trước nhỏ hơn chữ số liền sau đú

b Cú 3 chữ số phõn biệt và chia hết cho 3.

c Cú 3 chữ số Tớnh tổng cỏc số đú.

Vớ dụ 6 Với 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 cú bao nhiờu số gồm 6 chữ số khỏc nhau trong đú nhất thiết phải cú

mặt chữ số 4

Vớ dụ 7 Từ cỏc số 0, 1, 3, 5, 7 cú thể lập được bao nhiờu số, mỗi số gồm 4 chữ số khỏc nhau và khụng chia

hết cho 5

Vớ dụ 8 Từ cỏc chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiờu số chẵn cú 5 chữ số đụi một khỏc nhau.

Vớ dụ 9 Cú bao nhiờu số gồm 5 chữ số sao cho tổng cỏc chữ số của mỗi số là lẻ.

Vớ dụ 10 Cú bao nhiờu số tự nhiờn gồm 4 chữ số sao cho khụng cú số nào lặp lạo đỳng 3 lần

BÀI TẬP Bài 1 Cho tập S = {1, 2, 3, 4, 5}

a Liệt kê các chỉnh hợp chập 3 của S

b Liệt kê các tổ hợp chập 3 của S

Bài 2 Từ các chữ số 1,2,5,7,8 lập đợc bao nhiêu số tự nhiêncó 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 276.

Bài 3 Có bao nhiêu số chẵn lớn hơn 5000 gồm 4 chữ số khác nhau?

Bài 4 Có bao nhiêu số khác nhau nhỏ hơn 2.108 chia hết cho 3 lập thành từ các chữ số: 0, 1, 2

Bài 5 Có bao nhiêu số có thể lập từ các chữ số: 2, 4, 6, 8 nếu

a, Số đó nằm từ 200 đến 600

b, Số đó gồm 3 chữ số khác nhau

c, Số đó gồm 3 chữ số

Bài 6 Từ cỏc chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cú thể lập được bao nhiờu số tự nhiờn mối số cú 5 chữ số khỏc nhau

trong đú nhất thiết phải cú chữ số 5

Bài 7 Cho cỏc chữ số 1,2,3,4,5,6 Lập ra cỏc số cú 5 chữ số khỏc nhau Hỏi

a Cú bao nhiờu số trong đú phải cú mặt chữ số 2

b Cú bao nhiờu số trong đú phải cú mặt chữ số 1 và 6

Bài 8 Tớnh tổng cỏc số cú 5 chữ số khỏc nhau được viết từ cỏc số 1,2,3,5,6,8

III Bài toỏn chọn đối tượng thực tế.

VÍ DỤ

Vớ dụ 1 Một lớp học cú 25 nam và 15 nữ Cần chọn ra một ban cỏn sự gồm 3 người Hỏi coa bao nhiờu

cỏch chọn ban cỏn sự cú ớt nhất 1 nam

Vớ dụ 2 Cú bao nhiờu cỏch chia một lớp 50 học sinh (30 nam, 20 nữ) thành 5 tổ mỗi tổ 6 nam, 4 nữ

Vớ dụ 3 Cú 5 hành khỏch và 3 toa tàu đều cú chỗ trống Cú bao nhiờu cỏch xếp khỏch lờn cỏc toa tàu để

mỗi toa cú ớt nhất 1 khỏch

Vớ dụ 4 Một đội văn nghệ cú 20 người trong đú 10 nam, 10 nữ Cú bao nhiờu cỏch chọn ra 5 người sao

cho:

a Cú 2 nam

b Cú ớt nhất 2 nam

c cú ớt nhất 2 nam và ớt nhất 1 nữ

Vớ dụ 5 Cú 9 bi xanh, 5 bi đỏ và 4 bi vàng cú kớch thước khỏc nhau từng đụi một Cú bao nhiờu cỏch chọn

ra 6 bi sao cho

a trong đú cú đỳng hai viờn bi đỏ

b Số bi xanh bằng số bi đỏ

Vớ dụ 6 Một đội văn nghệ cú 10 hs (6 nam, 4 nữ),

a cú bao nhiờu cỏch chia đội văn nghệ thành hai nhúm sao cho số người bằng nhau và số nữ bằng nhau

b Cú bao nhiờu cỏch chọn ra nhúm 5 người trong đú cú khụng quỏ 1 nam

Vớ dụ 7 Trờn mặt phẳng cho 10 điểm phõn biệt trong đú khụng cú ba điểm nào thẳng hàng Cú bao nhiờu

tam giỏc tạo bởi cỏc điểm đú

Vớ dụ 8 Trờn mp cho 10 đường thẳng và 10 đường trũn Tớnh số giao điểm tối đa cú thể cú giữa cỏc

đường

Vớ dụ 9 Cho thập giỏc lồi Cú bao nhiờu tam giỏc cú cỏc đỉnh là đỉnh của đa giỏc nhưng khụng cú cạnh nào

là cạnh của đa giỏc

Vớ dụ 10 Cho đa giỏc đều 2n cạnh nội tiếp đường trũn (O)

a Cho n = 6 Tớnh số tam giỏc cú 3 đỉnh là đỉnh của đa giỏc và tớnh số hỡnh chữ nhật cú 4 đỉnh là đỉnh

của đa giỏc

b Giả sử n≥2 ta thấy số tam giỏc cú 3 đỉnh là đỉnh của đa giỏc gấp 20 lần số hỡnh chữ nhật cú 4 đỉnh là

đỉnh của đa giỏc Tỡm n?

Vớ dụ 11 Cú 30 cõu hỏi khỏc nhau, trong đú cú 5 cõu khú, 10 cõu trung bỡnh và 15 cõu dễ Cú bao nhiờu

cỏch tạo đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 cõu khỏc nhau sao cho cú đủ loại cõu hỏi và số cõu dễ khụng ớt hơn 2

Vớ dụ 12 Đội thanh niờn xung kớch của trường cú 12 học sinh gồm 5 hs khối 12, 4 hs khối 11 và 3 hs khối

10.Cần chọn 4 hs đi làm nhiệm vụ sao cho trong 4 hs thuộc khụng quỏ hai trong 3 khối

BÀI TẬP Bài 1 Nếu có 8 đầu sách Toán và 5 đầu sách Lý hỏi học sinh có bao nhiêu cách m ợn một quyển sách từ th

viện

Bài 2 Quán Tản Đà có 4 món bò: nhúng dấm, lúc lắc, nớng mỡ chài, nớng lá cách có 3 món gà: xối mỡ,

quay tứ xuyên, rút xơng và 2 món cua : rang muối , rang me Hỏi nhà văn Vơng Hà có mấy cách gọi món lai rai

Bài 3 Một bé có thể mang họ cha là Lê hay họ mẹ là Đỗ, chữ đệm có thể là Văn, Hữu, Hồng, Bích, hoặc

Đình, Còn tên có thể là: Nhân, Nghĩa, TRí, Đức, Ngọc hoặc Dũng Hỏi có bao nhiêu cách đặt tên cho bé

Bài 4 Một nhóm sinh viên gồm n nam và n nữ Có bao nhiêu cách xếp thành một hàng sao cho nam và nữ

đứng xen nhau

Bài 5 Trong vòng đấu loại cuộc thi cờ vua có 2n ngời tham dự , mỗi ngời chơi đúng một bàn với ngời khác.

CMR có 1.3.5…(2n-1) cách sắp đặt

Bài 6 Có bao nhiêu thứ tự có thể xảy ra trong cuộc thi chạy giữa năm vận động viên.

Bài 7 Bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với các vị trí thứ nhất, thứ nhì, ba trong cuộc đua có 12 con

ngựa

Bài 8 Có 100 vé đánh số từ 1 tới 100 đợc bán cho 100 ngời khác nhau Ngời ta sẽ trao 4 giải thởng kể cả

giải độc đắc Hỏi

a Có bao nhiêu cách trao giải thởng

b Có bao nhiêu cách trao giải thởng, nếu ngời giữ vé 47 trúng giải độc đắc?

c Có bao nhiêu cách trao giải thởng, nếu ngời giữ vé 47 trúng một trong các giải?

d Có bao nhiêu cách trao giải thởng, nếu ngời giữ vé 47 không trúng giải?

e Có bao nhiêu cách trao giải thởng, nếu 2 ngời giữ vé 19 và 47 trúng giải?

f Có bao nhiêu cách trao giải thởng, nếu 3 ngời giữ vé19, 73 và 47 trúng giải?

g Có bao nhiêu cách trao giải thởng, nếu 4 ngời giữ vé19, 73, 97 và 47 trúng giải?

h Có bao nhiêu cách trao giải thởng, nếu 4 ngời giữ vé19,73, 97 và 47 không trúng giải?

III Phương trỡnh, BPT tổ hợp.

VÍ DỤ

Vớ dụ 1 Giải cỏc phương trỡnh

2C n C n C n

n n n

c 1 2 3 7

2

n n n

2

2A x 50A x

e 5 

3

1

4

1

24 23

n n

n n

A







g C1x6C x26xC x3 9x214x h P A x x272 6 A x22P x

i x83 5 3 6

C A

Ví dụ 2 Giải các hệ phương trình

a 2 5 90

y y

x x

y y

x x





7









c

1

1 2

126 720

x

y y x

y x x

A

C P

P



 











d

5

120

x y x y x y

x y

P

    











e

1

5 2









5 4 2

x y x y x y

x y

     







  



Ví dụ 3 Giải các BPT, hệ PT

a 22 2 3

10

x

c 1 2 3

2n 2 2n 6 2n 7

3 2 2

24 120

x y

x y

A P x













 



e

3 4

1

3 1

14

1 P A

C

n

n







BÀI TẬP

Bµi 2 T×m x tho¶ m·n: A10x  A x9 8A8x

Bµi 3 Gi¶i pt:

.

2

x

c C  C  C  C 

Bµi 4 Gi¶i pt: a A , 2 x2  50  A22x b A , n3  5 An2  2( n  15)

, x x 72 6( x 2 )x

Bµi 5 Gi¶i bÊt pt: 3 !

( 2)!

n

n



Bµi 6 Gi¶i bÊt pt:

1 1

143

4

n

n n

A a



 

4

4 15 ,

( 2)! 1 !

n

A b





Bµi 7 a T×m miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè: ( ) 73x

x





b Tính giá trị của biểu thức

1 3

M

n

 



 biết Cn21 2 Cn22  2 Cn23  Cn24  149

Bµi 8 Gi¶i bÊt pt:

13 13

d C  C 

4 1

3 3

1

, n 14

n n

A

C









5

4

IV Bài toỏn xỏc định hệ số trong khai triển nhị thức thành đa thức.

VÍ DỤ

Vớ dụ 1 Khai triển: a/ (2x-3)6 = ? b/  

 

5 1 4x ? 2

Vớ dụ 2 Tìm hạng tử đứng giữa của khai triển:   

 

16 1

3x x

Vớ dụ 3 Cho nhị thức :   

9

3 x

x Tìm số hạng không chứa x trong khai triển.

Vớ dụ 4 a Cho đa thức f x( ) (1 3 )  x 20 Tớnh cỏc hệ số của x3, x18 khi khai triển đa thức

b Tỡm hệ số của x25y10 trong khai triển (x3 + xy)15

Vớ dụ 5 Cho 8  7

2

x

a Tớnh hệ số của x, x3 trong khai triển của f(x)

b Tớnh tổng tất cả cỏc hệ số của x cú số mũ nguyờn

Vớ dụ 6 Cho khai triển:  0 1 1 1 1

x x





Biết rằng trong khai triển đú C n3 5C1n và số hạng thứ tư bằng 20n Tỡm x?

Vớ dụ 7 Tỡm hệ số của x8 trong khai triển của 2  8

Vớ dụ 8 Giả sử biểu thức P(x) =  12 2 12

1 2x a a x a x  a x Tỡm hệ số lớn nhất trong khai triển

Vớ dụ 9 Cho P(x) = (1 + x + x2 + x4)n.Giả sử khi khai triển P(x) cú dạng P(x) = a0 + a1x + a2x2+…+a4nx4n

a Cho n = 7 Tớnh S a 0a2a3 a4n

b Tỡm n biết S a 0a2a3 a4n 262144

c Tỡm n biết S'a0 a1a2 a3 a4n 1024

BÀI TẬP Bài 1 Khai triển: a/ (3a - 2b2)4 = ? b/    

6

?

2 3x

Bài 2 Cho nhị thức :  



 

 

n 1 x

3 Có hệ số thứ 3 trong khai triển bằng 5 Tìm số hạng đứng giữa trong khai

triển trên

Bài 3 Cho nhị thức :  



n 3

2

1 x

x Có tổng 3 hệ số của 3 số hạng đầu là 11 Tìm hệ số của x

2

Bài 4 Cho nhị thức :  



12 1 x

Bµi 5 Tìm hệ số của x31 trong khai triển

40 2

1 ( )

x

Bµi 6 Gọi a3n-3 là hệ số của x3n-3 trong khai triển của biểu thức (x2 + 1)n(x + 2)n Tìm n để a3n-3=26n

Bài 7 Giả sử biểu thức

20

1 2

3 3

triển

V Bài toán chứng minh đẳng thức.

VÍ DỤ

Ví dụ 1 Chứng minh các đẳng thức sau:

1

( 1)

n

n n

n C  n C    C   

2 2 2 2n 2 2 2 2n 2 n

Ví dụ 2 Chøng minh r»ng:

a.Cn k2 2 Cn k1 Cn k Cn k 2 (2 k n )





c Cn k 4 Cn k1 6 Cn k2 4 Cn k3 Cn k4 Cn k 4 (4 k n )



Ví dụ 3 Chøng minh r»ng:

2 1

( 1)

2



BÀI TẬP Bµi 1 a. Khai triÓn (1 + x)2n vµ (1 - x)2n

    

2 n 2 n 2 n 2 n

C C C C 2

    

2 n 2 n 2 n 2 n

C C C C 2

Bµi 2 Chøng minh r»ng:

2 2



Bµi 3 Chứng minh các đẳng thức sau:

a 16 0 15 1 14 2 16 16

b

2008

0 2 2 4 4 2008 2008

2008 2008 2008 2008

2



k n 1 k k 1 k 2 k n

C   C C  C   C 

Chuyên đề III XÁC SUẤT

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP.

1 Phép thử T: Hành động mà kết quả của nó không đoán trước được nhưng có thể xác định được

tập hợp tất cả các kết quả xảy ra

2 Không gian mẫu  : Tập hợp tất cả các kết quả của phép thử T

3 Biến cố A của phép thử T: Có tập hợp các kết quả làm A xảy ra là  A Vậy  A  

4 Xác suất của biến cố A :P ( A )  A Có 0  P ( A )  1 ; P (  )  1 ; P(Þ) = 0

TD1 : Gieo 2 con súc sắc Kết quả là cặp ( x , y ) với x , y là số chấm xuất hiện trên mỗi con

súc sắc

Có bao nhiêu kết quả mà x + y = 10 Hãy nêu  , biến cố A , A ?

5 Biến cố hợp : Biến cố hợp của hai biến cố A , B Kí hiệu A B



A ” A xảy ra hoặc B xảy ra “ A  B AB

TD2 : Gieo con súc sắc Biến cố A : “ Hiện số chấm lẻ “ , biến cố B : “ Hiện số chấm chia

hết cho 3 “ Vậy A  : “ Hiện số chấm lẻ hoặc hiện số chấm chia hết cho 3 “B

Ta có A 1,3,5,B 3,6,AB 1,3,5,6

6 Biến cố xung khắc :

A , B xung khắc  ” Biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra “

A , B xung khắc   A   B Þ

TD3 :

a) Xét TD1 thì A , B không xung khắc vì  A   B Þ

b) Gieo con súc sắc A : “ Hiện số lẻ “ , B : “ Hiện số chẵn “ A , B xung khắc vì







c) Chọn ngẫu nhiên một học sinh A : ‘ Bạn ấy là học sinh giỏi Văn “ , B : “ Bạn ấy là học sinh giỏi Võ “ A , B không xung khắc vì bạn ấy có thể Văn Võ song toàn

d) Có 10 viên bi gồm các màu X , Đ , V Chọn ngẫu nhiên một viên bi A : “ Chọn được bi

X “ , B : “ Chọn được bi Đ “ A và B xung khắc

7 Quy tắc cộng :

A , B xung khắc thì PA  B  P ( A )  P ( B )

8 Biến cố đối : Biến cố đối của biến cố A kí hiệu A

A : “ Không xảy ra A “ A  \  A; P ( A )  1  P ( A )

TD4 :Có 4 hs lớp T , 3 hs lớp TH , 2 hs lớp L Chọn 2 hs thi máy tính CASIO Tính xác suất

chọn được :

a) Hai học sinh cùng một lớp b) Hai học sinh khác lớp

Giải :

Gọi biến cố A : “ Chọn được 2 hs cùng lớp T “ , B : “ Chọn được 2 hs cùng lớp TH “ ,

C : “ Chọn được 2 hs cùng lớp L “và E : “ Chọn được 2 hs cùng một lớp “

a) Vậy E  A  B  C

C

C C

C C

C

2 9

2 2 2 9

2 3 2 9

2

b) E là biến cố “ Chọn được hai hs khác lớp “ Có P(E) 1  P ( E )  1  185 1813

9 Biến cố giao :

Giao của hai biến cố A và B , kí hiệu A.B

A.B ” Cả A và B cùng xảy ra “ A B AB

TD5 : Chọn ngẫu nhiên một học sinh A : ‘ Bạn ấy là học sinh giỏi Văn “ , B : “ Bạn ấy là

học sinh giỏi Võ “ A.B : “ Bạn ấy giỏi cả Văn và Võ “

10 Biến cố độc lập :

A và B là hai biến cố độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra của biến cố kia

Vậy nếu A , B độc lập thì A và B , A và B , A và B đều độc lập

TD6 : Một người bắn cung hai lần Gọi A : “ Lần thứ 1 bắn trúng đích “ , B : “ Lần thứ 2 bắn

trúng đích “ A và B độc lập vì kết quả lần thứ 2 không bị ảnh hưởng của kết quả lần thứ 1

11 Quy tắc nhân :

A , B độc lập  P(A.B) = P(A).P(B)

Vậy A , B không độc lập khi P ( A B )  P ( A ) P ( B )

TD7 : 1 Cho hai biến cố A và B xung khắc

a) Chứng minh P(A.B) = 0 b) Nếu P(A) > 0 , P(B) > 0 thì A , B có độc lập không ?

Hướng dẫn : a) Do  A   B Þ b) Không độc lập do P ( A B )  P ( A ) P ( B )

B BÀI TẬP VẬN DỤNG

I Biến cố, xác suất của biến cố.

1 Gieo hai đồng xu phân biệt , kết quả là sự xuất hiện mặt sấp hoặc ngữa của các đồng xu Tính

xác suất để hai đồng xu cùng sấp hoặc cùng ngữa

2 Gieo ba đồng xu phân biệt , kết quả là sự xuất hiện mặt sấp hoặc ngữa của các đồng xu Tính

xác suất để ba đồng xu cùng sấp hoặc cùng ngữa

3 Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 50 Tính xác xuất để số được chọn là số

nguyên tố

4 Gieo hai con súc sắc Kết quả la cặp thứ tự ( x , y ) Tính xác suất để x + y < 6

5 Một túi đựng 4 bi đỏ , 6 bi xanh Chọn ngẫu nhiên 4 bi Tính xác suất để 4 bi có đủ hai màu

6 Mỗi tờ vé số gồm một dãy 5 chữ số Tính xác suất để trúng lô an ủi

7 Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong số 45 học sinh được đánh số thứ tự từ 1 đến 45 để làm bài

thực hành Tính xác suất để 5 học sinh được chọn có số thứ tự không vượt quá 25

8 Một trò chơi quay số có 10 ô được đánh số từ 1 đến 10 tính xác xuất để trong 3 lần quay kết

quả lần lượt dừng lại ở 3 vị trí khác nhau

9 Một thùng chứa 20 hộp sữa trong đó có 15 hộp loại tốt và 5 hộp có chứa Melamine Chọn ngẫu

nhiên trong thùng 3 hộp Tính xác suất để 3 hộp được chọn không có chứa Melamine

10 Một cổ bài 52 lá Chọn gnẫu nhiên 1 lá Tính xác suất để được lá bài ”cơ”.

11 Một bình đựng 6 viên bi gồm 3bi đỏ và 3 bi xanh Chọn ngẫu nhiên 2 bi Tính xác suất để chọn

được 2 bi xanh

12 Người ta quay 5 lồng cầu xổ số Kết quả là 1 dãy gồm 5 chữ số theo thứ tự các lồng cầu Tính

xác suất để dãy số hiện ra có 5 chữ số khác nhau từng đôi

13 Từ một tổ gồm 6 nam và 4 nữ , chọn 5 bạn để xếp ngồi vào bàn đầu Tính xác suất sao cho

trong cách sắp xếp có đúng 3 bạn nam

II Các quy tắc tính xác suất.

1 Gieo 3 đồng xu Tính xác suất để được :

a) Cả 3 đồng xu đều ngữa b) Có ít nhất 1 đồng xu sấp c) Có đúng 1 đồng xu sấp

ĐS: a) 81 b) 7

8 c)3

8

2 Xác xuất bắn trúng hồng tâm của xạ thủ là 0,2 Tính xác xuất để trong 3 lần bắn độc lập :

a) Bắn trúng hồng tâm đúng 1 lần b) Bắn trúng hồng tâm ít nhất 1 lần

ĐS: a) 0,384 b) 0,488

3 Gieo hai đồng xu I và II Đồng xu I cân đối, đồng xu II không cân đối nên xác suất hiện mặt sấp gấp 3 lần hiện mặt ngữa Tính xác xuất để :

a) Khi gieo hai đồng xu 1 lần thì cả hai đồng xu ngữa

b) Khi gieo hai đồng xu 2 lần thì cả hai đồng xu ngữa

ĐS: a) 1

54

4 Bài trắc nghiệm 10 câu Mỗi câu 4 phương án Tính xác suất trả lời đúng 10 câu

ĐS: 10

4

1













5 Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong cỗ bài tú lơ khơ Tính xác suất để trong sấp bài

Chứa hai bộ đơi ( hai con cùng thuộc 1 bộ, hai con thuộc bộ thứ 2, con thứ 5 thuộc bộ khác

Hướng dẫn :

Chọn hai bộ 2 cĩ 2

13

C cách Mỗi bộ cĩ 2

4

13 .4 4

C C C cách

cĩ 11 cách chon bộ 1 Mỗi cách chọn bộ 1 cĩ 4 cách chọn vậy cĩC C C132 .11.442 42 A

5

52

C

 

6 Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài Tính xác suất để trong sấp bài cĩ 5 quân lập thành bộ

Liên tiếp tức là bộ (A,2-3-4-5) (2-3-4-5-6) ….(10 –J-Q-K-A) Quân A vừ là quân bé nhất

Quân lớn nhất

Hướng dẫn :

5

52

C

 

Cĩ 10 bộ thỏa mãn bài tốn

Mỗi bộ cĩ 4.4.4.4.4=1024 vậy  A 10240

7 Một bình đựng 16 viên bi ,7 viên bi trắng ,6 viên bi đen,3 viên bi đỏ

a) lấy ngẫu nhiên ba viên bi Tính xác suất để :

 lấy cả ba viên bi khơng đỏ

 Lấy được 1 bi trắng ,1 bi đen ,1 bi đỏ

b) Lấy ngẫu nhiện 4 viên bi Tình xác suất để

 Lấy đúng 2 viên bi tráng

c) Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi Tính xác suất lấy được 5 viên bi trắng ,3 bi đen,2 bi đỏ

8 Một hộp đựng thẻ đánh số thứ tự từ 1,2…,9 rút ngẫu nhiên hai thẻ và nhân hai số

Trên thẻ vĩi nhau Tính xác suất để ?

a) Tích nhân được là số lẻ

b) Tích nhận được là số chẵn

9 Một hộp đựng 9 thẻ được đánh từ 1,2,3…9 Rút ngẫu nhiên 5 thẻ Tính xác suất để

a) Các thẻ ghi số 1,2,3

b) Cĩ đúng 1 trong ba thẻ ghi 1,2,3 được rút

c) Khơng cĩ thẻ nào trong ba thẻ được rút

10 Chon ngẫu nhiên 3 số từ tập 1, 2, ,10,11

a) Tính xác suất để tổng ba số được chọn là 12

b) Tính xác suất để tổng ba số đực chọn là số lẻ

.Hướng dẫn : a, 12=1+2+9=1+3+8=1+4+7=1+5+6=2+3+7=2+4+6=3+4+5   3

11

7

p A

C



1 2 3 0

6 5 6 5 3 11

P B

C





11 Chọn ngẫu nhiên một vé số số cĩ 5 chữ số tư 0 đến 9 Tính xác suất trên vé khơng cĩ chữ số 1 hoặc

chữ số 5

Hướng dẫn : A là biến cố khơng cĩ chữ số 1, B là biến cố khơng cĩ chữ số 5

100000

12 Một người đi du lịch mang 3 hộp thịt,2 hộp quả ,3 hộp sữa Do trười mưa các hộp

bị mất nhãn Người đĩ chọn ngẫu nhiên 3 hộp Tính xác suất để trong đĩ cĩ 1 hộp thịt

một hộp sữa , một hộp quả

ĐS:  

1 1 1

3 2 3 3 8

C C C

P A

C



13 Cĩ hai xạ thủ I và xạ tám xạ thủ II Xác suất bắn trúng I là 0,9 ,Xác suất của II là 0,8 lấy

ngẫu nhiên một trong 10 xạ thủ ,bắn một viên đạn Tính xác suất để viên đạn bắn ra trúng đích

Giải

Gọi B là biến cố “Xạ thủ được chọn lọa i ,i=1,2 i

10

i

8

10

Nên     1 1  2  2

10 10 10 10

14 bốn khẩu pháo cao xạ A,B,C,D cùng bắn độc lập vào một mục tiêu Biết xác xuất

bắn trúng của các khẩu pháo tương ứng là

  1   2,   4,   5

HD: Tính xác suất mục tiêu khơng bị bắn trúng

2 3 5 7 105

105 105

15 Một hộp đựng 10 viên bi trong đĩ cĩ 4 viên bi đỏ ,3 viên bi xanh,2 viên bi vàng,1 viên bi trắng Lấy

ngẫu nhiên 2 bi tính xác suất biến cố

HD: 2

10

C

  , A là biến cố a,B là biến cố b,C là biến cố c

2

10

A

C

C

1 1

10

45

B

C C

C

9

P C