Trong BD HSG Toán 9 bạn cần có nhiều đề để ôn luyện và rèn kĩ năng cho HS. Bạn muốn tìm tài liệu ôn thi cho HS dưới dạng các đề theo hệ thống. Bạn muốn tìm những đề thi có hệ thống và có hướng dẫn giải hãy đến với tài liệu đề thi sau. Gồm đủ 18 đề. (Đề 16)
Trang 1NĂM HỌC 2017 – 2018
ĐỀ THI SÔ 16
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 (4 điểm)
a) Giải phương trình: x2 − 16 + x2 − 25 = 9 (3 điểm)
b) Tính giá trị biểu thức ( 3 )2017
A= x − −x tại 3 2 3 3 1
− (2 điểm)
Câu 2 (4 điểm)
a) Cho biết x = by + cz; y = ax + cz; z = ax + by Chứng minh rằng:
1 1 1 2
+ + + (2 điểm)
b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 5 ab5 5 bc5 5 ca5
Câu 3 (4 điểm)
a) Cho số nguyên n không chia hết cho 2 và 3 Chứng minh rằng giá trị của biểu thức 4n2 + 3n+ 5 chia hết cho 6 (2 điểm)
b) Chứng minh rằng giá trị biểu thức n6 – n2 chia hết cho 60 với mọi số nguyên n (2 điểm)
Câu 4 (5 điểm)
Cho đoạn thẳng AB = a , M là điểm nằm giữa A và B Vẽ hai hình vuông AMCD và BMEF cùng phía bờ AB Gọi H là giao điểm của AE và BC
a) Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng (3 điểm) b) Gọi Q là giao điểm của AC và DF Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển khoảng cách từ điểm Q đến đường thẳng AB luôn không đổi (2 điểm)
Câu 5 (3 điểm)
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC của hình chữ nhật ABCD Trên tia đối của tia DC lấy điểm P bất kì Giao điểm của AC và đường thẳng PM là Q Chứng minh rằng : QNM = MNP· ·
==== hết ===
Trang 2Câu 1 (4 điểm)
a)Giải phương trình: x2 − 16 + x2 − 25 = 9
Áp dụng bất đẳng thức a + ≥ +b a b , xảy ra dấu đẳng thức ⇔ab≥ 0 cho vế trái của PT ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
2
x
2
x
Nghiệm của PT là: 4 ≤ ≤x 5 ; − ≤ ≤ − 5 x 4
b)Tính giá trị biểu thức ( 3 )2017
A= x − −x tại 3 2 3 3 1
−
Giải: Đặt
3
3 3
3
1
1
1
b
ab
−
Ta có: 3 ( )3 3 3 ( )
Suy ra x3 − 3x= 4 Do đó: ( 3 )2017 ( )2017
Câu 2 (4 điểm)
c) Cho biết x = by + cz; y = ax + cz; z = ax + by Chứng minh rằng:
1 1 1 2
Giải:
+ Ta có: x + y = ax + by + 2cz = z + 2cz => x + y – z = 2cz
⇒c1+1= x y z+ +2z (1)
+ y + z = 2ax + by + cz => y + z – x = 2ax 1
⇒ a1+1= x y z+ +2x (2)
+ z + x = 2by + ax + cz = 2by + y => z + x – y = 2by
Trang 31 1
⇒b1+1= x y z+ +2y (3)
+ Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được
2
2
x y z
+ +
b) Chứng minh rằng 5 ab5 5 bc5 5 ca5 1
+ + + + + + với a, b, c > 0 và abc = 1.
Ta có: a5 + ≥b5 a b3 2 +a b2 3 ⇔a5 −a b3 2 + −b5 a b2 3 ≥ 0
⇔a a3( 2 −b2) (−b a3 2 −b2)≥ 0
( 2 2) ( 3 3) ( ) (2 ) ( 2 2)
Dấu bằng xảy ra khi a = b
Ta có a5 + ≥b5 a b3 2 +a b2 3 ⇒a5 + +b5 ab a b≥ 3 2 +a b2 3 +ab
1 1
Vậy 5 ab5 c
Tương tự
5 5
Cộng vế theo vế => đpcm
Câu 3 (3 điểm)
a)Cho số nguyên n không chia hết cho 2 và 3 Chứng minh rằng giá trị của biểu thức
2
4n + 3n+ 5 chia hết cho 6
Giải: + Vì n không chia hết cho 2 và 3 nên n = 6k + 1 hoặc n = 6k – 1 (Với k thuộc Z)
+ Nếu n = 6k + 1 thì 2 ( )2 ( )
4n + 3n+ = 5 4 6k+ 1 + 3 6k+ + 1 5
= 4 36( k2 + 12k+ + 1 18) k+ + 3 5
= 4.36k2 + 4.12k+ + 4 18k+ 8
= 144k2 + 66k+ = 12 6 24( k2 + 11k+ 2 6)M
+ Nếu n = 6k – 1 thì 2 ( )2 ( ) ( 2 )
4n + 3n+ = 5 4 6k− 1 + 3 6k− + = 1 5 6 24k − 5k+ 1 6 M
+ Vậy ………
b) Chứng minh rằng giá trị biểu thức n6 – n2 chia hết cho 60 với mọi số nguyên n
Ta có: 60 = 3 4 5 + B n= 6 −n2 =n n2( 2 − 1) (n2 + = − 1) (n 1) (n n2 + 1) (n2 + 1)
+ Ta có (n− 1) (n n+ 1 3)M ⇒BM 3
+ Nếu n chẳn thì n2 chia hết cho 4 ⇒BM 4
n lẻ thi n – 1 và n + 1 là các số chẵn ⇒ −(n 1) (n+ 1 4)M ⇒BM 4
+ n2 chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9
+ Nếu n2 có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì n2 M 5
n2 có chữ số tận cùng là 1 hoặc 6 thì n2 − 1 5 M
n2 có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9 thì n2 + 1 5 M
Suy ra ⇒BM 5
+ Vì 3, 4, 5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên B chia hết cho 60
Trang 4Câu 6 (2 điểm)
Cho x, y là hai số dương thỏa mãn 2 1
+ + Chứng minh 2
1 8
2
⇔ +x xy+ 2y+ 2xy= + + + 1 y x xy⇔ +y 2xy= ⇔ = − 1 y 1 2xy⇔ 2xy= − 1 y
Ta có: 2 2 (1 ) 2
4 2 4 1 (4 2 4 1) 1 (2 1)2 1
Dấu “=” xảy ra khi 1
2
2
x=
=== hết===
Trang 5b) Cho a, b là hai số thực bất kì thỏa mãn (a+ a + 2017)(b+ b + 2017) = 2017 Tính
giá trị biểu thức P= a b+ + 2017 2
Giải
(a+ a2 + 2017)(b+ b2 + 2017) = 2017 ⇔
(a+ a2 + 2017)(a− a2 + 2017)(b+ b2 + 2017)(b− b2 + 2017) = 2017(a− a2 + 2017)(b− b2 + 2017)
⇔ − + − + = − + − +
( 2017) ( 2017) 2017(a a2 2017)(b b2 2017)
(a a2 2017)(b b2 2017) 2017
Mặt khác từ giả thiết
(a+ a2 + 2017)(b+ b2 + 2017) = 2017
Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được