Phép tính vi phân và tích phân hàm một biến

Giáo trình phép tính vi phân và tích phân của hàm số một biến số - Giáo trình Cao đẳng Sư phạm.. Giáo trình phép tính vi phân và tích phân của hàm số một biến số phần bài tập- Giáo trình

Trang 1

HỌC LIỆU

Học liệu bắt buộc:

[1] Nguyễn Mạnh Quý – Nguyễn Xuân Liêm Giáo trình phép tính vi

phân và tích phân của hàm số một biến số - Giáo trình Cao đẳng Sư phạm NXB Đại học Sư phạm 2004.

phân và tích phân của hàm số một biến số (phần bài tập)- Giáo trình Cao đẳng Sư phạm NXB Đại học Sư phạm 2004.

Học liệu tham khảo:

[3] Vũ Tuấn Giải tích toán học NXB Giáo dục 1974.

[4] Pitxcunốp Phép tính vi phân và tích phân NXB Giáo dục 1973.

(Trần Tráng – Lê Hanh dịch)

Trang 2

CHƯƠNG 1 DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN DÃY SỐ

A Mục tiêu :

1 Kiến thức: Sinh viên nắm được các kiến thức cơ bản về :

- Dãy số, các tính chất của dãy số

- Giới hạn dãy số, các phép toán, tính chất đơn giản

- Tiêu chuẩn Côsi và các giới hạn đặc biệt

2 Kỹ năng: Giúp HS rèn luyện các kỹ năng: Tìm giới hạn của các dãy số

3 Tư duy, thái độ: Tư duy logic, thái độ học tập nghiêm túc, khoa học

B Chuẩn bị về phương pháp, phương tiện, tài liệu tham khảo:

1 Phương pháp: Vấn đáp, gợi mở

2 Phương tiện: Tập bài giảng, giáo trình, tài liệu tham khảo

3 Tài liệu tham khảo:

(Trần Tráng – Lê Hanh dịch

C Phân phối số tiết thực hiện:

Trang 3

TT Nội dung kiến thức Số tiết

2 Một số tính chất, phép toán về giới hạn của dãy số

2.1 Một số tính chất đơn giản về giới hạn của dãy số

a) Cho ba d·y { } { }a , n b n ,{ }c n tho¶ m·n an ≤bn ≤cn ∀n∈N

c) NÕu c¸c d·y { } { }a , n b n cã giíi h¹n vµ an ≤bn ∀n∈N th× n a n

e) Mét d·y gi¶m vµ bÞ chÆn díi th× cã giíi h¹n

2.2 Các phép toán trên giới hạn của dãy số

a) NÕu c¸c d·y{ } { }a , n b n cã giíi h¹n th× c¸c d·y {a n +b n},

Trang 4

b) NÕu c¸c d·y{ } { }a , n b n cã giíi h¹n, lim ≠ 0 , ≠ 0

n n n

n

a b

3 Tiêu chuẩn Côsi

3.1 Định lý Bônsanô – Vâyơstrat

Mọi dãy số thực bị chặn đều có một dãy con hội tụ

3.2 Tiêu chuẩn Côsi

Dãy số thực hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Côsi

4 Một số giới hạn đặc biệt, các vô cùng lớn – vô cùng bé

4.2 Giới hạn vô cực, vô cùng lớn – vô cùng bé

Dãy số {un} được gọi là một vô cùng lớn nếu lim n

Trang 5

Trọng tâm chương: Nắm vững phương pháp tìm giới hạn của dãy số

Trường hợp 1 : Nếu a = 1 thì dãy (u n) là một cấp số cộng , công sai b

Trường hợp 2 :Nếu a ≠ 1 , ta qui dãy (u n) thành dãy (vn ) là một cấp số nhân , công bội a như sau:

n n

n

u

u u

Trang 6

n n

=

5.Cho n vòng tròn trong đó cứ hai vòng tròn thì giao nhau tại 2 điểm và không có

ba vòng tròn nào giao nhau tại 1 điểm

Hỏi n vòng tròn đã cho chia mặt phẳng làm bao nhiêu phần?

6 Xác định số hạng tổng quát của dãy số (u n) với 1

i

=

Trang 7

Trường hợp 2: a ≠ 1.

Đặt v n = u n + g(n) với deg(g) = deg(f) và g(n) được xác định thông qua phương pháp hệ số bất định dồng thời thỏa : vn+1 = avn

Ta qui dãy (u n ) thành dãy (v n ) là một cấp số nhân có công bội q = a.

7 Tìm số hạng tổng quát của dãy số u n xác định bởi :

3 1

1

2, 1, 2

Trang 8

Do đó ta được : g(n) = 1

2n2 + 1

2n + 1 Như vậy khi v n = u n + 1

n n

Trang 9

Trường hợp 1: a = 1 ta có u n+1 = u n + α.β n

Cho n lần lượt nhận các giá trị 1 ; 2; 3; …n – 1 thì ta được:

1 1 1

n i n

Trong đó A được xác định thông qua phương pháp hệ số bất định.

Dãy số (vn) được xác định theo cấp số nhân và từ đó suy được (un ).

11 Tìm số hạng tổng quát u n của dãy (u n ) được xác định : 1

1

3 3.4n

Trang 10

Với vn+1 = 3vn ⇔un+1 + A(n+1)3n+1 = 3(un + An.3 n )

⇔3un +5.3 n + A(n+1)3 n+1 = 3(un + An.3 n )

Trang 11

14 .Xác định số hạng tổng quát un của dãy số xác định bởi : 1

n

n n

u u

u x

−

− ⇒ vn = kvn – 1

Từ đó áp dụng cấp số nhân , tìm được vn , suy ra được un

Trường hợp 2: phương trình (*) có 2 nghiệm kép : x 0

Trang 12

Tương tự trên , ta tìm được k để có :

Áp dụng cấp số cộng tìm được vn và suy được un

17 Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un ) xác định bởi :

3

n n n

u

u u

−

+ +

u u

Trang 13

18 Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un ) xác định bởi :

1 1

1

; 1 3 2

n n n

u

u u

Ta có un – 1 = 1

1

1 3

n n

u u

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là un = 7

3

n n

+ + , với n *

19 Xác định số hạng tổng quát u n của dãy số xác định bởi :

n n

1

3

6 , 1 2

n n

Trang 14

CHƯƠNG 2 HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ

A Mục tiêu:

- Hàm số, các tính chất của hàm số

- Giới hạn hàm số, các phép toán, tính chất đơn giản

- Tiêu chuẩn Côsi và các giới hạn đặc biệt

2 Kỹ năng: SV thành thạo các kỹ năng tìm giới hạn hàm số.

3 Tư duy, thái độ: Tư duy logic, thái độ học tập nghiêm túc, khoa học, đạt

hiệu quả cao

B Chuẩn bị về phương pháp, phương tiện và tài liệu tham khảo:

Học liệu bắt buộc:

(Trần Tráng – Lê Hanh dịch)

Trang 15

X ):

f(X) ={f( )x :x∈X}

1.2 Các phép toán trên hàm số: Yêu cầu HS tự hệ thống lại

1.3 Các hàm số đặc biệt: Các hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn, đơn điệu, hàm

hợp…

Trang 16

- Cho hàm f xác định trên X, f đợc gọi là bị chặn trên (dới) trong miền xác định X nếu:

Từ đú yờu cầu SV phỏt biểu lại ĐN giới hạn hàm số?

2.2 Tớnh duy nhất của giới hạn: Nếu một hàm số cú giúi hạn thỡ giới hạn

đú là duy nhất

2.3 Tiờu chuẩn Cụsi: Giả sử khoảng (a, b) chứa điểm x0 và hàm số f xỏc định trờn tập (a, b)\{x0} Ta núi rằng tồn tại lim ( )x x0 f x

→ khi và chỉ khi với ε > 0

cho trước bộ tựy ý, tồn tại số dương δ sao cho:

Trang 17

3.1 Định nghĩa:

- Hµm f vµ g lµ c¸c hµm sè cã giíi h¹n khi x → xo, ta cã:

+) lim (f(x) g(x)) lim f(x) limg(x)

o o

x→ ≠0 th×

) ( lim

) ( lim ) (

) ( lim

x g

x f x

g

x f

o

o o

x x

x x x

x→ = limh(x)

o x

x→ = l th× limg(x)

o x

x→ + = lim f(x)

o x

x→ − = l

3.2 Ảnh và hạt nhân (Tham khảo GT)

4 Giới hạn phía; Giới hạn tại vô cực; Giới hạn vô cực

022

1lim2

214

1lim2

4

11lim4

112lim

1

24

122

1lim1

22

12lim

2lim

++

∞

→

=+

+

∞

→

=+

x e x

x e

x x

x e x

x e

x xe

x e

x e x

x e

x xe

x e x x e x

x xe x

Trang 18

4.3 Giới hạn vô cực: lim ( )x x0 f x

→ = +∞ có nghĩa là với mọi dãy (xn) trong tập hợp

(a;b)\{xo} mà limx n = x o khi đó ta nói: lim ( )x x0 f x

5 Vô cùng bé, vô cùng lớn, các hàm số tương đương

5.1 Vô cùng bé: Hàm số f được gọi là vô cùng bé khi x-> x0 nếu

3 ( lim

1

3 + +

+ +

∞

x x

x

Gi¶i:

2 3 2

1

3 + +

+ +

∞

x x

3

3 2

2 3 2

1 1 1 lim

x x

x

+ +

∞

2 1

Trang 19

2)Bài tập tự luyện:

+) Tìm

1

1 lim

3 2

4 5 + +

− +

−

∞

x x

2

8 lim

5 2 3 lim

5 2 3

2 (

) 2 2 )(

2 4 ( lim

+ +

−

x x

5 2 3

) 2 2 ( 2 lim

+ +

Giải: Hàm f xác định khi và chỉ khi

x x

8 2 lim

2

− +

Trang 20

KIỂM TRA MỘT TIẾT Bài 1 :Tính các giới hạn :

a

14 5

1 4 3 5 4

2 2

+ +

− +

x x x

Trang 21

Nên

1 27 1

Trang 22

CHƯƠNG 3 HÀM SỐ LIÊN TỤC

A Mục tiêu:

- Định nghĩa hàm số liên tục, liên tục một phía, liên tục trên khoảng, đoạn

- Các tính chất cơ bản của hàm liên tục

2 Kỹ năng: Giúp SV rèn kỹ năng:

- Xét tính liên tục của hàm số

- Tính liên tục của hàm số ngược

3 Thái độ: Thái độ nghiêm tục học tập, nghiên cứu để đạt hiệu quả cao

[1] Nguyễn Mạnh Quý – Nguyễn Xuân Liêm Giáo trình phép tính vi phân

và tích phân của hàm số một biến số - Giáo trình Cao đẳng Sư phạm.

NXB Đại học Sư phạm 2004

Trang 23

TT Nội dung kiến thức Số tiết

LT:3; BT: 3 Ghi chú

2 Hàm liên tục trên đoạn

Tính liên tục của hàm ngược

x→ = f(xo) (1)

- f liªn tôc ph¶i t¹i xo ⇔ lim f(x)

o x

x→ + = f(xo)

- f liªn tôc tr¸i t¹i xo ⇔ lim f(x)

o x

x→ − = f(xo)

- f liªn tôc trªn (a ; b) ⇔f liªn tôc t¹i mäi ®iÓm thuéc (a ; b)

- f liªn tôc trªn [ ]a; b ⇔f liªn tôc t¹i mäi ®iÓm thuéc (a ; b) vµ liªn tôc tr¸i t¹i b, liªn tôc ph¶i t¹i a

1.2 Các loại điểm gián đoạn:

- f gi¸n ®o¹n t¹i xo ⇔nã kh«ng liªn tôc t¹i xo

Điểm gián đoạn loại một nếu nó có giới hạn trái, phải hữu hạn tại điểm đóĐiểm giới hạn loại hai nếu nó không phải là điểm giới hạn loại một

2 Các phép toán trên hàm số liên tục:

2.1 Phép toán cộng, nhân, chia

- Hai hµm f vµ g liªn tôc t¹i xo th× c¸c hµm f + g, f – g vµ f.g liªn tôc t¹i xo;

Trang 24

- Hàm y = f(x) liên tục tại xo; hàm u = g(y) liên tục tại yo = f(xo) thì hàm số hợp g(f(x)) liên tục tại xo.

3 Hàm số liờn tục trờn đoạn

- f liên tục trên [ ]a; b thì nó nhận mọi giá trị trung gian giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đó

- f liên tục trên [ ]a; b và f(a) f(b) < 0 thì phơng trình f(x) = 0 có nghiệm trên khoảng (a;b)

4 Tớnh liờn tục của hàm số ngược, của cỏc hàm số sơ cấp, một vài giới hạn đặc biệt

4.1 Tớnh liờn tục của hàm số ngược

Giả sử f là một hàm liờn tục và tăng (giảm) nghiờm ngặt trờn [a, b] khi đú hàm ngược f-1 cũng là hàm liờn tục, tăng (giảm ) nghiờm ngặt trờn [f(a), f(b)]

4.2 Tớnh liờn tục của cỏc hàm số sơ cấp

Mọi hàm đa thức,hàm hữu tỷ, hàm số mũ, hàm logarit, hàm lũy thừa, hàm lượng giỏc đều liờn tục trờn tập xỏc định của nú

4.3 Một vài giới hạn đặc biệt

+) limx→0sinx x = 1 +) limx 0→ tgx x = 1

Trang 25

→

1 lim

0 = lna với a > 0, a ≠1, đặc biệt x e

x x

+

→

1 lim

+) limx→0ln(1x+x)= 1 +) limx (1 x x) 1

0

− +

Trọng tõm chương: Thành thạo BT xột tớnh liờn tục của hàm số

Tỡm điểm giỏn đoạn của hàm số

0 2

x

x x

tại điểm x = 0

Giải: hàm số f(x) =  >

≤

0 1

0 2

x

x x

Trang 26

x tại x = 1 +) f(x) = sin(x+1) tại x = 0.

+) f(x) = 2x - 5 trên toàn trục số +) f(x) = ex-3 tại x = 3

+) f(x) = ln(5x+7) tại x = 2 +) f(x) = x2 −3x+2 tại x = - 3 +) f(x) =





>

≤ +

1 1

1 2

3

x

x x

4

3

2

x x

0

2

x x

tại điểm x = 0

+) f(x) =  >

≤ π

π

x

x x

0

x

x tgx

1 )

ln(

e x

e x e x

tại điểm x = e+1 Mức độ 2:

1)Ví dụ mẫu:

Ví dụ 1: Tìm các điểm gián đoạn của hàm số f(x) =

2

1 2

2 −

+

x

x Giải: tại x = 2 và x = - 2 hàm số không xác định nên nó không liên tục, hay là gián đoạn Tại những điểm x o ≠ ± 2 ta có: lim f(x)

o x

x→ = f(xo), nên f liên tục

Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) =

2 2

3 2 1

x

x x

2 (

2 4 lim

2 lim

Trang 27

VÝ dô 3: Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh: x3 + 1000x2 + 0,1 = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm ©m.

Gi¶i: §Æt P(x) = x3 + 1000x2 + 0,1 ta cã P(x) liªn tôc trªn toµn trôc sè, P(0) =0,1 > 0 , mÆt kh¸c = −∞

−

1 2

3

2 2

2

x

x x

+) T×m c¸c ®iÓm gi¸n ®o¹n cña hµm sè f(x) = 

1 3

x x

+) XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè: f(x) = x3 −3x+2 trªn toµn trôc sè

+) T×m c¸c kho¶ng vµ nöa kho¶ng mµ hµm sè sau liªn tôc: f(x) =

2 3

0 0

x x x

0 , 1

2

x khi x

x khi

x x khi x x

(A) Liªn tôc t¹i mäi ®iÓm trõ c¸c x thuéc ®o¹n [ ]0 ; 1

(B) Liªn tôc t¹i mäi ®iÓm thuéc tËp sè thùc R

Trang 28

(D) Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 1

+

0 1

1 3

0 , 1

2 4

x khi

x x

khi x x

x x

(A) Liên tục tại mọi điểm trừ các x thuộc đoạn [− 1 ; 0]

(B) Liên tục tại mọi điểm thuộc tập số thực R

(C) Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0

(D) Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = -1

0 cos

1

1 0

1

3 2

x khi x x

x khi x

x khi

x x

(A) Liên tục tại mọi điểm trừ các điểm x = 0 và x = 1

(B) Liên tục tại mọi điểm thuộc tập số thực R

(C) Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0

(D) Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 1

π π

k

+ với k

∈ Z Tại các điểm xo khác ta có lim f(x)

o x

x→ = f(xo), nên tại đó f liên tục

Trang 29

VÝ dô 2: XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè f(x) =

cos 1

) 0 ( 4

1

x x

−

→

1 2

1 ) sin (

) 2

2

sin (

) cos 1

(

1 lim

) cos 1

.(

sin

cos 1

0 2

x x

x

x x

−

2 , 1

2 , 1 2

3

2 2

2

x x x

x x

+) T×m c¸c ®iÓm gi¸n ®o¹n cña hµm sè f(x) = 

2

sin

x x x

≠

<

1

0 )

1 ln(

0 , 1

2

x khi x

x x khi x

x

(A) Liªn tôc t¹i mäi ®iÓm trõ c¸c x thuéc ®o¹n [ ]0 ; 1

(B) Liªn tôc t¹i mäi ®iÓm thuéc tËp sè thùc R

(C) Liªn tôc t¹i mäi ®iÓm trõ ®iÓm x = 0

(D) Liªn tôc t¹i mäi ®iÓm trõ ®iÓm x = 1

Trang 30

≤ +

) 2 ( 2

2 2 3

) 2 ( 4 1

3

x x

x

x ax

− +

) 0 ( 1 1

) 0 ( 2 4

x x

x a

) 3

( cos 2 1

) 3 sin(

) 3

( 6

π π

x x x

x tg

+) f(x) = 33x-6+ x−4 +) f(x) = ln(5x+7)

+) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh: x3-10000x2 - 0,1 = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm d¬ng

Trang 31

Ví dụ 3: Cho P(x) = x3 + x – 1 Chứng minh rằng phơng trình P(x) = 0 có ít nhất một nghiệm dơng bé hơn 1.

Giải: Ta có P(0) = -1 và P(1) = 1, nên P(0).P(1) < 0 Hơn nữa dễ thấy P(x) liên tục trên toàn trục số nên nó liên tục trên đoạn [ ]0 ; 1 Theo tính chất của hàm số liên tục trên đoạn, thì phải tồn tại c ∈ (0;1) sao cho P(c) = 0 Vậy c chính là nghiệm bé hơn 1 của phơng trình P(x) = 0

+) Chứng minh rằng phơng trình x4 - 3x2 + 5x – 6 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;2)

+) Tìm a sao cho hàm số sau liên tục trên R: f(x) =

2

1

2

x ax

x x

1 1

1 2

3

x

x x

4

3

2

x x

0

2

x x

π

x

x x

0 sin

0

x

x tgx

1 )

ln(

e x

e x e x

+) Cho f(x) liên tục trên đoạn [ ]a; b , cho αvàβ là hai số thực thoả mãn: α β> 0, chứng minh rằng tồn tại c∈[ ]a; b thoả mãn:

α f(a) +βf(b) = (α +β)f(c)

+) Cho 3 số dơng a, b, c và ba số thực khác nhau từng đôi α , β, γ .

Chứng minh rằng phơng trình:

γ β

c x

b x

a

= 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt

+) Chứng minh rằng phơng trình:

x4 + (m - 1)x3 + 2mx2 + x - 2m2 + 2m – 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm thực

Trang 32

+) Cho hµm f: [ ]0 ; 1 → [ ]0 ; 1 liªn tôc Chøng minh r»ng tån t¹i Ýt nhÊt mét ®iÓm c ∈[ ]0 ; 1 sao cho f(c) = c.

3 Hướng dẫn tự học: Theo đề cương chi tiết

Trang 33

CHƯƠNG 4 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

A Mục tiêu:

- Định nghĩa đạo hàm, các tính chất cơ bản

3 Tư duy, thái độ: Tư duy logic, khoa học, thái độ học tập, làm việc,

nghiên cứu để đạt hiệu quả cao

2 Phương tiện: Tập bài giảng, giáo trình, TLTK

[1] Nguyễn Mạnh Quý – Nguyễn Xuân Liêm Giáo trình phép tính vi phân

và tích phân của hàm số một biến số - Giáo trình Cao đẳng Sư phạm.

NXB Đại học Sư phạm 2004

Trang 34

C Phõn phối số tiết thực hiện:

Cho hàm f xác định trong khoảng (a;b), kí hiệu y = f(x) Với mỗi x∈

(a;b) ta cho một số gia ∆x Kí hiệu số gia của hàm số là:∆y = f(x+∆x) –f(x) Lập tỉ số:

x

x f x x f x

y

∆

−

∆+

limlim

f

−

∆+

=

→

∆

)()(

1.2 Một vài tớnh chất đơn giản

- Đạo hàm của hàm f tại x, f’(x) chính là hệ số góc của tiếp tuyến của

đờng cong y = f(x) tại điểm có toạ độ là (x;f(x))

1.3 Đạo hàm phớa

Trang 35

Định nghĩa đạo hàmphía:

Cho hàm f xác định trong khoảng (a;b), kí hiệu y = f(x) Với mỗi x∈

(a;b) ta cho một số gia ∆x Kí hiệu số gia của hàm số là:∆y = f(x+∆x) –f(x) Lập tỉ số:

x

x f x x f x

y

∆

−

∆+

lim lim

f

−

∆ +

y x

−

∆+

→

∆

)()(

f

−

∆+

2.2 Đạo hàm hàm số hợp

- Cho hàm y = f(u) trong đó u = g(x), nếu hàm u = g(x) có đạo hàm tại

x và hàm y = f(u) có đạo hàm tại u, thì hàm hợp f(g(x)) cũng có đạo hàm tại

x và có:

y’x = y’u.u’x

2.3 Đạo hàm hàm số ngược

Trang 36

- Nếu hàm số y = f(x) khả vi tại x, có đạo hàm y’x ≠0 và hàm f có hàm

3.2 Đạo hàm hàm lượng giỏc, lượng giỏc ngược

+) y = sinx ⇒ y’ = cosx +) y = cosx ⇒ y’ = - sinx

Cho hàm f xác định trong khoảng (a;b), kí hiệu y = f(x), x∈(a;b) ta cho

x một số gia ∆x Nếu khi đó số gia của hàm số có dạng: ∆y = f’(x).∆x + α

∆x trong đó α ∆x là vô cùng bé bậc cao hơn ∆x khi ∆x → 0 thì biểu thứcf’(x).∆x đợc gọi là vi phân của hàm f (hay là hàm y) tại điểm x, kí hiệu là df(hay dy)

Vậy: dy = f’(x).∆x

Nếu x là biến độc lập thì dx = ∆x do đó ta có dy = f’(x)dx

4.2 Vi phõn một số hàm số thường gặp

4.3 Cỏc quy tắc tớnh vi phõn

Trang 37

Yờu cầu SV tự hệ thống và trỡnh bày

5 Đạo hàm cấp cao

5.1 Đạo hàm cấp cao

Giả sử hàm f có đạo hàm f’(x) tại x Nếu hàm f’ có đạo hàm tại x,thì đạo hàm đó đợc gọi là đạo hàm cấp hai của hàm f tại x và kí hiệu làf’’(x) Cho x biến thiên ta có hàm f’’

Tơng tự ta có khái niệm đạo hàm cấp n của hàm f chính là đạo hàm của

đạo hàm cấp (n-1) của hàm f, kí hiệu f(n) = f(n-1)

Vi phân cấp cao:

Vi phân của vi phân cấp một của hàm f đợc gọi là vi phân cấp hai của hàm

f, kí hiệu là d2f Vậy d2f = d(df) = d(f’ dx) = f’’ (dx)2

Tơng tự ta có khái niệm vi phân cấp n của hàm f, đó là dnf = d(dn-1)

5.2 Cụng thức Lainit (Tham khảo tài liệu)

E Tổng kết chương, cõu hỏi ụn tập, hướng dẫn tự học

1)Ví dụ mẫu: Bằng định nghĩa tìm đạo hàm của hàm y = 3x tại điểm x = 1.

Giải: Cho x = 1 số gia ∆x và tìm số gia ∆y tơng ứng của hàm, ta có:

Định dạng
Số trang	74
Dung lượng	1,82 MB