Toán 12 phần Giải tích

Biến thiên – phụ thuộc Sự phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng biến thiên đã xuất hiện khá sớm trong lịch sử, nhưng mãi đến cuối thế kỉ thứ 18thì sự đồng biến thiên của hai đại lượng m

1 Các đặc trưng khác nhau về khái niệm hàm số

Trong quá trình hình thành và phát triển, khái niệm hàm số gắn liền với hai đặc trưng cơ bản sau:

1.1 Biến thiên – phụ thuộc

Sự phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng biến thiên đã xuất hiện khá sớm trong lịch sử, nhưng mãi đến cuối thế kỉ thứ 18thì sự đồng biến thiên của hai đại lượng mới được quan tâm và định nghĩa tường minh bởi Euler (1755):

Nếu một số đại lượng phụ thuộc vào các đại lượng khác sao cho nếu các đại lượng khác thay đổi, các đại lượng này cũng thay đổi theo, lúc đó chúng ta gọi các đại lượng này là hàm số của các đại lượng khác

(trích theo Bessot, A và Nguyễn Thị Nga, 2011, [4, tr 58]) Chẳng hạn, diện tích S của một hình tròn phụ thuộc vào bán kính R của hình

tròn đó, chi phí gửi thư C của một lá thư phụ thuộc vào trọng lượng wcủa nó, dân số thế giới Pphụ thuộc theo thời gian t.Theo đó, S là một hàm số theo ,R C là một hàm

số theo w và Plà một hàm số theo t

1.2 Tương ứng

Đặc trưng này chỉ ra hàm số liên kết một số duy nhất với một số cho trước Từ thế kỉ 19cho đến nay, trong dạy học, khái niệm hàm số được định nghĩa theo ngôn ngữ

tập hợp gắn liền với đặc trưng tương ứng như sau:

“Hàm số f là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử xthuộc tập hợp D

với một và chỉ một phần tử, kí hiệu ( )f x , thuộc một tập hợp E” (Stewart, 2012,

[4, tr.10])

Định nghĩa này đã làm mờ đi tính biến thiên của hàm số, hay nói cách khác đặc trưng biến thiên – phụ thuộc hoàn toàn xuất hiện ngầm ẩn

2 Những quan điểm về khái niệm giới hạn trong lịch sử

Nói về những quan điểm về khái niệm giới hạn trong lịch sử, Lê Thái Bảo Thiên Trung (2011) nhận định:

Quan điểm đầu tiên về khái niệm giới hạn tồn tại từ thời Euclide (tư tưởng của

nó thể hiện trong Phương pháp vét cạn) đến tận Newton (1642 - 1727) Lê Thái Bảo Thiên Trung gọi đây là quan điểm “ xấp xỉ x ” Trong quan điểm này, biến số “kéo” hàm số:

Nếu một đại lượng x tiến về một giá trị a của đại lượng này (theo nghĩa,

nó nhận các giá trị ngày càng gần a) thì đại lượng y– đại lượng phụ thuộc x

(một hàm số biến x) - tiến về một giá trị L Nghĩa là x càng lúc càng gần a kéo theo y càng lúc càng gần L

Quan điểm thứ hai về khái niệm giới hạn xuất hiện khi Cauchy (1821) đưa ra định nghĩa chính xác cho khái niệm này Lê Thái Bảo Thiên Trung gọi đây là quan điểm “ xấp

xỉ ( )f x ”

Trong quan điểm “ xấp xỉ ( )f x ” chúng ta hiểu khái niệm giới hạn thể hiện

trong kí hiệu hiện đại ngày nay lim ( ) ,

x a f x L có nghĩa là độ xấp xỉ của ( )

f x với L mà ta mong muốn sẽ quyết định độ xấp xỉ của x với a cần chọn

Quan điểm thứ hai đã hình thành nghĩa đúng của khái niệm giới hạn Năm 1876, Weierstrass đã thể hiện quan điểm “ xấp xỉ ( )f x ” của khái niệm giới hạn bằng ngôn ngữ

, Định nghĩa súc tích này vẫn được sử dụng ở bậc đại học ngày nay Với ngôn ngữ hình thức, người ta có thể trình bày khái niệm giới hạn như sau :

Hai quan điểm kể trên thể hiện sự đối lập nhau về vai trò của độ xấp xỉ biến và

độ xấp xỉ giá trị hàm số : trong quan điểm “xấp xỉ x”, độ xấp xỉ kéo theo độ xấp xỉ

; còn trong quan điểm “xấp xỉ ( )f x ”, độ xấp xỉ mong muốn sẽ quyết định độ xấp xỉ

3 Các nghĩa khác nhau của khái niệm đạo hàm

3.1 Bài toán tiếp tuyến và ý nghĩa hình học của khái niệm đạo hàm

Vào nhờ hệ thống kí hiệu đại số do nhà toán học người Pháp Francois Vieta phát minh mà Đại số đã tách khỏi Hình học, phát triển một cách độc lập Từ đó, Descartes và Fermat vận dụng chúng vào nghiên cứu Hình học và đã độc lập với nhau phát minh ra Hình học giải tích vào năm Bài toán xác định tiếp tuyến của các đường cong quen thuộc như đường tròn, đường conic, đường xoắn ốc Archimedes vốn

đã được giải quyết bởi các nhà toán học thời kì đó được quan tâm trở lại Sở dĩ như vậy,

từ khi Hình học giải tích ra đời, mỗi phương trình bất kì hoàn toàn có thể xác định một đường cong Lớp các đường cong ngày càng đa dạng và phức tạp hơn, đòi hỏi phải có một phương pháp tổng quát hơn để giải quyết bài toán tiếp tuyến Động lực này làm nảy sinh khái niệm đạo hàm, nhờ khái niệm đạo hàm tại một điểm người ta trả lời được tồn tại hay không tiếp tuyến của đường cong tại những điểm này, và nếu tồn tại thì dựng nó ra sao Theo đó, cũng mang lại cho khái niệm này một nghĩa hình học rõ ràng:

“hệ số góc của tiếp tuyến” Rõ ràng hơn, đạo hàm tại một điểm bằng với hệ số góc của

tiếp tuyến tại điểm ấy

3.2 Đạo hàm và tốc độ biến thiên của hàm số

Mặc dù ban đầu Newton tiếp cận các ý tưởng mới về phương pháp tìm tiếp tuyến của Fermat và Barrow nhưng ông lại xây dựng khái niệm đạo hàm theo quan điểm động học Trong đó đạo hàm được định nghĩa như là tốc độ biến thiên tức thời của một đại lượng nào đó theo “thời gian” “Thời gian” ở đây không chỉ hiểu theo nghĩa đen, mà

theo nghĩa tổng quát, là một biến bất kì nào đó biến thiên đều theo thời gian, nghĩa là

1591,

1630

x

sao cho Quan niệm này của ông đã mang lại cho khái niệm đạo hàm một đặc trưng quan trọng: Đạo hàm là thước đo tốc độ biến thiên của hàm số so với tốc độ biến thiên của đối số Đặc trưng này đã mở đường cho những ứng dụng mạnh mẽ của đạo

hàm trong vật lí và trong các ngành khoa học khác Đây là nghĩa tổng quát của khái

niệm đạo hàm

3.3 Đạo hàm và phép tính xấp xỉ

Vào sau khi khái niệm đạo hàm và hàm số đạo hàm được định nghĩa tường minh, Taylor đã đưa ra công thức cho phép xấp xỉ một hàm số bởi một hàm đa thức, ngày này được gọi là công thức khai triển Taylor:

trong đó là một vô cùng bé bậc cao hơn

Nhờ công thức này, thay vì phải nghiên cứu một hàm phức tạp, chúng ta có thể nghiên cứu một hàm đa thức xấp xỉ với Trường hợp đơn giản nhất, người ta có thể xấp xỉ bởi một hàm tuyến tính Về bản chất hình học, phần đường cong của trong lân cận rất nhỏ của có thể xấp xỉ bởi một đoạn thẳng (tiếp tuyến tại

Đây chính là nghĩa xấp xỉ của khái niệm đạo hàm

4 Đạo hàm và tốc độ biến thiên

4.1 Tiếp tuyến

( )'x 1

1715,

( )

0

( ) 2

0

n

n

n

n

( ) ( )

f x

( )

Hình 1 Tiếp tuyến và cát tuyến của đường cong

Nếu một đường cong có phương trình và chúng ta muốn đi tìm tiếp tuyến của nó tại điểm khi đó chúng ta xét một điểm gần kề trong

đó và tính hệ số góc của cát tuyến

Sau đó, chúng ta cho tiến đến dọc theo đường cong bằng cách cho tiến đến Nếu tiến đến một giá trị lúc đó chúng ta định nghĩa tiếp tuyến là đường thẳng qua với hệ số góc Điều này có nghĩa rằng tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến khi tiến đến (xem hình 1) Cụ thể hơn:

Tiếp tuyến của đường cong tại điểm là đường thẳng đi qua

với hệ số góc:

nếu giới hạn này tồn tại

4.2 Vận tốc tức thời

; ( ) ,

,

( ) ( )

AB

f x f a m

( )

y f x A a f a; ( )

x a

f x f a m

Hình 2 Vận tốc tức thời

Giả sử một vật di chuyển dọc theo một đường thẳng có phương trình chuyển động trong đó là độ dịch chuyển (khoảng cách có định hướng) của vật so với

vị trí ban đầu tại thời điểm Hàm mô tả chuyển động được gọi là hàm vị trí của vật Trong khoảng thời gian từ đến độ dịch chuyển (xem hình 2)

Vận tốc trung bình trong khoảng thời gian này là bằng với hệ số góc của cát tuyến trong Hình 1

Bây giờ, giả sử chúng ta tính vận tốc trung bình trong các khoảng thời gian ngắn dần Nói cách khác, khi cho tiến đến chúng ta có định nghĩa vận tốc tức thời tại thời điểm như sau:

Vận tốc tức thời tại thời điểm là giới hạn của các vận tốc trung bình:

Điều này nói lên, vận tốc tại thời điểm bằng với hệ số góc của tiếp tuyến tại

4.3 Đạo hàm

( ),

( ) ,

f b f a

b a AB

;

( )

( )

( )

b a

f b f a

v a

A

Chúng ta đã thấy rằng việc tìm hệ số góc của tiếp tuyến hay vận tốc của một vật đều dẫn đến cùng một dạng bài toán về giới hạn là Kiểu giới hạn này xuất hiện khá phổ biến trong các ngành khoa học và kĩ thuật, nên người ta đặt cho nó một cái tên và kí hiệu đặc biệt

giới hạn này tồn tại Trong định nghĩa trên, nếu đặt và

thì ta có

4.4 Tốc độ biến thiên

Giả sử là đại lượng phụ thuộc vào đại lượng khác Khi đó, là một hàm số theo và ta viết Nếu biến thiên từ đến thì độ biến thiên của là

và độ biến thiên tương ứng của

là y f x( )2 f x( ).1

Khi đó,

được gọi là tốc độ biến thiên trung bình

của tương ứng với qua các khoảng cách

và có thể được diễn giải là hệ số góc của cát tuyến trong Hình 1

Làm tương tự với vận tốc, chúng ta xem xét tốc độ biến thiên trung bình qua các khoảng cách giảm dần bằng cách cho tiến đến đến và vì vậy tiến đến Giới

hạn của các tốc độ biến thiên trung bình được gọi là tốc độ biến thiên (tức thời) của

( ) ( )

x a

f x f a

f a, f a'( ), '( ) lim ( ) ( )

x a

f x f a

f a

x x a

0

'( ) lim

x

y

f a

x

y

y

1; 2

2

y

tương ứng với tại mà được hiểu là hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong

tại

5 Xấp xỉ tuyến tính

Chúng ta thấy rằng đường cong rất gần với tiếp tuyến

tại những điểm gần với tiếp điểm Thật vậy, bằng

cách phóng to một điểm trên đồ thị của một hàm số

có đạo hàm, chúng ta thấy rằng đồ thị trông càng

ngày càng giống tiếp tuyến của nó Nói cách khác,

chúng ta sử dụng tiếp tuyến tại như là

đường xấp xỉ với đường cong của khi tiến

tới

và phép tính xấp xỉ

hay được gọi là xấp xỉ tuyến tính hoặc xấp xỉ tiếp tuyến của tại

6 Các nghĩa khác nhau của khái niệm tích phân

6.1 Bài toán diện tích và ý nghĩa hình học của khái niệm tích phân

Từ thời điểm cách đây ít nhất năm, thời những người Hy Lạp cổ đại, lúc đó

họ đã biết tìm diện tích của một đa giác bất kì bằng cách chia nhỏ chúng thành các hình tam giác và cộng các diện tích của các hình tam giác này lại Nhưng khi tính diện tích của một hình có cạnh cong là không dễ chút nào, giải quyết các bài toán này là động lực chủ yếu hình thành nên các ý tưởng của khái niệm tích phân Để tính diện tích các hình này, người ta thường chia hình cần tính thành các hình nhỏ hơn, tổng các diện tích các hình này lại cho chúng ta xấp xỉ diện tích của các hình ban đầu Edoxus

x x1, ( )

y f x A x f x1; ( ) 1

( ; ( ))a f a

( )

a

( ) ( ) '( )( )

f x f a f a x a f a( x) f a( ) f a'( ) x

f a

2500

*

i

i A

và Archimedes đã phát triển phương pháp “vét cạn” cho phép chuyển qua giới hạn tổng trên để tính chính xác diện tích của các hình cần tìm Phương pháp này sau đó được phát triển bởi các nhà toán học thế kỉ như Fermat, Pascal,…cho phép các nhà toán học tính được diện tích các hình một cách chính xác Tích phân được hiểu là giới hạn của tổng diện tích các hình Cụ thể nếu chúng ta có một hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số trục và hai đường thẳng thì

là diện tích của hình phẳng bên dưới đường cong Đây chính là ý nghĩa hình học của khái niệm tích phân

6.2 Tổng tích phân và nghĩa tổng quát của khái niệm tích phân

Theo tiến trình lịch sử hình thành và phát triển, tư tưởng chia nhỏ, lập tổng và chuyển qua giới hạn được xem là nghĩa khởi thủy đầu tiên của khái niệm tích phân Cùng với việc Cauchy hoàn chỉnh cơ sở lý thuyết giới hạn vào thế kỉ đã mang lại cho khái niệm tích phân một định nghĩa hết sức chặt chẽ Cụ thể, tích phân được định nghĩa như sau: Nếu là một hàm được xác định với ta chia khoảng thành

của các khoảng con này và ta cho là các điểm mẫu trong các khoảng con

với điều kiện là giới hạn này tồn tại và cho ra cùng một giá trị với mọi cách chọn lựa có thể của điểm mẫu Nếu nó tồn tại, ta nói rằng khả tích trên Tổng trong định nghĩa trên được gọi là tổng Riemann Kí hiệu

17

i

( ) 0,

( )

b

a

18

b a x

n x0 a x x, , , ,1 2 x n b

1, 2 , , n

x x x

* 1

i n

i a

f

;

1

n i i

được đưa ra bởi Leibniz và được gọi là kí hiệu tích phân Nó là chữ S được kéo dài ra

và Leibniz chọn nó bởi vì tích phân là giới hạn của tổng

Cũng với quy trình chia nhỏ, lập tổng và chuyển qua giới hạn như trên, người ta

đã định nghĩa tích phân đường, tích phân mặt trên các không gian khác nhau Hơn thế nữa, quy trình này còn được ứng dụng vào giải quyết các vấn đề trong nhiều lĩnh vực, khoa học khác nhau, chẳng hạn như: tính công của lực biến đổi, tính quãng đường đi được của một vật khi vận tốc thay đổi, tính áp suất và lực thủy tĩnh trong vật lí và kĩ thuật; tìm thặng dư tiêu dùng của hàng hóa, tính hiệu suất của tim trong kinh tế và sinh học; giải quyết các bài toán về dân số,….Những điều này, mang lại nghĩa cho khái niệm tích phân trong từng lĩnh vực Vì thế, chúng tôi gọi nghĩa khởi thủy đầu tiên của khái

niệm tích phân là nghĩa tổng quát

6.3 Mối quan hệ nghịch đảo của phép tính vi phân và phép tính tích phân

Phép tính vi phân nảy sinh từ bài toán tiếp tuyến, trong khi phép tính tích phân nảy sinh từ bài toán có vẻ như không có liên quan gì cả, bài toán diện tích Người thầy của Newton tại trường Cambrigde, Isaac Barrow đã phát hiện ra rằng hai bài toán này thật sự có mối liên hệ chặt chẽ với nhau Thật vậy, ông nhận thấy rằng phép tính tích phân là phép toán ngược của phép tính vi phân Newton và Leibniz sau đó

đã khai thác mối quan hệ này và sử dụng nó để phát triển giải tích thành phương pháp

có hệ thống thông qua định lí Cơ bản của Giải tích

Định lí Cơ bản của Giải tích thể hiện ở hai phần:

Phần Nếu liên tục trên thì hàm được xác định bởi

liên tục trên khả vi trên và

1630 1677 ,

x

a

; ,

a b a b; g x'( ) f x( )

Phần Nếu liên tục trên thì trong đó là một nguyên hàm bất kì của tức là, hàm số sao cho

Từ đó, định lí này giúp chúng ta tính diện tích và tích phân một cách dễ dàng mà không phải tính chúng từ giới hạn của tổng Riemann Đặc trưng này mang lại cho khái

niệm tích phân bất định một nghĩa mới: “phép toán ngược của đạo hàm” Tích phân

xác định trên đoạn [ ; ]a b của hàm số ( ) f x bằng hiệu số ( ) F b F a trong đó ( ), F là một nguyên hàm bất kì của f

NGƯỜI VIẾT: PHẠM HOÀI TRUNG

b

a