ĐỀ CƯƠNG ôn THI HSG TOÁN 9 2011 2013

Tớnh theo m tọa độ cỏc giao điểm A; B của đồ thị hàm số với cỏc trục Ox; Oy.. Chứng minh d luôn đi qua điểm cố định và tìm giá trịcủa m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đờng thẳng d bằ

CẤU TRÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH PHƯỚC 2011-2013 Câu 1: (Đại số: 5 điểm)

Dạng 1: Biến đổi, rút gọn biểu thức đại số về lũy thừa, căn thức, trị tuyệt đối.

2) Tính giá trị của A khi x 17 12 2 

y x

xy y

x A

13.324

13.32213.32

b) Tìm các giá trị của x để B 2 x  x23x 2

HD:

1) Nhận xét x > 0

2 2

3 6

9 : 9

3 1

x

x x

x x

x

x x

x x

1) Rút gọn P

2) Tìm x để P > 0

3) Với x > 4, x ≠ 9 Tìm giá trị lớn nhất của P.(x + 1)

3 2

3

9 :

9

3 1

x

x x

x x

x

x x

x x

= … = x

 2

0 2

x x x

5 2 3

2

) 1 ( 3

x

x x

2 3 3 2

11 15

x x

x

x P

f Tìm f a với a 3 3  17  3 3  17 HD:

2332

1115

x x

2331

1115

x x

x x

13

232

31115

x x

x x

x

=

2753

1

32

6731115

x x x

x

x x x

x x

=   

5231

521

x

x x

b) Với x  0; x 1 ta có

3

5 2

Bài 7: Cho biểu thức: 2 2

Học sinh lập luận để tỡm ra x 4hoặc x 9

Bài 8: Cho biểu thức A=

1

1 1

1 1

x

x x

x x

1) Rút gọn biểu thức A

2) Tính giá trị biểu thức A khi x=33-8 2

3) Chứng minh A<

3 1

Bài 9: Cho biểu thức:

2

1 6 3

6

x x

x x

x x x x

1) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa

x x

2) Tìm số tự nhiên x để giá trị của A là số nguyên

3) Với giá trị nào của x thì biểu thức A có giá trị âm

Bài 11: Cho biểu thức: 1 1 : 1 2

2) Tớnh giỏ trị của Q khi x  8 2 15

3) Tớnh giỏ trị của Q khi x  14 6 5

4) Tớnh giỏ trị của Q khi x 28 12 5

5) Tớnh giỏ trị của Q khi x  2 3

6) Tính giá trị của Q khi x  6 35.

7) Tính giá trị của Q khi x  10 2 6 2 10 2 15 

8) Tính giá trị của Q khi x  6 2 2 2 3 2 6 

Bài 15: Cho biểu thức: 2 4 4 2 13 20

2) Tính giá trị của A khi x3;y 4 2 3.

Bài 20: Cho biểu thức: 15 11 3 2 2 3

2) Cho x.y = 16 Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

Bài 25: Cho biểu thức: 2 2 2 1

) 1 3 (

3 6 10

a c b c

c b

c a

b

1 1

Bài 30: Rút gọn các biểu thức sau

1) A = 3x x2 4x4

2) B = 3 5 3 5 2

3) C = (1+ tan2α)(1- sin)(1- sin2α)(1- sin) + (1+cotan2α)(1- sin)(1-cos2α)(1- sin)

Bài 31: Rút gọn các biểu thức sau:

1) 8  2 15  8  2 15

2)

2 6

48 13 5 3

2) Tính giá trị tổng: 2 2

2

11

1

4

13

1

100

199

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2

)1(

12)

1()

1(

)1()1()

1(

11

1

a a

a a

a a

a a

a

a a

a a a

a A

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

)1(

1)1()

1(

1)1(2)1()

1(

1)1(2)1()

1(

122)

a a a

a

a a a

a a

a

a a a

a a

a

a a a

a

2 2

12

a a

2) Từ câu a suy ra:

111)1(

11)1(

1)1()1(

11

11

1

2 2

a a

a

a a a

a

a a a

11

4

13

113

12

112

11

11

B

.99,99100

1100100

199

14

13

13

12

12

43

13

2

12

1

1

2) B =

1009999100

1

4334

13

223

12

10099

1

43

13

2

12

1

1212

1212

121

3423121

1

1

341

231

3423

1

4334

13

223

12

1

)34(34

1)

23(23

1)

1

)34(34

1)

23(23

1)

)99100(

)34(34

)34()23(23

)23()

)99100(

34

)34(23

)23(

11100

199

1

4

13

13

12

1

11

x

z y

1

11

y

x z

2

2 2

1

11

z

y x

xy + yz + zx = 1 vào 1 + z2 ta được xy + yz + zx + z2 = ( y + z ) ( z + x );

Thay tất cả vào biểu thức A rút gọn ta được kết quả: A2xy2yz2xz

Bài 35: Cho các số dương x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 3.Tính giá trị của biểu thức:

3

33

3

x

z y

x

yz B

3

33

3

y

x z

3

33

3

z

y x

Thay tất cả vào biểu thức B rút gọn ta được kết quả: B = 3

Bài 36: Cho a, b, c đôi một khác nhau và thoả mãn  2 2 2 2

c b a c b

Tính giá trị biểu thức:

ab c

c ac

b

b bc

a

a P

22

2 2

2 2

bc

ca bc ab c

c bc

ab ac b

b ca

ab bc a

a ab

c

c ac

b

b bc

2 2

2 2

2 2

2 2

2

22

2

)()()()()()

(

2 2

2

c b a c b c

c b

a c b a b

b c

a b c

())(

())(

())(

())(

())(

(

2 2

2 2

2 2

c a c b

c c

b b a

b b

a c a

a c

a c b

c b

c b a

b b

)(

(

)()

)(

)(

(

)()

b a c c

a c b b a

c a b c

b b a

c

a

c b

)(

(

)()

)(

)(

(

)()()

2

c b b a c a

b c a c c b a b c b a c

b b a c a

b a c a c b c

b

a

1))(

)(

(

))(

)(

()

)(

)(

(

)()()()

)(

)(

(

))(

(

))(

)(

(

)())(

()()

2 2 2 2

c a b a c b c

b b a c a

c b c b a a c b c

b b a c

a

bc ac ab a

c

b

c b b a c a

c b bc c b c b a c b a c

b b a c a

b c c b a c a b c

b x

a

và   1

c

z b

y a

x

Tính 2 ;(***)

2 2

2 2

2

c

z b

y a

x

2 2

2 2

2 2 2

yz ab

xy c

z b

y a

x c

z b

y a

x c

z b

y a

x

(*)2

12

11

2 2

2 2

2 2

2 2

zx bc

yz ab

xy c

z b

y a

x ca

zx bc

yz ab

xy c

z b

y

a

x

;

Ta lại có:   0   0 ayzbxzcxy0;(**)

xyz

cxy bxz ayz z

c y

b x

a

;Thay (*), (**) vào (***) ta được: 2 1 2 0 1

2 2

2 2

z b

y a

x M

20062006

20062006

20062006

20062006

20062006

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

b

a

a a

b b a

a b

b

a a a

a b

111111

2 2

bc ab c

b a c

b a

VP c b a c

b a abc

c b a c

b a bca

b abc

a abc

c c

1

1

Bài 2: Chứng minh rằng số: 2  3 5là số vô tỉ

HD.Giả sử: 2 3 5a(a hữu tỉ ).Thế thì 2 3 a 5 Bình phương hai vế ta được:

2565256

a a

2

564304

30256

2 4

 là số hữu tỉ,vô lí Vậy 2 3 5là số vô tỉ

Bài 3: Cho ba số thực a, b, c # 0 và ab ac  bc Chứng minh rằng: 1 1 10

c b

HD ab  ac  bc  ( ab)2 ( ac  bc)2  abacbc2 ac bc

2 2 2

2

)(

2

2c ac bc  c  ac bc c  ac bc  abacbcc c



02

2)(

xz yz xy

z

y

z y x x

z z

y y

a a a

a a

1



2) Nếu a0 ,b 0 thì ab a  b ab0;

3) 3 ab 3 a3 b  abab0

n n

n

n n

n

n n

a a a

a a a

a a a a a

a a VT

11

.1

2)Với a0 ,b 0bình phương hai vế ta được: abab2 ab 2 ab 0 ab0 3) Lập phương hai vế ta được:

0)(

33

21

z cz z z y x

21

)1(2)(

44

44

z y x z y x

z z

y x

y z

y x x z

z y x y

z y x x

z y

yt y

y y

x x

xt t

yt y

t y y t y

;

x t

x t t x t

;

y x

y x x y x

;

Nhân vế với vế ta được:

y x

y x x t

x t t y

t y x t t y y

1 )

())(

t t y y x

hoặc x  y 0; y  t 0; t  x 0 xyt

Bài 8: Cho abc 0 và a,b,c # 0

Chứng minh rằng: 2 6 22 2 2 6 22 2 2 6 22 2

b a c

c a

c b

b c

b a

a A

Thay (*),(**),(***) và A ta được:

**)

*(*

)(

32

62

62

62

62

c ca

b bc

a ab

c ca

b bc

a

Ta lại có: 0 ( ) 3    3 3 ( 3 3 3 2 3 2)

bc c b c b a

c b a

c b a c

b

)(3)

(3)

33

3 3

,33 3

c b a A

Bài 9: Cho các số dương a, b, c và a,b,c

Chứng minh rằng nếu: a b c abcabc thì

c

c b

b a

b b

a c

b

b c a c c b a c a b a c c

b b

0)2

()2

()2

0)(

)(

c c b a

c c a a

c

c b

b a

a c

c b

b c

c a

x z z y x z z y x y

x z

z z x z

x y z

22

22

12

12

11

11

z zxy

y xyz

x xy

zx yz

z y x y x z

c b c

b b

a

c b a

c b a b

a c

a c c b b a b

a c a

c b c

b

a

2,

2,

22

)(

82

2

21

.1

c b a a

b c

a b

c a

c a c

c b b

b a a

c c

b b

a

M

Bài 13: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và có độ dài 3 cạnh BC, AC, AB lần lượt bằng a, b, c

Chứng minh rằng: a SinA b.SinB  c.SinC  (a b c)(SinASinBSinC)

Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức.

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x, y ta luôn có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y

Bài 2: Với mọi x, y, z, chứng minh rằng:

ương pháp 3 : Dùng biến đổi tương đương:

Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc đẳng thức đã được chứng minh đúng Chú ý các hằng đẳng thức sau:

 a b 2 a22ab b 2 0

 a b c  2 a2b2c22ab2bc2ca0

 a3b3c3 3abca b c a    2b2 c2 ab bc ca  

33

BĐt cuối cùng đúng vì nếu khai triển vế trái thì đi đến BĐT đúng: ad bc 2 0

Bài 15: Cho 0a b c d, , , 1 Chứng minh rằng:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A x 3 5 x

Cho: a > 0, b > 0 và ab = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

b a b a b a

3

3 3

y y

x

x Q

Câu 2: (Đại số: 5 điểm)

Dạng 1: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình.

Bài 1:

Bài 2:

Bài 3:

Bài 4:

6 1750

256 2

4 6

24 121

Giaỷi baỏt phửụng trỡnh x 22  x

b) Xỏc định m để hệ phương trỡnh cú nghiệm (x; y) thỏa món x y 1

2012 2012

y x

y x

3

3 3

y x

y x y

b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn P = xy đạt giá trị lớn nhất

Dạng 2: Giải bài toỏn bằng cỏch lập phương trinh, hệ phương trỡnh

Lớp 9A cú 56 bạn, trong đú cú 32 bạn nam Cụ giỏo chủ nhiệm dự kiến chia lớp thành cỏc tổ họctập:

- Mỗi tổ gồm cú cỏc bạn nam, cỏc bạn nữ

- Số cỏc bạn bạn nam, cỏc bạn nữ được chia đều vào cỏc tổ

- Số người trong mỗi tổ khụng quỏ 15 người nhưng cũng khụng ớt hơn chớn người

Em hóy tớnh xem cụ giỏo cú thể sắp xếp như thế nào và cú tất cả mấy tổ ?

Dạng 3: Hàm số và đồ thị Tương giao giữa hai đồ thị.

Cõu 2 Cho hàm số: y x  2m1; với m tham số

d Xỏc định m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O

b Tớnh theo m tọa độ cỏc giao điểm A; B của đồ thị hàm số với cỏc trục Ox; Oy H là hỡnh

chiếu của O trờn AB Xỏc định giỏ trị của m để 2

2

3x - 9

y  cắt nhau tại C và lần lợt cắt trục Ox tại A, B

a) Tìm tọa độ của các điểm A, B, C

b) Tìm diện tích và chu vi của tam giác ABC biết đơn vị đo độ dài trên các trục là cm

Cho đờng thẳng y=(m – 2)x + 2 (d) Chứng minh (d) luôn đi qua điểm cố định và tìm giá trịcủa m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đờng thẳng (d) bằng 1

Cõu 2 Cho hàm số: y x  2m1; với m tham số

f Xỏc định m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O

b Tớnh theo m tọa độ cỏc giao điểm A; B của đồ thị hàm số với cỏc trục Ox; Oy H là hỡnh

chiếu của O trờn AB Xỏc định giỏ trị của m để 2

2

OH 

g Tỡm quỹ tớch trung điểm I của đoạn thẳng AB

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d(m) cú phương trỡnh :

(m -1)x+ (m -2)y - 1 = 0 (m là tham số)

Tỡm m để khoảng cỏch từ điểm O đến đường thẳng d(m) cú giỏ trị lớn nhất Xỏc định đường thẳng

đú

Bài 4: ( 2,5 điểm)

Cho tam giỏc ABC nhọn Cỏc đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H Gọi M là trung điểm củaHC; N là trung điểm của AC AM cắt HN tại G Đường thẳng qua M vuụng gúc với HC và đườngthẳng qua N vuụng gúc với AC cắt nhau tại K Chứng minh rằng:

a Tam giỏc AEF đồng dạng với tam giỏc ABC

Từ đú hóy suy ra SAEF = SABC cos2BAC

Bài 5: (1 điểm) Điểm M cố định thuộc đoạn thẳng AB cho trước.Vẽ về cựng một phớa của AB cỏc

tia Ax và By vuụng gúc với AB Qua M cú hai đường thẳng Mt và Mz thay đổi luụn vuụng gúc vớinhau tại M và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D và tạo gúc AMC 

 Xỏc định số đo  để tam giỏcMCD cú diện tớch nhỏ nhất

Bài 5 (4.5điểm): Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M di động trên đờng tròn đó ( M khác

A, B) Vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với đờng tròn (O) tại M và tiếp xúc với đờng kính AB tại N ờng tròn (E) cắt MA, MB lần lợt tại các điểm thứ hai là D và C

Đ-a, Chứng minh CD // AB

b, Chứng minh MN là phân giác của góc AMB

c, Gọi giao điểm thứ hai của MN với đờng tròn (O) là K Chứng minh tích KM.KN không

a/ Chứng minh tam giác IQC cân

b/ Giả sử QC<QB Gọi H là trung điểm của QB kẻ HK vuông góc với BC

Dạng 2: Đại lượng khơng đổi

Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ phân giác AD Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của B, C lênđường thẳng AD

Chứng minh rằng: 2AD ≤ BM + CN

Cho ABCD là hình bình hành Đường thẳng d đi qua A khơng cắt hình bình hành, ba điểm

H, I , K lần lượt là hình chiếu của B, C, D trên đường thẳng d Xác định vị trí đường thẳng d đểtổng: BH + CI + DK cĩ giá trị lớn nhất

Cõu 4

Cho đường trũn (O;R) AB và CD là hai đường kớnh cố định của (O) vuụng gúc với nhau M

là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O) K và H lần lượt là hỡnh chiếu của M trờn CD và AB

a Tớnh sin2MBAsin2MAB sin2MCDsin2MDC

b Chứng minh: 2

c Tỡm vị trớ điểm H để giỏ trị của: P = MA MB MC MD lớn nhất

Cõu 4 (3 điểm) Từ một điểm A nằm ngoài đường trũn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường

trũn (B, C là cỏc tiếp điểm) Trờn cung nhỏ BC lấy một điểm K bất kỳ (K khỏc B và C) Tiếp tuyếntại K của đường trũn (O) cắt AB, AC theo thứ tự tại P và Q

1 Chứng minh chu vi APQ cú giỏ trị khụng đổi khi K chuyển động trờn cung nhỏ BC

2 Đường thẳng qua O và vuụng gúc với OA cắt cỏc đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại M và N.Chứng minh OM = ON

3 Gọi I là giao điểm của AO và phõn giỏc của APQ Chứng minh BCK QPI  và SBKC < 4SQIPCõu 4: (6,0 điểm)

1 Cho hỡnh vuụng ABCD và điểm P nằm trong tam giỏc ABC

a) Giả sử BPC = 1350 Chứng minh rằng AP2 = CP2 + 2BP2

b) Cỏc đường thẳng AP và CP cắt cỏc cạnh BC và AB tương ứng tại cỏc điểm M và N Gọi

Q là điểm đối xứng với B qua trung điểm của đoạn MN Chứng minh rằng khi P thay đổitrong tam giỏc ABC, đường thẳng PQ luụn đi qua D

2 Cho tam giỏc ABC, lấy điểm C1 thuộc cạnh AB, A1 thuộc cạnh BC, B1 thuộc cạnh AC.Biết rằng độ dài cỏc đoạn thẳng AA1, BB1, CC1 khụng lớn hơn 1

2 Biết góc MAN có số đo bằng 450, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm Tính diện tích tam giác AMN

3 Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lợt vuông góc với IK, AK, AI ( P IK,

QAK, R AI) Xác định vị trí điểm O để OP2 OQ2 OR2 nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó.Baứi 6(1,5 ủ ) Cho hỡnh vuoõng MNPQ Goùi I laứ moọt ủieồm thuoọc caùnh MN Tia QI caột tia PN taùi B.Tia Qx vuoõng goực vụựi caùnh QB caột tia NP taùi ủieồm C

a/ Chửựng minh tam giaực IQC caõn

b/ Giả sử QC<QB Gọi H là trung điểm của QB kẻ HK vuông góc với BC

(K thuộc BC )

Chứng minh rằng CK2  BK2 QC2

Câu 6: (5điểm) Cho đường trịn tâm (O; R) đường kính AB và CD vuơng gĩc với nhau Trong

đoạn AB lấy điểm M khác 0 Đường thẳng CM cắt đường trịn (O) tại điểm thứ hai N Đườngthẳng vuơng gĩc với AB tại M cắt tiếp tuyến với đường trịn (O) tại N ở điểm P Chứng minh rằng:

a) Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên một đường trịn

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n2 + n + 1 khơng chia hết cho 9

Cho các số nguyên dương a; b; c đơi một nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn: (a + b)c = ab Xét tổng M = a + b cĩ phải là số chính phương khơng? Vì sao?

Víi a lµ sè nguyªn, chøng minh r»ng : a 5 - 5a 3 + 4a chia hÕt cho120

Dạng 2: Giải phương trình nghiệm nguyên

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

Vì x2 + xy + y2 > 0 với mọi x, y nên từ (*) => y - x > 0

Mặt khác, 91 = 1 x 91 = 7 x 13 và y - x ; x2 + xy + y2 đều nguyên dương nên ta cĩ bốn khả năng sau :

Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 => xy thuộc {1 ; 2 ; 3}

Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí

Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3

Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3)

Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

1/x + 1/y + 1/z = 2 (3) Lời giải : Do vai trò bình đẳng của x, y, z, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z Ta có :

Nhận xét : k(k + 1) là số chẵn, 2t2 + 1 là số lẻ => phương trình (**) vô nghiệm

Vậy phương trình (4) không có nghiệm nguyên

Ví dụ 5 : Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn :

x3 + y3 + z3 = x + y + z + 2000 (5)Lời giải : Ta có x3 - x = (x - 1).x.(x + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp (với x là số nguyên)

Do đó : x3 - x chia hết cho 3

Tương tự y3 - y và z3 - z cũng chia hết cho 3 Từ đó ta có : x3 + y3 + z3 - x - y - z chia hết cho

3

Vì 2000 không chia hết cho 3 nên x3 + y3 + z3 - x - y - z ≠ 2000 với mọi số nguyên x, y, z tức

là phương trình (5) không có nghiệm nguyên

Ví dụ 6 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

xy + x - 2y = 3 (6)Lời giải : Ta có (6) tương đương y(x - 2) = - x + 3 Vì x = 2 không thỏa mãn phương trình nên (6) tương đương với:

y = (-x + 3)/(x - 2) tương đương y = -1 + 1/(x - 2)

Ta thấy : y là số nguyên tương đương với x - 2 là ước của 1 hay x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1 tương đương với x = 1 hoặc x = 3 Từ đó ta có nghiệm (x ; y) là (1 ; -2) và (3 ; 0)

Chú ý : Có thể dùng phương pháp 1 để giải bài toán này, nhờ đưa phương trình (6) về dạng :

x(y + 1) - 2(y + 1) = 1 tương đương (x - 2)(y + 1) = 1

Phương pháp 4 : Sử dụng bất đẳng thức