Chuyên đề tổ hợp

Một số khái niệm

1.Giai thừa của một số tự nhiên n là tích các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến

n

Ký hiệu n! = 1.2.3… n qui ước 0! = 1

2.Qui tắc cộng,qui tắc nhân: Giả sử có k công việc A1,A2,….Ak

công việc A1 có n1 cách thực hiện công việc A2 có n2 cách thực hiện

…

công việc Ak có nk cách thực hiện Khi đó:

Có n1 + n2 + ….+ nk cách thực hiện công việc A1 hay A2 hay….hay Ak

Có n1 n2 … nk cách thực hiện công việc A1 và A2 và….và Ak

3.Hoán vị:cho tập hợp A có n phần tử,mỗi cách sắp xếp tất cả các phần tử

của A theo một thứ tự nhất định gọi là một hoán vị n phần tử

*Công thức :số hoán vị của n phần tử là : Pn = n!

4.Chỉnh hợp: cho tập hợp A có n phần tử,mỗi cách sắp xếp k phần tử của

A (0  k  n)theo một thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợp n chập k

*Công thức :số chỉnh hợp n chập k là A n k 

5.Tổ hợp: cho tập hợp A có n phần tử,mỗi cách chọn k phần tử của

A (0  k  n) không cần thứ tự gọi là một tổ hợp n chập k

*Công thức :số tổ hợp n chập k là C n k 

Qui tắc chọn

1.Rút gọn các biểu thức sau:

!

7

!

9

;

! 5

! 3

; (( 31)!)!





n

n

;

! 2

! 102

! 105

;

)

! 7

! 2

! 9

!

5

!

3

!

8

(

!

10

!

4

!

7

2.Có 10 người gồm 7 nam và 3 nữ.Có mấy cách chọn 1 tổ

trưởng,1tổ phó nếu : a)Tổ trưởng là nam,tổ phó là nữ

b)Tổ trưởng là nam,tổ phó tuỳ ý c)Tổ trưởng ,tổ phó đều là nam

3.Có mấy cách chia 4 đồ vật cho 3 người sao cho mỗi người

có đúng 1 đồvật

4.Một người có 3 áo xanh,4áo trắng; 2 quần đen,3 quần vàng

2 giày đen,1 giày trắng.Có mấy cách chọn 1 bộ đồng phục nếu:

a)Áo,quần,giày tuỳ ý

b)Nếu áo xanh thì quần giày tuỳ ý;còn nếu áo trắng thì

quần đen,giày đen

5.Một đoàn tàu có 3 toa,trên sân ga có 5 hành khách.

Có mấy cách sắp xếp hành khách lên tàu ?

6.Có mấy cách sắp xếp 5 người A,B,C,D,E ngồi vào 1 bàn

dài sao cho:

a)C ngồi ở giữa b)A ngồi ở phía ngoài

7.Có 1 bàn dài gồm 2 dãy ghế đối diện nhau,mỗi bên 5 ghế

Có mấy cách sắp xếp 5 nam ,5 nữ sao cho:

a)Hai người đối diện nhau thì không cùng giới b)Hai người đối diện nhau hoặc cạnh nhau thì không cùng giới

8.Có 4 nam và 4 nữ.Có mấy cách sắp xếp thành 1 hàng dọc

saocho: a)Đứng đầu là nam b)Đứng xen kẻ nhau

9.Có mấy số tự nhiên gồm 2 chữ số mà

a)Hàng đơn vị chẳn,hàng chục lẽ b)Hàng đơn vị lẽ,hàng chục chẳn c)Hàng đơn vị chẳn khác hàng chục

10.Từ 4 chữ số1,2,3,4 có thể lập được mấy số tự nhiên

gồm 4 chữ số trong các trường hợp sau : a)4 chữ số tuỳ ý b)4 chữ số khác nhau c)4 chữ số sao cho 2 chữ số kề nhau thì khác nhau

11.Từ 5 chữ số 0,1,3,5,7 có thể lập được mấy số tự nhiên

gồm 4 chữ số khác nhau và số đó chia hết cho 5

12.Từ 6 chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được mấy số tự nhiên

gồm 4 chữ số thoả:

a)là số lẽ gồm 4 chữ số khác nhau b)là số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau c)hai chữ số kề nhau phải khác nhau

13.Từ 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được mấy số tự

nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 10

(ĐHSPVinh 99 khối A)

Hoán vị,chỉnh hợp tổ hợp

1.Từ 6 chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được mấy số tự nhiên

gồm 4 chữ số thoả mãn : a)4 chữ số khác nhau b)là số chẵn có 4 chữ số khác nhau

2.Một lớp học có 40 học sinh.Có mấy cách chọn 1 ban cán sự 3

người nếu : a) 3 người tuỳ ý b)1 lớp trưởng,1 lớp phó,1 uỷ viên

3.Có mấy cách chia 12 người thành 4 nhóm,mỗi nhóm có 3 người 4.Có mấy cách chia đều 8 cuốn sách cho 4 người

5.Có 10 nam và 12 nữ;có mấy cách lập 1 tổ 5 người :

a)5người tuỳ ý b)có ít nhất 1 nữ c)có nhiều nhất 2 nam

6.Có 10 đường thẳng song song cắt 7 đường thẳng song

song khác.Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành

7.Có 10 công nhân,3 kỹ sư.Có mấy cách lập 1 tổ 7 người gồm

1 tổ trưởng là kỹ sư ,1tổ phó là công nhân,5 uỷ viên là công nhân

8.Một đội bóng có 30 cầu thủ gồm :2 thủ môn,8 tiền đạo,10

tiền vệ,10 hậu vệ Có mấy cách chọn 1 đội hình thi đấu gồm:

1 thủ môn,2 tiền đạo,4 tiền vệ,4 hậu vệ

9.Có mấy cách chia 17 người vào ở 4 phòng A,B,C,D,biết rằng

phòng A chứa được 4 người,phòng B chứa được 3 người,

phòng C,D chứa được mỗi phòng 5 người

10.Tìm số đường chéo của đa giác lồi 9 cạnh

11.Một buổi học có 4 tiết gồm: Văn,Toán ,Lý,Hoá.Có mấy

cách xếp thời khoá biểu trong các trường hợp sau :

a)các tiết tuỳ ý b)tiết đầu là môn văn

c)tiết đầu không phải là môn văn

12.Có 5 nhà toán học nam,3 nhà toán học nữ,4 nhà vật lý nam.

Có mấy cách lập 1 đoàn công tác gồm 3 người sao cho

trong đó có cả toán lẫn lý và có cả nam lẫn nữ

13.Cho 2 đường thẳng song song d1 và d2 ;trên d1 lấy 17 điểm

và trên d2 lấy 10 điểm.Từ 27 điểm ấy có thể tạo thành mấy tam giác

14.Có 6 bì thư khác nhau,5 tem thư khác nhau.Có mấy cách chọn

3 bì thư,3 tem thư để dán lên 3 bì thư ấy(mỗi bì thư dán 1 tem thư)

15.Có mấy số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau thoã mãn:

a)Các chữ số giảm dần b)Các chữ số tăng dần

16.Cho đa giác đều A1A2 A2n nội tiếp trong đường tròn (O)

Biết rằng số tam giác được tạo thành từ 2n đỉnh ấy = 20 lần số hình

chữ nhật được tạo thành từ 2n đỉnh ấy Tìm số đỉnh của đa giác ấy

17.Trong 1 cái hộp có 9 bi xanh,6 bi đỏ,5 bi vàng.Có mấy cách

chọn 6 viên bi sao cho:

a)có đúng 2 viên bi đỏ b)số bi xanh bằng số bi đỏ

18.Trong 1 cái hộp có 5 bi xanh,4 bi đỏ,6 bi vàng.

a)Có mấy cách chọn 3 viên bi mà không đủ 3 màu

b)Có mấy cách chọn 4 viên bi mà không đủ 3 màu

19.Từ 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được mấy số gồm

4 chữ số khác nhau và:

a)số đó chia hết cho 5 b)Phải có chữ số 3

20.Có 15 bài tập.Mỗi đề thi gồm 4 bài được chọn ra từ 15 bài

tập ấy a)Có mấy đề thi khác nhau

b)Có 2731 thí sinh dự thi.Chứng minh rằng ít nhất có 3 thí

sinh có đề thi trùng nhau

21.Từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên có 5 chữ số khác nhau Tính tổng của các số tự nhiên đó

.a)Từ các chữ số 1,3,4,5,7,8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

gồm 5 chữ số khác nhau

b)Tính tổng các số đó

22.Ông X tổ chức 1 bữa tiệc,có 9 người bạn mà muốn mời 5

người.Hỏi có mấy cách mời biết rằng trong 9 người bạn ấy

có 2 người rất ghét nhau (không thể gặp nhau được)

23.Có 12 nam và 8 nữ,có mấy cách chọn 5 người trong các

trường hợp sau : a)Mọi người đều đồng ý tham gia b)Anh A và chị B đều từ chối c)Anh A và chị B rất ghét nhau

24.Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được mấy số tự nhiên

gồm 8 chữ số trong đó chữ số 1 có măt 3 lần,các chữ số khác có mặt đúng 1 lần

Từ 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm

6 chữ số khác nhau trong đó phải có chữ số 4

25.Trong 1 cái hộp có 4 bi trắng và 6 bi đỏ.Có mấy cách

chọn ra 3 viên bi trong đó phải có 1 bi trắng và 1 bi đỏ

26.Có 10 nam và 7nữ.Có mấy cách chọn ra 3 cặp để khiêu vũ 27.Có 6 nam và 3 nữ xếp thành một hàng dọc.Hỏi có mấy cách xếp

hàng sao cho có đúng 2 nam xen kẻ với 3 nữ .Trong 16 học sinh trong đó có 3 học sinh giỏi,5 học sinh khá,8 học sinh trung bình.Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành hai tổ,mỗi tổ 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá

.Trong mặt phẳng cho 10 điểm trong đó chỉ có 4 điểm thẳng hàng,còn bất kỳ

3 điểm nào khác cũng không thẳng hàng a)Hỏi có bao nhiêu đường thẳng nối các điểm đó b)Có bao nhiêu tam giác khác nhau có đỉnh là các điểm đó

Phương trình có chỉnh hợp,tổ hợp 1.Giải các phương trình sau:

a) 3

1

3 5

4C n  C n b) 2

1

4  18 n

2

4 35

2C  n C n

1

5  192 n





n n

n C

A f)C n C n C n n

2

7

3 2 1





g)A n3  10C n1  30  14C n2 h) C n1 6C n2 6C n3 9n2 14n







1 3

2 210 



  n n

P j)

23

24 4 3

1

4





n n n

n

C A A

k) C4n C5n C6n

1 1 1



14

4 14

4 14

5 14













n

C C

C C

5

2

5n  C n C n 

2 44

p) 3

2

4

2 

  x

x

x

)!

2 (

3





r)

)!

1 (

15 )!

2 (

4 4









n n

A n

6

3

8 5 



  n

n

C t) P A 72 6(A2 2Px)

x

2 x

2.Giải bất phương trình

10

6 2

2x  x  C x 

x A A

3.Giải hệ phương trình

a)











80 2

5

90 5

2

y y

y y

C A

C A

b)

















1 1

1 1

5

y y

C C

C C

c)











 1 2

1

3 5

2

y y

y y

C C

C C

4.Tìm m , n biết rằng :

6 1

m n

C 

= 5

1



m n C

= 2

1



m n C

5.Chứng minh rằng : k

p p n k p k n k

C  

 với n  p  k

n

k n

k n

k n

k n

k

C  4  1  6  2  4  3   4  4

4 k  n

7.Chứng minh rằng : 2

1 2





k  n k

C là 1 số chính phương  n,k

n

k

1  



9.a)Chứng minh rằng : Pn – Pn-1 = (n –1)Pn-1

b)Từ đó chứng minh rằng Pn = 1+ P1+ 2P2 + 3P3+ + (n-1)Pn-1