CHUYÊN đề tổ hợp xác SUẤT QUY tắc đếm HAY, CHI TIẾT

CHUYÊN đề tổ hợp xác SUẤT QUY tắc đếm HAY, CHI TIẾTCHUYÊN đề tổ hợp xác SUẤT QUY tắc đếm HAY, CHI TIẾTCHUYÊN đề tổ hợp xác SUẤT QUY tắc đếm HAY, CHI TIẾTCHUYÊN đề tổ hợp xác SUẤT QUY tắc đếm HAY, CHI TIẾTCHUYÊN đề tổ hợp xác SUẤT QUY tắc đếm HAY, CHI TIẾTCHUYÊN đề tổ hợp xác SUẤT QUY tắc đếm HAY, CHI TIẾT

CHUYÊN ĐỀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

1 Phép thử và biến cố

a) Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của

nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó

b) Không gian mẫu: Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian

mẫu của phép thử đó và ký hiệu là 

c) Biến cố: là một tập con của không gian mẫu

+) Tập  được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không)

+) Tập  được gọi là biến cố chắc chắn

d) Phép toán trên các biến cố

* Biến cố đối: Tập \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A , kí hiệu là A

* Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử Ta có:

+) Tập AB được gọi là hợp của các biến cố A và B

+) Tập AB được gọi là giao của các biến cố A và B

+) Nếu A  B thì ta nói A và B xung khắc

a) Định nghĩa: Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử với không gian mẫu  chỉ có một

số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện Ta gọi tỉ số  

+) 0P A 1, với mọi biến cố A

+) Nếu A và B xung khắc, thì P A BP A   P B (công thức cộng xác suất)

* Hệ quả: Với mọi biến cố A, ta có: P A  1 P A 

c) Các biến cố độc lập, công thức nhân xác suất

A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P A B      P A P B (công thức nhân xác suất)

I DẠNG 1: TÍNH XÁC SUẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP LIỆT KÊ

1 Phương pháp

Bước 1: Tìm số phần tử không gian mẫu: n   (Thường tìm từ chỗ có từ “Chọn ngẫu nhiên ” Bước 2: Tìm số phần tử biến cố A: n A   (Thường tìm từ chỗ có từ “Tính xác suất để, sao cho ) Bước 3:Tính xác suất biến cố A theo công thức : P A  n A   

Vậy xác suất của biến cố A là       1

Lời giải

Ta có không gian mẫu  SS SN NS NN, , ,  có 4 phần tử Suy ra n    4

Các trường hợp thuận lợi của biến cố A là: SS SN NS Suy ra , , n A   3

Tác giả: Đỗ Hoàng Tú; Fb: Đỗ Hoàng Tú

Số phần tử của không gian mẫu là   2

Số phần tử của không gian mẫu: n    6.6 36

Gọi A là biến cố thỏa mãn yêu cầu bài toán:

Bạn Quân gieo một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần Tính xác suất của biến cố : “Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần”

Ta có số phần tử của không gian mẫu là n    6.6 36

Các trường hợp thuận lợi của biến cố A là:              1;4 , 2;3 , 3;2 , 4;1 , 4;6 , 5;5 , 6;4

Tác giả: Đỗ Hoàng Tú; Fb: Đỗ Hoàng Tú

Số phần tử của không gian mẫu là   3

Bạn Quân gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần Tính xác suất của biến cố :

“Tổng số chấm ở hai lần gieo là một số chia hết cho 5”

Tác giả: Nguyễn Thanh Giang; Fb: Thanh Giang

Ta có không gian mẫu    i i, /1i j,    6 n  36

Tác giả: Đỗ Hoàng Tú; Fb: Đỗ Hoàng Tú

Ở bài toán này, ta phải hiểu mỗi phần tử trong không gian mẫu không phải đại diện cho một kết quả gieo đồng xu, mà đại diện cho một chuỗi hành động gieo đồng xu liên tiếp

Không gian mẫu  N SN SSN SSSN SSSSN SSSSSN SSSSSS, , , , , ,    n  7

Theo đề bài b là số chấm của con súc sắc nên b1, 2,3, 4,5,6

Không gian mẫu:  1, 2,3, 4,5,6, suy ra: n    6

Gọi A là biến cố gieo súc sắc để phương trình trên có nghiệm

Để phương trình 2

x  bx  có nghiệm thì   b2       4 0 b 2 b 2Kết hợp b1, 2,3, 4,5,6 suy ra b2,3, 4,5,6 Suy ra: A 2,3, 4,5,6 hay n A   5

Vậy xác suất của biến cố A là:   5

6

Gieo một đồng xu cân đối đồng chất liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt ngửa hoặc

cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại Xác suất để số lần gieo là 6:

Ví dụ 12

Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất Giả sử súc sắc xuất hiện mặt chấm Xác suất để phương trình có nghiệm là?

Ví dụ 13

Lời giải Tác giả: Nguyễn Minh Quân Fb: Nguyễn Minh Quân

Từ giả thiết suy ra n    17

Các tỉnh giáp biển gồm có: Nghệ An, Hà Tĩnh, Quảng Bình, Quảng Trị, Thừa Thiên Huế, Đà Nẵng,

Quảng Nam, Quảng Ngãi, Bình Định, Phú Yên, Khánh Hòa, Ninh Thuận và Bình Thuận Suy ra

Tác giả: Nhữ Văn Huấn; Fb: Huân Nhu

Không gian mẫu  1, 2,3, , 20  n  20

Công ty Strong chọn ngẫu nhiên một tỉnh ở miền Trung Việt Nam (xem hình ảnh bên dưới) để tổ

chức sự kiện ra mắt sản phẩm Toán VDC Xác xuất để công ty chọn được một tỉnh giáp biển để

tổ chức sự kiện là bao nhiêu?

Ví dụ 14

Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa thẻ được đánh số từ đến Tính xác suất để thẻ

được lấy ghi số chẵn

Ví dụ 15

Lời giải

Tác giả: Nhữ Văn Huấn; Fb: Huân Nhu

Không gian mẫu  1, 2,3, , 20  n  20

Không gian mẫu:  1, 2,3, ,19, 20 suy ra n    20

Gọi A là biến cố lấy được một tấm thẻ ghi số chia hết cho 2 và 3

Suy ra: A 6,12,18, 24,30 hay n A   5

Do đó xác suất:   5 1

20 4

Lời giải Tác giả: Phạm Trần Luân; Fb: Phạm Trần Luân

Do con súc sắc chỉ có 6 mặt và để ý rằng 3.6 18 là giá trị tối đa của tổng x y z Và 18 không

lớn hơn 16 là bao nhiêu nên ta sẽ sử dụng phương pháp tính phần bù

Số các bộ thứ tự x y z; ;  với x y z; ; là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 1 và nhỏ hơn hoặc bằng 6 là

Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa thẻ được đánh số từ đến Tính xác suất để thẻ

được lấy ghi số chia hết cho

Ví dụ 16

Một hộp chứa thẻ được đánh số từ đến Lấy ngẫu nhiên thẻ từ hộp đó Tính xác suất

thẻ lấy được ghi số chia hết cho và

Ví dụ 17

Gieo 3 con súc sắc cân đối và đồng chất , kết quả là một bộ thứ tự với lần lượt là

số chấm xuất hiện trên mỗi con súc xắc Tính xác suất để

Ví dụ 18

Như vậy có tổng cộng 10 bộ x y z; ;  thỏa mãn x  y z 16

Mỗikết quả của phép thử là một bộ ba a b c, , , trong đó , ,a b c là các số nguyên từ 1 đến 6 Vậy

không gian mẫu là   a b c, , / , ,a b c ,1 a 6,1 b 6,1 c 6

Ta có số phần tử của không gian mẫu là n    6.6.6 216

Các trường hợp thuận lợi của biến cố A là:

Tác giả: Nhữ Văn Huấn; Fb: Huân Nhu

Không gian mẫu    b c, : 1b c, 6n  36

Tác giả: Nhữ Văn Huấn; Fb: Huân Nhu

Không gian mẫu    b c, : 1b c, 6n  36

A b c  b  c     2,1 , 4, 4

Kết quả của việc gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần, trong đó là số chấm

xuất hiện ở lần gieo đầu, là số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai, được thay vào phương trình

bậc hai Tính xác suất để phương trình vô nghiệm

Ví dụ 21

Kết quả của việc gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần, trong đó là số chấm

xuất hiện ở lần gieo đầu, là số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai, được thay vào phương trình

bậc hai Tính xác suất để phương trình có nghiệm kép

Ví dụ 22

Ba đoạn thẳng với chiều dài , ,a b c có thể là 3 cạch của một tam giác khi và chỉ khi

Các khả năng chọn được ba đoạn thẳng lập thành một tam giác là 3;5;7, 3;5;9, 5;7;9

Số chia hết cho 9 có dạng: 9m, với m

A

Năm đoạn thẳng có độ dài Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong năm đoạn thẳng trên Tính xác suất để ba đoạn thẳng lấy ra có thể tạo thành 1 tam giác

Ví dụ 23

Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có chữ số và chia hết cho Chọn ngẫu nhiên một số

từ tập Tính xác suất để các chữ số của số đó đôi một khác nhau

Ví dụ 24

Trường hợp 1: Có 9 bộ số gồm7 số có tổng chia hết cho 9 trong đó có số 0 nên từ các bộ số này lập được: 9 6 6! 38880   số có 7 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9

Trường hợp 2: Có 4 bộ số gồm7 số có tổng chia hết cho 9 trong đó không có số 0 nên từ các bộ

số này lập được 4 7! 20160  số có 7 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9

Gọi A là biến cố cần tìm Suy ra: n A   38.880 20.160 59.040 

“Tính xác suất bằng kĩ thuật đánh thứ tự” Kĩ thuật này áp dụng trong các bài toán có nhiều đối

tượng liên quan với nhau thì chúng ta đánh thứ tự cố định 1 đối tượng Từ đó việc đếm sẽ trở nên dễ dàng

Một số quy tắc đếm được sử dụng : Quy tắc cộng, quy tắc nhân, hóa vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Gọi A là biến cố nam nữ ngồi xen kẽ nhau

Không gian mẫu là số cách xếp ngẫu nhiên 8 bạn vào 8 cái ghế nên n    8!

Giả sử các ghế được đánh thứ tự từ 1 đến 8 tính từ trái sang phải

Trường hợp 1: Nếu các bạn nam ngồi các ghế ghi số lẽ, thì các bạn nữ phải ngồi các ghế ghi số chẵn Suy ra có 4! cách xếp các bạn nam và 4! cách xếp các bạn nữ Vậy có 4!.4! cách xếp

Trường hợp 2: Nếu các bạn nam ngồi các ghế ghi số chẵn, thì các bạn nữ phải ngồi các ghế ghi

số lẻ Suy ra có 4! cách xếp các bạn nam và 4! cách xếp các bạn nữ Vậy có 4!.4! cách xếp

Suy ra số phần tử của biến cố A là n A   2.4!.4! 1152

Bốn bạn nam và bốn bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào 8 cái ghế xếp thành hàng ngang

Tính xác suất sao cho nam nữ ngồi xen kẽ nhau

Ví dụ 1

Số phần tử của không gian mẫu là n    10!

Gọi A là biến cố “các bạn nam được sắp ngồi đối diện nhau”

Số cách chọn 3 trong 5 ghế ở cùng một dãy để sắp các bạn nam là C53 cách, do các bạn nam ngồi đối diện nhau nên 3 ghế ở hàng ghế đối diện là dành cho các bạn nam, và các ghế ớ các vị trí còn lại là của các bạn nữ Nên số phần tử của biến cố A là:   3

5.6!.4!

n A C Vậy xác suất cần tìm là       1

Ví dụ 4

- Số phần tử của không gian mẫu:   3

12 220

n  C 

- Giả sử chọn ba người có số thứ tự trong hàng lần lượt là m, n, p

Theo giả thiết ta có:

11, , 1; 2; ;12

- Số phần tử của không gian mẫu: n    12!

Ta đánh số liên tiếp 12 chỗ ngồi bằng các số từ 1 đến 6 thuộc một dãy và từ 7 đến 12 thuộc một dãy

Ví dụ 5

Một nhóm học sinh gồm nam trong đó có Quang, và nữ trong đó có Huyền được xếp ngẫu nhiên vào ghế trên một hàng ngang để dự lễ sơ kết năm học Xác suất để xếp được giữa bạn nữ gần nhau có đúng bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền là:

Ví dụ 6

Lời giải Tác giả: Đào Hữu Nguyên ; Fb: Đào Hữu Nguyên

Giả sử các ghế được đánh số từ đến

Để có cách xếp sao cho giữa bạn nữ có đúng bạn nam thì các bạn nữ phải ngồi ở các ghế đánh

số , , , Có tất cả số cách xếp chỗ ngồi loại này là: cách

Ta tính số cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho Huyền và Quang ngồi cạnh nhau

Nếu Huyền ngồi ở ghế hoặc thì có cách xếp chỗ ngồi cho Quang Nếu Huyền ngồi ở ghế hoặc thì có cách xếp chỗ ngồi cho Quang

Do đó, số cách xếp chỗ ngồi cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là

Suy ra, số cách xếp chỗ ngồi cho người sao cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là

Từ 1 đến 30 có 15 thẻ mang số lẻ, 15 thẻ mang số chẵn trong đó có 3 thẻ chia hết cho 10 là

10;20;30 nên số phần tử của biến cố A là:   5 1 4

15 .3 12

n A C C C Vậy xác suất cần tìm là       99

Trường hợp 1: Cả hai thẻ lấy ra đều mang số chẵn có 2

Trường hợp 2: Hai thẻ lấy ra có một thẻ mang số chẵn, một thẻ mang số lẻ có 1 1

5 4 20

C C  cách chọn

Không gian mẫu có số phần tử là:  C163 560 (phần tử)

Ta tìm số cách lấy ra ba số trong đó có đúng hai số liên tiếp nhau hoặc lấy ra được cả ba số liên tiếp nhau Khi đó ta có các trường hợp sau:

TH1: lấy ra ba số trong đó có đúng hai số liên tiếp nhau

- Trong ba số lấy ra có hai số 0,1 hoặc 14,15 khi đó số thứ ba có 13cách lấy Do đó trường hợp này có: 2.1326 cách lấy

- Trong ba số lấy ra không có hai số 0,1 hoặc 14,15 khi đó ta có 13 cặp số liên tiếp nhau khác 0,1 và 14,15 , số thứ ba có 12cách lấy Do đó trường hợp này có: 13.12 156 cách lấy

TH 2: lấy ra được cả ba số liên tiếp nhau Ta có lấy ba số liên tiếp nhau ta có 14 cách lấy Do đó trường hợp này có: 14 cách lấy

Vậy ta có: 26 156 14 196   cách lấy ra ba số liên tiếp nhau hoặc lấy ra ba số trong đó có hai

số liên tiếp nhau

Xác suất để trong ba số được chọn không có hai số liên tiếp là: 1 196 13

560 20

P   

Lời giải Tác giả: Đào Hữu Nguyên ; Fb: Đào Hữu Nguyên

Không gian mẫu là số cách dán 3 con tem trên 3 bì thư, tức là hoán vị của 3 con tem trên 3 bì thư

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n    3! 6

Gọi A là biến cố '' 2 bì thư lấy ra có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó'' Thế thì

bì thư còn lại cũng có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó Trường hợp này có 1 cách duy nhất

Cho Chọn ngẫu nhiên số trong tập hợp Tính xác suất để trong ba số được chọn không có hai số liên tiếp

Ví dụ 9

Có bì thư giống nhau lần lượt được đánh số thứ tự từ đến và con tem giống nhau lần lượt đánh số thứ tự từ đến Dán con tem đó vào bì thư sao cho không có bì thư nào

không có tem Tính xác suất để lấy ra được bì thư trong bì thư trên sao cho mỗi bì thư đều

có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó

Ví dụ 10

Suy ra số phần tử của biến cố A là n A   1

Vậy xác suất cần tính       1

.6

Số phần tử của tập S là 4

7 840

A 

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là   1

840 840

n  C Gọi X là biến cố ''Số được chọn luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ''

Ví dụ 11

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số Tính xác suất để số được chọn có dạng ,

Ví dụ 12

Ví dụ 13

Giả sử rút được bộ ba số là a b c; ; , với a b c, do đó 4c, nên c 4;6;8

a, b, c là ba cạnh của tam giác ABC, với BCa, CAb, ABc có góc C tù

2 2 2

24

Cho sáu thẻ, mỗi thẻ ghi một trong các số của tập (các thẻ khác nhau ghi các

số khác nhau) Rút ngẫu nhiên ba thẻ, tính xác suất để rút được ba thẻ ghi ba số là số đo ba cạnh

của một tam giác có góc tù

+ Trường hợp 2: u , 1 u là hai số lẻ, có 3 2

50

C cách chọn bộ u u1; 3 Với mỗi cách chọn u u1; 3 có duy nhất một cách chọn u để 2 u , 1 u , 2 u lập thành cấp số cộng 3

Suy ra số cách lấy được 3 thẻ ghi ba số lập thành cấp số cộng là  A 2C502

Xác suất lấy được 3 thẻ ghi ba số lập thành cấp số cộng là

3 100

Xếp m chiếc kẹo thành 1 hàng ngang, giữa chúng có m 1 chỗ trống

Số cách chia kẹo thỏa mãn điều kiện đề bài chính là số cách đặt n 1 vách ngăn vào giữa m 1 chỗ trống nói trên

Vậy số cách chia kẹo là 1

1

n m

C 

Bài toán 2 Có m chiếc kẹo giống nhau chia cho n em bé Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chia kẹo? Hay nếu ta gọi x là số kẹo nhận được của em bé thứ i i, i 1,n thì bài toán trên có thể phát biểu lại dưới dạng như sau: Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình x1x2   x n  m

Gọi A là biến cố “hộp nào cũng có bi”

Áp dụng bài toán 1 và bài toán 2 cho trường hợp n3,m10 ta có:

Số phần tử của không gian mẫu là   2

12 66

n  C  Xếp 10 viên bi giống nhau vào 3 hộp khác nhau Tính xác suất để hộp nào cũng có bi

Ví dụ 1

Một nhóm có học sinh nam và học sinh nữ Nhóm muốn xếp theo hàng ngang để chụp ảnh

kỉ niệm Tính xác suất để không có bạn nam nào đứng kề nhau

Ví dụ 2

Một nhóm có học sinh nam và học sinh nữ Nhóm muốn xếp theo hàng ngang để chụp ảnh

kỉ niệm Tính xác suất để không có bạn nam nào đứng kề nhau

Ví dụ 3

Lời giải Tác giả: Đào Hữu Nguyên ; Fb: Đào Hữu Nguyên

Không gian mẫu là số cách sắp xếp tất cả 9 học sinh vào một ghế dài

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n    9!

Gọi A là biến cố ''Xếp 3 học sinh lớp 12 xen kẽ giữa 6 học sinh lớp 11 '' Ta mô tả khả năng thuận lợi của biến cố A như sau:

● Đầu tiên xếp 6 học sinh lớp 11 thành một dãy, có 6! cách

● Sau đó xem 6 học sinh này như 6 vách ngăn nên có 7 vị trí để xếp 3 học sinh lớp 12 (gồm 5 vị trí giữa 6 học sinh và 2 vị trí hai đầu) Do đó có 3

7

A cách xếp 3 học sinh lớp 12 Suy ra số phần tử của biến cố A là   3

7

6!

n A  A Vậy xác suất cần tính       6! 73 5

.9! 12

Tác giả: Bùi Thị Gấm; Fb: Bùi Gấm

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau là abcde

Lời giải

Tác giả: Bùi Thị Gấm; Fb: Bùi Gấm

Ta có  9.10490000

Gọi A là biến cố: “Chọn được số có chữ số đứng trước không nhỏ hơn chữ số đứng sau”

Gọi số có 5 chữ số là abcde thỏa mãn a   b c d e

Gọi A là biến cố: “Chọn được số có chữ số đứng trước không nhỏ hơn chữ số đứng sau”

Gọi số có 5 chữ số là abcde thỏa mãn a   b c d e Có các trường hợp sau:

Ta có   6

9

9.A 544320

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có chữ số khác nhau từng đôi một Lấy ngẫu nhiên một

số từ tập S Tính xác suất để chọn được số trong đó chữ số đứng liền giữa chữ số và

Ví dụ 9

Gọi A là biến cố “Chọn số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau,trong đó chữ số 2 đứng liền giữa chữ

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có chữ số lập được từ hai chữ số và Lấy ngẫu

nhiên một số tự tập S Tính xác suất để chọn được số không có chữ số đứng cạnh nhau?

Ví dụ 10

Để hai chữ số 0 không đứng cạnh nhau ta có 6 vị trí để xếp (do 5 chữ số vừa chọn tạo ra 6 vị trí)

Do chữ số 0 không thể xếp ở đầu nên còn 5 vị trí để xếp số 0

Khi đó xếp 3 số 0 vào 5 vị trí nên có 3

Tác giả: Bồ Văn Hậu; Fb: Nắng Đông

Gọi  là không gian mẫu  7.8.8 448

Gọi số cần tìm có dạng abc với , , a b c  và 1   a b c 7

Đặt x a 1; y b a z;  c b t;   Khi đó ta có: , , ,7 c x y z t  và x   y z t 6 1 

Số nghiệm nguyên không âm của phương trình  1 chính là số các số cần tìm thoả yêu cầu đề bài

Có C số các số thoả yêu cầu đề bài 93

Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có chữ số Lấy ngẫu nhiên một số từ tập S Tính xác

suất để lấy được số trong đó có ba chữ số , không có hai chữ số nào đứng cạnh nhau

Ví dụ 11

Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số được lập từ tập Lấy

ngẫu nhiên một số từ tập Tính xác suất để lấy được số mà trong đó chữ số đứng sau luôn lớn

hơn hoặc bằng chữ số đứng trước

Ví dụ 12

Tác giả: Bồ Văn Hậu; Fb: Nắng Đông

Gọi  là không gian mẫu 2

Tác giả: Bồ Văn Hậu; Fb: Nắng Đông

Gọi  là không gian mẫu

Khi đó:  3     x1 x2 x7 11 4 

Số nghiệm nguyên dương của  4 chính là số phần tử của không gian mẫu  C106

Để a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 chia hết cho 11 thì a1 a3 a5a7  a2a4a6 bằng 11 hoặc 22 hoặc 33

Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số Lấy ngẫu nhiên một số từ tập Tính xác suất để lấy được số có tổng các chữ số bằng 19

Ví dụ 13

Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số mà tổng các chữ số của nó bằng 59 Lấy

ngẫu nhiên một số từ tập Tính xác suất để lấy được số chia hết cho 11

Ví dụ 14

  4a  10a1  10a3  10a5  10a75 có số nghiệm nguyên dương là 3

10

40 421

P C

 

Lời giải Tác giả: Tăng Lâm Tường Vinh; Fb: Tăng Lâm Tường Vinh

Xét bài toán tổng quát sau: Trên đường tròn cho các điểm A A1, 2, ,A theo chiều kim đồng hồ Có n

bao nhiêu các tô màu k điểm trong n điểm trên sao cho không có hai điểm liên tiếp nào được tô Gọi n đỉnh là: A A1, 2, ,A n 1,A n Ta sẽ cố định đỉnh A 1

Trường hợp 1: Xét đỉnh A không được chọn 1

Vậy ta có số cách chọn k đỉnh thỏa yêu cầu bài toán là : C n k k C n k k 1 1cách

Áp dụng cho bài toán trên với n 20,k 3, ta có kết quả là : 3 2

4057

Cho đa giác đều cạnh Chọn ngẫu nhiên một tam giác có đỉnh tạo bởi các đỉnh của đa giác Tính xác suất để chọn được tam giác nhận các đỉnh của đa giác là đỉnh và cạnh của tam giác không trùng với cạnh của đa giác đều cạnh

Ví dụ 15

Lời giải Tác giả: Tăng Lâm Tường Vinh; Fb: Tăng Lâm Tường Vinh

Xét bài toán tổng quát sau: Trên đường tròn cho các điểm A A1, 2, ,A theo chiều kim đồng hồ Có n

bao nhiêu các tô màu k điểm trong n điểm trên sao cho không có hai điểm liên tiếp nào được tô Gọi n đỉnh là: A A1, 2, ,A n 1,A n Ta sẽ cố định đỉnh A 1

Trường hợp 1: Xét đỉnh A không được chọn 1

4 3

12 11 4 16

3391

Ví dụ 16

Cho đa giác đều đỉnh Gọi là tập hợp các tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác Chọn ngẫu nhiên một tam giác trong tập Tính xác suất để chọn được tam giác có một góc lớn hơn

Ví dụ 17

Số đo góc ở tâm chắn mỗi cạnh của đa giác bằng

1801009

a.Biến cố xung khắc:

Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra

Ví dụ: Xét phép thử tung một con xúc xắc, gọi A là biến cố: “xúc xắc xuất hiện mặt chẵn”, B là biến cố: “ xúc xắc xuất hiện mặt 5chấm” thì A, B là 2 biến cố xung khắc

b Biến cố đối:

Biến cố không xảy ra biến cố A được gọi là biến cố đối của biến cốA Kí hiệu: A

Ví dụ: Xét phép thử tung một con xúc xắc, gọi A là biến cố: “xúc xắc xuất hiện mặt chẵn”, thì biến

cố đối của biến cố A là A : “xúc xắc xuất hiện mặt lẻ”

Gọi Alà biến cố: “chọn một nam sinh giỏi Toán”; Blà biến cố: “chọn một nữ sinh giỏi Văn” Khi đó AB là biến cố: “chọn được một nam sinh giỏi Toán hoặc một nữ sinh giỏi Văn”

Ta thấy A và B là 2 biến cố xung khắc

Số phần tử của không gian mẫu: n    40

Số kết quả thuận lợi của biến cố ,A B lần lượt là: n A 15, n B 8

Ví dụ 1

Vậy xác suất cần tính là :       23

40

Lời giải Tác giả: Bùi Nguyễn Phi Hùng; Fb: Bùi Nguyễn Phi Hùng

Gọi A là biến cố: “ lấy ra được 2 cầu màu xanh”; Blà biến cố: “ lấy ra được 2 cầu màu đỏ”

AB là biến cố: “lấy ra được 2 quả cầu cùng màu” Ta thấy A và B là 2 biến cố xung khắc

Số phần tử của không gian mẫu:   2

Tác giả: Bùi Nguyễn Phi Hùng; Fb: Bùi Nguyễn Phi Hùng

Số cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ 30 học sinh lên bảng là   3

30

n  C

Số học sinh trung bình và khá là 15 7 22 học sinh

Gọi A là biến cố: “3 học sinh được chọn đều không giỏi”

Suy ra A là biến cố: “3 học sinh được chọn có ít nhất 1 học sinh giỏi”

Ta có   3

22

n A C ;   223

3 30

11.29

Một hộp có 5 quả cầu xanh và 4 quả cầu đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 quả cầu Tính xác suất

để 2 quả cầu lấy ra có cùng màu

Gọi A là biến cố “4 học sinh được gọi có cả nam và nữ”, suy ra A là biến cố “4 học sinh được gọi toàn là nam hoặc toàn là nữ”

Số phần tử của không gian mẫu: n   5

15

C

 3003 Gọi biến cố A: “5 quả lấy ra có đủ hai màu” Suy ra biến cố A : “5 quả lấy ra chỉ có 1 màu” TH1: Lấy ra từ hộp 5 quả cầu xanh, có 5

n A n

 



25313003

Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ 15 viên bi thì số cách chọn là C 153 455

Gọi A là biến cố “trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất một viên màu đỏ” Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là:

Một hộp có quả cầu xanh, quả cầu đỏ Lấy ngẫu nhiên quả từ hộp đó Tính xác suất để được quả có đủ hai màu

Ví dụ 5

Một hộp đựng viên bi khác nhau, trong đó có viên bi xanh và viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi ra khỏi hộp Tính xác suất để trong viên bi lấy ra có ít nhất viên bi màu đỏ

Ví dụ 6

*Trường hợp 1: Lấy được 1 viên màu đỏ, số cách lấy là: 1 2

Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ 15 viên bi thì số cách chọn là C 153 455

Gọi A là biến cố “trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất một viên màu đỏ” Khi đó A là biến cố “trong 3viên bi lấy ra không có viên bi màu đỏ” hay “3 viên bi lấy ra đều màu xanh”

Tác giả: Nguyễn Thủy; Fb: diephoang

Số phần tử của không gian mẫu là:   5

Ví dụ 7

Lời giải

Tác giả: Yến Lâm; Fb: Yen Lam

Gọi A là biến cố: “ Rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ”, B là biến cố: “ Cả hai thẻ rút ra là thẻ chẵn” Khi đó C là biến cố: “ Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn” là: C A B

Do hai biến cố A và B xung khắc nên P C P A BP A   P B Vì có 4 số chẵn và 5 số

lẻ nên ta có:   51 14

2 9

636

Tác giả: Yến Lâm; Fb: Yen Lam

Gọi A là biến cố: “ Chọn được 2 viên bi xanh”, B là biến cố: “ Chọn được 2 viên bi đỏ” và C là biến cố: “ Chọn được 2 viên bi vàng” D là biến cố: “ Chọn được 2 viên bi cùng màu”

Theo đề ra, ta có D  A B C và các biến cố A, B, C đôi một xung khắc

Vậy P D P A  B CP A     P B P C

Mặt khác, ta có:   42

2 9

636

336

136

Số phần tử của không gian mẫu là:   2

22 231

n  C  Gọi biến cố A là “Hai em được chọn cùng một lớp”

9 10 3

484

Vậy xác suất để 2 học sinh được chọn từ cùng một lớp là 4

11

Lời giải Tác giả: Phạm Tiến Long; Fb: Long Pham Tien

Số phần tử của không gian mẫu là: 2

10

( )

n C Gọi A là biến cố “Trong 2 người được chọn có ít nhất 1 nữ” thì A là biến cố “Trong 2 người được chọn không có nữ” hay “2 người được chọn đều là nam” Ta có:

 

 

2 7 2 10

21( )

Gọi A là biến cố “Rút được 0 bi đỏ và 3 bi trắng” 0

1

A là biến cố “Rút được 3 bi đỏ và 0 bi trắng”

A là biến cố “3 bi rút được có cùng màu”

Số phần tử của không gian mẫu là số cách rút 3 trong 10 bi là 3

Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Phương Mai; Fb: Phương Mai

Số phần tử của không gian mẫu là   3

10

n  C Gọi A là biến cố “Có ít nhất một câu hình”   1 2 2 1 3

4 6 4 6 4

n A C C C C C Xác suất cần tìm là:       5

Số phần tử của không gian mẫu là:   4

25 12650

n  C  Gọi A là biến cố: “4 học sinh được gọi có cả nam và nữ”

Số kết quả thuận lợi của biến cố A là:   1 3 2 2 3 1

n

Lời giải Tác giả: Trần Ngọc Diễm; Fb: Trần Ngọc Diễm

Không gian mẫu:   3

17

C

n   Gọi A là biến cố chọn tập hợp con gồm 3 phần tử và có tổng chia hết cho 3

Trường hợp 1: Có 5 số trong tập S chia hết cho 3 nên chọn 3 phần tử có C cách chọn 35

Trường hợp 2: Có 6 số trong tập S chia cho 3 dư 1 nên chọn 3 phần tử có C cách chọn 36

Trường hợp 3: Có 6 số trong tập S chia cho 3 dư 2 nên chọn 3 phần tử có C cách chọn 36

Thầy giáo có 10 câu hỏi trắc nghiệm, trong đó có 6 câu Đại số và 4 câu Hình học Thầy gọi bạn

Nam lên trả bài bằng cách chọn lấy ngẫu nhiên 3 câu hỏi trong 10 câu hỏi trên để trả lời Hỏi xác

suất bạn Nam chọn ít nhất có một câu Hình học là bằng bao nhiêu?

Ví dụ 13

Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học

sinh lên bảng giải bài tập Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ

Ví dụ 14

Cho tập hợp gồm số nguyên dương đầu tiên Chọn ngẫu nhiên phần tử

của tập Tính xác suất để tập hợp con chọn được có tổng các phần tử chia hết cho

Ví dụ 15

Trường hợp 4: Chọn một phần tử trong tập S chia hết cho 3, một phần tử trong tập S chia cho 3

dư 1, một phần tử trong tập S chia cho 3 dư 2 Suy ra có 5.6.6 cách chọn

Vậy xác suất cần tìm là       35 36 36

3 17

Tác giả: Nguyễn Thủy; Fb: diephoang

Số phần tử của không gian mẫu là:   2

60 1770

n  C  Gọi A là biến cố: “Lấy đồng thời ngẫu nhiên hai quả cầu sao cho tích của các số trên hai quả cầu chia hết cho 10”

Xảy ra các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Hai quả cầu bốc được có chữ số tận cùng là 0có 2

Tác giả: Yến Lâm; Fb: Yen Lam

Gọi A là biến cố: “ Viên đạn đầu trúng mục tiêu”, B là biến cố: “ Viên đạn thứ hai trúng mục tiêu”

và C là biến cố: “ Một viên đạn trúng mục tiêu và một viên đạn trượt mục tiêu”

Khi đó, ta có: CABAB và hai viên đạn bắn độc lập nhau

Ví dụ 17

Chọn ngẫu nhiên một vé số có 5 chữ số từ 0 đến 9 Tìm xác suất để số trên vé không có chữ số 1 hoặc không có chữ số 5

Ví dụ 18

Tác giả: Yến Lâm; Fb: Yen Lam

Gọi A là biến cố: “ Số trên vé không có chữ số 1 hoặc không có chữ số 5”, B là biến cố: “ Số trên

vé không có mặt chữ số 1” và C là biến cố: “ Số trên vé không có mặt chữ số 5”

Khi đó: BC là biến cố: “ Số trên vé không có mặt chữ số 1 và 5” và A B C là biến cố: “ Số trên vé không có mặt chữ số 1 hoặc không có chữ số 5”

Số phần tử của không gian mẫu là: 6

11

( ) 462

n C  Gọi A là biến cố “Tổng số ghi trên 6 tấm thẻ ấy là một số lẻ”

Từ 1 đến 11 có 6 số lẻ và 5 số chẵn Để có tổng là một số lẻ ta có 3 trường hợp sau:

Trường hợp 1: Chọn được 1 thẻ mang số lẻ và 5 thẻ mang số chẵn: Có 6.C 55 6 cách

Trường hợp 2: Chọn được 3 thẻ mang số lẻ và 3 thẻ mang số chẵn: Có C C 63 53 200 cách

Trường hợp 3: Chọn được 5 thẻ mang số lẻ và 1 thẻ mang số chẵn: Có C65.5 30 cách

Tác giả: Phạm Tiến Long; Fb: Long Pham Tien

Ta chia các suất quà như sau : 6 áo và 6 thùng sữa, 3 thùng sữa và 3 cặp, 1 cặp và 1 áo

Số phần tử của không gian mẫu:   2

10 45

n  C  Trường hợp 1: Nam và Việt nhận một thùng sữa và một chiếc áo: Có 2

6

C cách

Một hộp đựng tấm thẻ được đánh số từ đến Chọn ngẫu nhiên tấm thẻ Tính xác suất

để tổng số ghi trên tấm thẻ ấy là một số lẻ

Ví dụ 19

Một đoàn tình nguyện đến một trường tiểu học miền núi để trao tặng suất quà cho em học sinh nghèo học giỏi Trong suất quà đó gồm chiếc áo mùa đông, thùng sữa tươi và chiếc cặp sách Tất cả các suất quà đều có giá trị tương đương nhau Biết rằng mỗi em được nhận suất quà khác loại (ví dụ : chiếc áo và thùng sữa tươi) Trong số các em được nhận quà có hai em Việt và Nam Tính xác suất để hai em Việt và Nam đó nhận được suất quà giống nhau

Ví dụ 20

Trường hợp 2: Nam và Việt nhận một thùng sữa và một chiếc cặp: Có 2

Gọi A là biến cố “Có ít nhất một lá thư được bỏ đúng địa chỉ”

Trường hợp 1: Chỉ có 1 lá thư được bỏ đúng địa chỉ Giả sử ta chọn 1 trong 4 lá để bỏ đúng phong

bì của nó thì có 4 cách chọn Trong mỗi cách chọn đó ta lại chọn một lá để bỏ sai, khi đó có 2 cách

và có đúng 1 cách để bỏ sai hai lá thư còn lại

Vậy trường hợp này có đúng 1 cách

Vậy số phần tử của A là: n A      8 6 1 15 cách Số phần tử của không gian mẫu là

Số cách chọn ngẫu nhiên 3 phần tử từ tập hợp X là   3

30

n  C Gọi A là biến cố: “ 3 phần tử được chọn lập thành một cấp số cộng”

Ta tìm các bộ ba số a b c; ;  lập thành cấp số cộng với , ,a b c X

Một người bỏ ngẫu nhiên 4 lá thư vào 4 bì thư đã được ghi sẵn địa chỉ cần gửi Tính xác suất để

có ít nhất 1 lá thư bỏ đúng phong bì của nó

Ví dụ 21

Cho tập hợp Chọn ngẫu nhiên 3 phần tử khác nhau của , tính xác suất để

3 phần tử được chọn lập thành một cấp số cộng

Ví dụ 22