P là điểm nằm trờn đường thẳng BC, trờn tia đối cuả tia AP lấy điểm D sao cho 2 BC AD .. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm cuả DB và DC... Mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2.. Vậy P
Trang 1Đề thi hs giỏi môn toán 9 Năm học: 2008-2009
Thời gian 150 phút
Bài 1: a) Cho cỏc số thực dương x; y Chứng minh rằng: x y
x
y y
x 2 2
b) Cho n là số tự nhiờn lớn hơn 1 Chứng minh rằng n 4 4 n là hợp số
Bài 2 : a) Thực hiện phộp tớnh:
3 5
12 6 3 20 10 3
b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức x x 2008
Bài 3: a) Cho x = 3 10 6 3 3 1
Tớnh giỏ trị cuả biểu thức P = 3 20072008
x x
P Chứng minh rằng P là một số nguyờn
Bài 4: Cho SABC 1 Gọi h h h a; ;b c, lần lợt là các đờng cao tơng ứng với các cạnh, a, b, c của ABC
CMR: (a2 b2 c2 )(h a2 h b2 h c2 ) 36
Bài 5: Cho tam giỏc ABC P là điểm nằm trờn đường thẳng BC, trờn tia đối cuả tia AP lấy điểm D
sao cho
2
BC
AD Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm cuả DB và DC Chứng minh rằng đường trũn đường kớnh EF luụn đi qua một điểm cố định khi P di động trờn BC
Đáp án Bài 1: a) Với x và y đều dương, ta cú x y
x
y y
x 2 2
(1)
x 3 y 3 xy ( x y ) ( x y )( x y ) 2 0
(2) luụn đỳng với mọi x > 0, y > 0 Vậy (1) luụn đỳng với mọi x 0 , y 0
Trang 2b) n là số tự nhiên lớn hơn 1 nên n có dạng n = 2k hoặc n = 2k + 1, với k là số tự nhiên lớn hơn 0.
- Với n = 2k, ta có 4 n 4 k
4 ) k ( 4
n lớn hơn 2 và chia hết cho 2 Do đó n 4 4 nlà hợp số
-Với n = 2k+1, tacó
n 4 4 n n 4 4 k 4 n 4 ( 2 4 k ) 2 ( n 2 2 4 k ) 2 ( 2 n 2 k ) 2
= (n2 + 22k+1 + n.2k+1)(n2 + 22k+1 – n.2k+1) = [( n+2k)2 + 22k ][(n – 2k)2 + 22k ] Mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2 Vậy n4 + 4n là hợp số
Bµi 2: a) Biến đổi được:
2 2 3
3 5
) 2 2 3 )(
3 5 (
b) Điều kiện x 2008
4
8031 4
8031 )
2
1 2008
x
(
4
1 2008 )
4
1 2008 x
2
1 2 2008 x
( 2008
x
x
2
Dấu “ = “ xảy ra khi x 80334
2
1 2008
x (thỏa mãn) Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là 4
8033 x
khi
4
8031
Bµi 3: a) Ta có x =
3 3
2
= 3
3
10 6 3 6 3 10
8 2 1
Suy ra x 3 – 4x + 1 = 1
Suy ra P = 1 20072008 1
b) Áp dụng hằng đẳng thức (a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a - b)
Suy ra
3 3125
27
P P P3 5P 6 0
(P – 1).(P2 + P + 6) = 0
P = 1 (vì P2 + P + 6 > 0) Vậy P là một số nguyên
Bµi 4:
¸p dông B§T Cosi cho 3 sè d¬ng ta cã:
a2 b2 c2 3 3 a b c2 2 2 (1) (V× a, b, c > 0)
h a2 h b2 h c2 3 3 h h h a2 b2 c2 (2) (V× h h h a, ,b c 0)
Tõ (1) vµ (2) suy ra:
(a b c )(h a h b h c ) 3 3 a b c2 2 2 33 h h h a2 .b2 c2 3 2 2 2
9 ( ) ( ) ( )a h a b h b c h c
Trang 3Mµ 2SABC h a h b h c a b c. (3)
Ta l¹i cã: SABC 1 (GT) (4)
Tõ (3) vµ (4) suy ra: h a h b h c a b c 2 (2*)
Tõ (*) vµ (2*) suy ra:
(a2 b2 c2 )(h a2 h b2 h c2 ) 9 ( ) ( ) ( )3 a h a 2 b h b 2 c h c 2 9 2 2 23 2 2 2 36
VËy (a2 b2 c2 )(h a2 h b2 h c2 ) 36 (§PCM)
Bµi 5:
Gọi M là trung điểm cuả BC
+ Tứ giác DEMF là hình bình hành do EM, FM là hai đường trung bình cuả DBC Suy ra DM và
EF cắt nhau tại trung điểm O cuả mỗi đường
Gọi I là trung điểm cuả AM thì suy ra I là điểm cố định
+ OI là đường trung bình cuả AMD nên :
OI = 1
2AD = 1
4BC (giả thiết) (1) + EF là đường trung bình cuả ABC nên EF = 1
2 BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra OI = 1
2EF Suy ra I thuộc đường tròn (O; 1
4BC) Vậy đường tròn đường kính EF (O; 1
4BC) luôn đi qua điểm cố định I khi P thay đổi trên đường thẳng BC
I
E
D
M
A
P