chuyên đề tổng hợp BDHSG toán 7 hình+đại

Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau:... CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN

Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau:

Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+ +98.99.100.(101-97)

4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+ +98.99.100.101-97.98.99.100 4A = 98.99.100.101

Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

a

 ,

a

c b

d

 ,

a

b c

d



Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại

II TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

-Tính chất: Từ

d

c b

a

 suy ra:

d b

c a d b

c a d

c b

c b a f d b

c b a f

e d

c b a

(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa)

* Chú ý: Khi có dãy tỉ số

5 3 2

c b a



 ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5

Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC

Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết

3 2

y x

Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

4 5

20 3

2

y x y x

Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

3

12

y x

 ,

5 3

z y

 và 2x 3yz 6

Giải:

Từ giả thiết:

12 9 4 3

y x y x

z y z y

z y x

3 2 20 36

3 18

2 20 12

9 ( sau đó giải như cách 1 của VD1)

3

z y z y

3 3

4

3 4

3

z

z y

x y x

3 3 20

9 2 6 3

2x yz  z zz  z  z

Suy ra: 36

5

60 3

y x

y x

5

40 5 2

2

5 4 5

KL: x 4 , y 10 hoặc x  4 , y  10

Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1

BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng:

Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

y x

 ,

7 5

z y

 và 2x 3yz 124

c)

5

4 4

y x

z x

z

y z

y x

 ,

7 5

z y

 và 2x 3yz 124

c)

5

4 4

y x

z x

z

y z

2 2

z y x



 và xyz 810

e)

z y x z

y x y

x z x

2 2

z y x



 và xyz 810

e)

z y x z

y x y

x z x

y

6

6 1 24

4 1 18

x

y y

y

6

6 1 24

4 1 18

d d

b a

c d

c a

b d

c b

a d b a

d c d a

c b d c

b a A

Giai Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75

Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: a , b , c

b  c c  a a  b Biết a+b+c 0.Tìm giá trị của mỗi tỉ

số đó ?

Bài 13 Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8

Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em Tính số học sinh của trường đó?

Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức:

Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 abab 2cdc2d2.abab 2 2 (ab 1 ) 0

=> ab(ab-2cd)+c2d2=0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với mọi a,b)

=>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm

d

c b

a d

a

 .Chứng minh rằng:

d c

d c b a

b a

d c b a

b a

1 (

) 1 (

b

k b b kb

b kb b

1 (

) 1 (

d

k d d kd

d kd d

d c b a

b a

a d

c b

b a d c

b a d

d c

a

 Chứng minh rằng: 2 2

2 2

d c

b a cd

Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

Từ (1), (2), (3) suy ra:  2 2  2 2

b a cd d c

 2 2

2 2

d c

b a cd

.

.

d

b kd

kb d dk

b bk

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

(

) (

d

b k

d

k b d k d

b k b d dk

b bk d

d c

b a cd

d c

b a d

b c

a cb

ab d

b c

a d

c b

d c

b a cd

d c b

a

b

a

5 3

5 3

d c

b a d c

b a

d c

b a cd

d c b

a

b

a

4 3

5 2

d c

d c

b a

2007 2006

2006 2005

2007 2006

2006 2005

7)

d c

bd b ac a

ac a

5 7

5 7 5 7

5 7

2 2 2

d c b

a

b

a

5 3

5 3

d c

b a d c

b a

d c b a

b a

d c b a

b a

4 3

5 2 4 3

5 2

bd b ac a

ac a

5 7

5 7 5 7

5 7

2 2 2

b b

c b a

b b

c b a

2003

c b

2 2

1

a

a a

a a

a a

Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

Chứng minh rằng: a1 a2  a9

Bài 8: Cho

2005 2004

2003

c b

a

 thì

d

a d b

b a





 2 2

2 2

Bài 10: Cho

1 9 9 8 3

2 2

1

a

a a

a a

a a

a c b a

b a

Đảo lại có đúng không?

Bài 12: Chứng minh rằng nếu :

d

b b

a

 thì

d

a d b

b a





 2 2

2 2

Bài 13: Cho

d c

d c b a

b a

cd

ab d c

b a







2 2

2 2

b a b a cd

ab d c

b a d cd c

b ab a cd

ab

.

2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

a ad cb ad ac cb ca bd

ca

bd ca db da

bd bc ad ac

cb ca b a d

d c b

u

thì

3 2

v u



Bài 16: CMR: Nếu a 2 bc thì

a c

a c b a

b a

trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì :

) ( ) ( )

y x a c b

x z c b a

z y

d c b a

b a

a

 Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa  yb 0 và zc  td  0

Chứng minh rằng:

td zc

yd xc tb za

yb xa

u

thì

3 2

v u

c b a

3 3 3

Bài 22: CMR nếu a(yz) b(zx) c(xy) Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì

:

) ( ) ( )

y x a c b

x z c b

a

z y

2

c x b x a

c bx ax P

c b

b a

a



 thì giá trị của P không phụ thuộc vào x

Bài 24: Cho biết : a' b' 1;b' c' 1

a  b  b  c  CMR: abc + a’b’c’ = 0

Bài 25: Cho

d

c b

a

 Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa  yb 0 và zc  td  0

Chứng minh rằng:

td zc

yd xc tb za

yb xa

Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

Chứng minh rằng:

d

a d c b

c b a

3 3 3

Bài 27: Cho

1 1 2 1

2

c x b x a

c bx ax P

c b

b a

a



 thì giá trị của P không phụ thuộc vào x

Thanh Mỹ,ngày 10 tháng 12 năm2010

Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

* Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối

của nó

TQ: Nếu a 0  a a

Nếu a 0  a  a

Nếu x-a  0=> |x-a = x-a |

Nếu x-a  0=> |x-a = a-x |

* Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai

số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau

b a b

* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai

số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu

TQ: a  b  ab và a  b  ab a b 0

2 Các dạng toán :

I Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:

1 Dạng 1: A(x) k ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước )

Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

k x A k x A

) (

) ( )

5 3

1 2

1 2

3

2  x   c)

4

7 4

3 5

4 2

5 2

1 4

3 5 ,

Bài 1.5: Tìm x, biết:

a) 2

3

1 :

1 4 : 2

3 4

3 : 5 , 2 4

b a b

) ( ) ( )

( ) (

x B x A

x B x A x

B x A

Bài 2.1: Tìm x, biết:

a) 5x 4  x 2 b) 2x 3  3x 2  0 c) 2  3x  4x 3 d) 7x 1  5x 6  0a) 5x 4  x 2

5 2

7 4

4 3

2 5

5 8

3 Dạng 3: A(x) B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )

* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị

tuyệt đối của mọi số đều không âm Do vậy ta giải như sau:

) ( ) ( )

( ) (

x B x A

x B x A x

B x

A ( Đối chiếu giá tri x tìm được với điều kiện ( * )

* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

Nếu a 0  a a

Nếu a 0  a  a

Ta giải như sau: A(x)  B(x) (1)

Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

 Nếu A(x)  0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện )

 Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện )

4 Dạng 4 : Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:

* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

m x C x

 Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối Vậy ta sẽ biến đổi biểu thức ở

vế trái của đẳng thức trên Từ đó sẽ tìm được x

Giải Xét x – 1 = 0  x = 1; x – 1 < 0  x < 1; x – 1 > 0  x > 1

x- 3 = 0  x = 3; x – 3 < 0  x < 3; x – 3 > 0  x > 3

Ta có bảng xét dấu các đa thức x- 1 và x- 3 dưới đây:

x 1 3

Xét khoảng x < 1 ta có: (1)  (1 – x ) + ( 3 – x ) = 2x – 1

 -2x + 4 = 2x – 1  x = 5

4 (giá trị này không thuộc khoảng đang xét) Xét khoảng 1  x  3 ta có:

1 5

1

5

1 2 2

1 3 2

1 3 2

Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 a) x2  x3 2x8 9 b) 3x x12x x2 12

101

3 101

2 101

1

4 3

1 3

2

1 2

1

7 5

1 5

3

1 3

1

13 9

1 9

5

1 5

3 1 2

3 2 2

3 2 2

11 5 , 1 4

3 2

1 3

Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn:

a) 5x 1  6y 8  0 b) x 2y  4y 3  0 c) xy 2  2y 1  0

Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn:

a) 12x 8  11y 5  0 b) 3x 2y  4y 1  0 c) xy 7  xy 10  0

* Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất không

âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương

Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 a) x12 y32 0 b) 2x 54  5 2y 75  0

2

1 4 2

2

1 2 1 3

7 5







y y x

25

6 5

4 2008

2007 2

1 - Lập bảng xét dấu để bỏ dấu giá tri tuyệt đối

5 -

1

2 |2x-1 = | 3

Bài 2: Tìm x, y thoả mãn :

a) x12 y32 0

Bài 3: Tìm x, y thoả mãn:

a) x2007 y20080

Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

* Nếu m > 0 ta giải như sau:

m

B

A   (1)

Do A  0 nên từ (1) ta có: 0  B  m từ đó tìm giá trị của B và A tương ứng

Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:

B

A

(2)

Từ (1) và (2)  0  A B m từ đó giải bài toán A B k như dạng 1 với 0 k  m

Bài 2.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

Bài 3.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:

Đánh giá: A(y)  0 A(x).B(x)  0 nxm tìm được giá trị của x

Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:

m A B A

Bài 5.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

2 3

12 1

c)

2 6 2

10 5

6 3

Bài 5.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

a)

 5 2 2

8 1

2 2

16 1

x x

c)

 3 2

12 5

2 4

10 5

1 2

x

Bài 5.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

3 1

14 7

y

5 2 3

20 4

c)

2 2008

6 3

30 5

x

III – Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

 Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn:

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3 , 5 x 4 , 1

3 7

3 7

1 5

c) C 2x 2  1 x với x = 4 d)

1 3

1 7

V – Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

1 Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối:

* Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất của bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức:

Bài 1.1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:

a) A 0 , 5  x 3 , 5 b) B  1 , 4 x  2 c)

5 4

2 3

3 2

e) E 5 , 5  2x 1 , 5 f) F   10 , 2  3x  14 g) G 4  5x 2  3y 12h)

8 , 5 5

,

2

8 ,

12 2

Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4

15 5

21 3

20 5

C

d)

6 1 2 3 2 2

24 6

 3  5 5 14

21 3

Bài 1.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a)

4 5

7

11 5

13 7 2

32 1 15

Bài 1.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a)

24 7 5

4

8 5

14 5

28 12

Bài 1.6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a)

5 6 4

3

33 6 4

14 5 6

68 7 15

2 Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểu thức:

Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2    

D

DÃY SỐ TỰ NHIÊN VIẾT THEO QUY LUẬT, DÃY CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT( tiếp)

b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?

c) A có bao nhiêu ước tự nhiên Bao nhiêu ước nguyên ?

Hướng dẫn:

Bài 3: Cho A 1  7  13  19  25  31 

a) Biết A = 181 Hỏi A có bao nhiêu số hạng ?

b) Biết A có n số hạng Tính giá trị của A theo n ?

) 12 ( ) 7 ( )

Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

Bài 7: Tính tổng: S  9 11  99 101  999 1001  9999 10001  99999 100001

Hướng dẫn:

Bài 8: Cho 2 3 100

3

3 3

3 3

3 3 3

1      



A

Chứng minh rằng: 4A -1 là luỹ thừa của 3

b) Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 với

2 2

2 2 2

2 2

2    



A

Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7 và 15

b) Chứng minh rằng tổng 2 + 22 + 23 + … + 22003 + 22004 chia hết cho 42

a) Chứng minh: B chia hết cho 2 30

b) Chứng minh: B - A chia hết cho 61

1 (

2

10

1 6

1 3

3 10

7

3 7 4

3 4 1

3

N n n

1 154

1 88

1 40

1 10

2

15

1 10

1 6

1 3

1

4 3 2

1 3 2 1

2

1 2

1 2

Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

1 3 97

1

95 5

1 97 3

1 99 1 1

99

1 97

1

5

1 3

1 1

3

97 2

98 1 99

100

1

4

1 3

1 2 1

4

3 3

2 2

1 100

1

3

1 2

4

1 3

1 2

198

197

3 198

2 199

; 24

1 1

; 15

1 1

1 18 17

1

6 5

1 4 3

1 2

1

13

1 12

1 11

1

12 2

1 11 1

1 110

10

1

102 2

1 101

ch ÷ sè

Hướng dẫn:

Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

x x

x

x x x x

x  0 ;  ;  

y x y

x

y x y

3 2

1

1

7 4

1 4 1

4

1 1

4

1 1 3

1 1 2

4 3

49

2 1 ( 2 2  2 x  

* Dạng 2: Tìm x biết

1)

5

3 3

1 1 5

3 2 3 1

3  x  

8)

10

11 7 3 5

1

2 x  9) ( 2x 5 )2  9 10) x2  4 11)

4

1 ) 7 3 (  x 2 

5 2 2

1 ( ) 1 (x 2 y 2 z 2 5) 1  2x  2  3y  3  4y  0 6) x 1  (x 1 )(x 1 )  0

*Dạng 4: Tính giá trị của các biểu thức sau

a) | 3x- 8,4| -14,2 b) |4x-3|+|5y+7,5| +17,5 Bìa 4: Tìm giá trị lớn nhất:

Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

Bài toán 3: Tính tổng các chữ số trong chu kỳ khi biểu diễn số

99

116 dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Bài toán 4: Tính tổng của tử và mẫu của phân số tối giản biểu diễn số thập phân

0,(12)

Bài toán 5: Tính giá trị của biểu thức sau và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị

a)

75 , 6

25 , 2 ).

19 , 8 81 , 11



31 , 2 125 , 0 4

4 ).

25 , 6 : 5 6 , 4 (

) 6 ( 1 , 0 ) 3 ( , 0 5 , 0

) 3 ( , 0 ) 6 ( 1 , 0

3 ( 0 , 0

13

3 ) 384615 (

, 0 ) 3 ( , 0

1 (

5 2

3 2 3

N m m

m m

m m m

a) Chứng minh rằng A là phân số tối giản

b) Phân số A có biểu diễn thập phân là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? vì sao?

CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN- SỐ THỰC- CĂN BẬC HAI

Bài toán 10: So sánh các số sau

a)

25

4 100

Bài toán 11: Tìm x biết

a) x là căn bậc hai của các số: 16; 25; 0,81; a2 ;  2

3

2 b) 2x 32  3  2x c) x 122x 12  0

Bài toán 12: Tìm x biết

Bài toán 14: Tìm các số nguyên x để các biểu thức sau có giá trị là một số nguyên

A Tìm số nguyên x để A có giá trị là số nguyên

Bài toán 16: thực hiện phép tính

5 : 7

1 2 : 7 : 25 , 5 4 , 2 : 2 2

2 2

2 2

2 7

4 2 64

7 7

1 49

1 49

1 1

2 2

5 204

25 21

2

5 196

5 1

7 7

6 8 3

1 12 : 4

49 3

2 8 225 : 3

Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

1/ GTTĐ của một số thì không âm / x /  x

2/ GTTĐ của một số thì lớn hơn hoặc bằng số đó / x / x

3/ GTTĐ của một tổng không lớn hơn tổng các GTTĐ /x + y / /x / /y/ Hiệu không nhỏ hơn hiệu các GTTĐ / x-y//x/ - /y/ 4/ GTTĐ : Với a > 0 thì: /x / = a <=> x = a

a x

Bài4 : Với giá trị nào của a,b ta có đẳng thức : /a ( b – 2 ) / = a ( 2 – b )?

Giải : Ta biến đổi /a (b – 2 )/ = / a ( 2 – b )/ (1) vì /A/ = /-A/ / A / = A <=> A  0 Do đó (1) xảy ra 4 trường hợp : a/ a = 0 thì b tùy ý

b/ b = 2 thì a tùy ý

c/ a > 0 thì b < 2

d/ a < 0 thì b > 2

Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

Bài 5 : Tìm các số a , b sao cho a + b = / a / - / b / (1)

HD: Xét 4 trường hợp :

a/ a  0, b > 0 thì (1) a + b = a – b <=> b = - b (không xảy ra ) b/ a  0, b  0 thì (1) a = b = a + b <=> Đẳng thức nầy luôn luôn đúng.Vậy : a  0, b  0 thỏa mãn bài toán

c/ a < 0 , b > 0 thì (1) a + b = -a – b <=> a = - b Vây a < 0 và

b = -a thỏa mãn bài toán

d/ a < 0 , b  0 thì (1) a + b = -a + b <=> a = -a ( không xảy ra ) Kết luận : Các giá trị a,b phải tìm là a  0, b  0 hoặc a < 0 , b > 0

4 Dạng Tìm GTNN , GTLN của biểu thức chứa dấu GT tuyệt đối :