ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI toán 12

Tính tọa độ đỉnh A biết diện tích ABCD bằng 10 và điểm A có hoành độ nhỏ hơn 2... Tìm tập hợp các điểm A, biết rằng điểm E thuộc đường thẳng BC... Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm c

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HÀ NỘI NĂM 2014

Câu 1: Cho hàm số y x 3 3x4 có đồ thị ©

a) Tìm các điểm M,N cùng nằm trên © sao cho I( 1; 2)

2

 là trung điểm của đoạn thẳng MN

b) Cho 3 điểm phân biệt A,B,C cùng thuộc © Các tiếp tuyến © tại A,B,C cắt © tại điểm thứ hai lần lượt tại A B C Chứng minh nếu A,B,C thẳng hang thì ,, ,, , A B C thẳng ,, ,, , hàng

Câu 2: a) Giải phương trình: 2 2

2x 2x 5 (4x1) x 3 b)Giải hệ pt:





 Câu 3: Cho các số thực a,b,c sao cho: 2 2 2

a b  c a b c  Tìm GTLN và GTNN của P 2ab 3bc 3ac 6

a b c

  Câu 4: Trong không gian cho ba tia Ox,Oy,Oz không đồng phẳng Đặt

      Lấy các điểm A,B,C lần lượt thuộc các tia Ox,Oy,Oz sao cho OA=OB=OC=a

a) Gọi M là điểm nằm trên BC sao cho BM=2MC và I là trung điểm của AM Tính độ dài của OI theo a trong trường hợp    60 ,0  900

b) Chứng minh: cos os os 3

2

     

Câu 5: Cho dãy số (un) thỏa mãn:

1

2 1

2

2013

( 1; 2;3 )

2014 2014

n

u

u











 a) Chứng minh : (un) là dãy số tăng

b) Với n 1 dặt

1 1

n n

n

u v

u



 Chứng minh : v1v2 v n 2014,n1

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĨNH PHÚC NĂM 2014 Câu 1 :(2 điểm) Giải phương trình : 3 sin 2x 3 1 2cos  2x

Câu 2 (2 điểm) Cho hàm số : y x 3 3mx2m4 (1)

a) Tìm m để đường thẳng yx m 4 cắt (1) tại ba điểm phân biệt

b) Tìm m để đồ thị (1) có hai điểm cực trị A,B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 2,trong đó C(0 ;-1)

Câu 3 (2 điểm): Cho hệ pt :

2







Câu 4 :(2điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm của BC

và H là trung điểm của AM Biết HB=HC=a,HBC300 ;góc giữa mp (SHC) và mặt phẳng (HBC) bằng 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.HBC và tính cossin của góc giữa BC và (SHC)

Câu 5 (1 điểm) Trong mp với hệ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A và

D;AB=2AD;CD=3AD Đường thẳng BD có pt: x-2y+1=0, đường thẳng AC đi qua điểm M(4;2) Tính tọa độ đỉnh A biết diện tích ABCD bằng 10 và điểm A có hoành độ nhỏ hơn 2 Câu 6(1 điểm) Cho các số thực a,b,c thỏa mãn 0 a b c   và a2b2c2 3

Tìm GTNN của P=3abc-2014a-b-c

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẢNG NAM NĂM 2014 Câu 1:a) Giải pt: 3x 2 x 1 2x2 x 3

b)Giải hệ pt:

3

8 8









Câu 2: a) Cho dãy số (un) xác định bởi : 1

1

2014 2013

2 n n 2 ,n

u









 Đặt

n

n

S

   Tính limS n

b)Tìm tất cả các hàm số f liên tục trên R thỏa mãn: (3f x y ) 3 ( ) f x  f y( ),x y R,  với  là số thực cho trước

Câu 3: a) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1 Gọi M là điểm bất kì nằm trong mp chứa

ABC

 Tìm GTNN của biểu thức: T MA h a MB h b MC h c

c) Cho ABC có hai đỉnh B,C cố định và đỉnh A thay đổi Gọi H và G lần lượt là trực tâm

và trọng tâm của ABC Gọi E là điểm đối xứng với H qua G Tìm tập hợp các điểm A, biết rằng điểm E thuộc đường thẳng BC

Câu 4: a) Tìm tất cả các số nguyên dương a,b sao cho a+2b=c và a38b3 c2

b)Cho đa thức f(x) có bậc n>1, có các hệ số đều là các số nguyên và thỏa mãn điều kiện

f(a+b)=ab, với a,b là hai số nguyên cho trước (a,b khác 0)

Chứng minh f(a) chia hết cho b và f(b) chia hết cho a

Câu 5: Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn abc=8

Chứng minh: *

k N

  ta có:

2

1

3 2

k

c



ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH NĂM 2014

Câu 1: Giải phương trình:

a) (sinx- 3 cos 2 )(2cos 22 1) sin 2 sinx

(2cos 1)

x x



 b) log 5 2 (x x1) log 9 4 5 (2x2 30x2) 0

Câu 2: Cho hàm số y x 4 2mx2m2 m Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có góc 300

Câu 3: a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình

2

m  x  x  x m  x m có nghiệm đúng   x [ 1;1]

b)Chứng minh rằng hệ pt sau có đúng một nghiệm







Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy lah hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm

trong mp vuông góc với (ABCD) Gọi H,M lần lượt là trung điểm của AB,AD và G là trọng tâm tam giác SCD Biết khoảng cách từ H đến (SMC) bằng 3 15

20

a

Tính thể tích khối chóp G.BCMH

Câu 5: Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn: x y 2 3(x 1 y 1)

    Tìm GTNN của

2 2 2

4 4

3

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI BẮC GIANG NĂM 2014

Câu 1: a) Cho (Cm) là đồ thị hàm số y x 4 (2m1)x22m Tìm m để (Cm) tiếp xúc với trục

Ox tại hai điểm phân biệt

c) Cho hàm số 2

1

x y x



 có đồ thị © Tìm tọa độ hai điểm M,N thuộc © sao cho OMN

vuông tại O

Câu 2 : a) Giải pt : sin( 4 ) sin 3 sinx 1



c) Giải pt :

2

1 3

3

4 x log ( 4 6) 2 x x log (2 2 2) 0

Câu 3 : a) Giải hệ pt : 2 2 22 2





 b)Tính tích phân : 4

0 cos 2 sin 2

dx I









Câu 4 : 1 Cho hình hộp ABCD A B C D có tất cả các mặt là hình thoi cạnh a, , , , ,

a) Tính thể tích hình hộp theo a

b) Tính cosin của góc tạo bởi ,

CA và mặt đáy của hình hộp.

2 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): 2 2 2

x y z  x y z  và mặt phẳng(P): x-2y+2z-4=0

a) Chứng minh (P) cắt (S) theo một đường tròn Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó b) Lập pt đường thẳng  đi qua tâm của (S), vuông góc với (d):

1

1 2 3

z

 





 



 



và tạo với (P) một góc 300

Câu 5: Cho 4 số thực a,b,c,d [ ; ]1 2

2 3

 Tìm GTLN của biểu thức:

16(a c) 25(c d)

T

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HÀ NAM NĂM 2014

Câu 1: a)Cho hàm số: y x 3x2 x2 có đồ thị © Đường thẳng (d) đi qua M(0;2) và có hệ

số góc k Tìm k để đường thẳng (d) cắt © tại 3 điểm phân biệt M,N,P và hai điểm N,P có hoành

độ lần lượt là x x thoả mãn: 1; 2

2 0

b)Cho hàm số 2 4

1

x y x





 có đồ thị (H) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (H).Tìm trên (H) điểm M sao cho khoảng cách từ I đến tiếp tuyến tại M của (H) có GTLN Câu 2: a) Tìm m để bất pt sau có nghiệm thuộc [ 1;1]

3 4 3 x  2 x 4x 4m

Câu 3: Tính 01( 13 5 4 )

( 1) (5 4)

x

x





Câu 4: 1 Cho tứ diện ABCD có AB=CD=c, AC=BD=b, AD=BC=a

a) Tính góc giữa AB và CD

b) Chứng minh trọng tâm của tứ diện ABCD cách đều tất cả các mặt của tứ diện

2 Cho hình chóp S.ABCD có SA=x,tất cả các cạnh còn lại bằng 1 Tính thể tích tứ diện khối chóp đó theo x và tìm x để V lớn nhất

Câu 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(2;0;0), M(1;1;1) Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM cắt Oy,Oz tại B(0;b;0) và C(0;0;c) với b>0;c>0

Chứng minh: b+c=bc/2

Câu 6: Cho hai đa thức f x( )x4 (1e x2) 2e2và g x( )x41

Chứng minh: Vói a,b dương,phân biệt thoả mãn: a b b a thì ( ) ( ) 0f a f b  và ( ) ( ) 0 g a g b 

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI PHÚ THỌ NĂM 2014

Câu 1: Cho các số thực a,b,c đôi một khác nhau:

Câu 2: Tìm tất cả các hàm liên tục f:R Rthoả mãn các điều kiện:

(52) 2014

( ) 2 (3 ) (9 ) 13 8 4

Câu 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp, AB và CD cắt nhau tại E, AC và BD cắt nhau tại E, AC và

BD cắt nhau tại O Gọi M,N là trung điểm AB và CD tương ứng Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN cắt CD tại N và Q, đường tròn ngoại tieps tam giác CDM cắt AB tại M và P Giả sử

A nằm giữa B và E Chứng minh: a) EA.EB.CD=2EC.EN.DQ

b)Các điểm O,P,Q thẳng hàng

Câu 4: Trên một đường tròn cho n điểm phân biệt(n 26) Hai điểm bất kì được nối với nhau bởi một đoạn thẳng Ký hiệu S là tập hợp gồm các điểm đã cho và các giao điểm của các đoạn thẳng nói trên Giả sử không có 3 đoạn thẳng nào đồng quy tại một điểm nằm bên trong đường tròn, hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm của S

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2015

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THANH HOÁ NĂM 2015 Câu 1: Cho hàm số 2

1

x y x





 có đồ thị © a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Cho A(0;a) Tìm a để từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến © sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía trục hoành

Câu 2: a) Giải pt: 3 sin 2 os2 5sin (2 3) cos 3 3 1

2cos 3

x



 b)Giải hệ pt: 20 6 17 5 3 6 23 5 0







Câu 3: a) Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn: ab+bc+ca=1

b)Tìm m để hệ pt:

1

m

m











có nghiệm thực

Câu 4: a)Từ các chữ số: 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau và trong hai chữ số kề nhau không cùng là số lẻ?

b)Trong mp với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có H(1;2) là hình chiếu vuông góc của

A lên BD Điểm M(9/2;3) là trung điểm cạnh BC phương trình đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ADH là 4x+y-4=0 Viết pt đường thẳng BC

Câu 5: a) Cho tứ diện SABC có SA=a;SB=b;SC=c và SA SB SA SC SB ,  , SC.Gọi R,V theo thứ tự là mặt cầu ngoại tiếp và thể tích của tứ diện SABC.Tính diện tích tam giác ABC theo a,b,c và chứng minh rằng 6972 2

2

V

b)Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai điểmA(1;2;-1),B(0;4;0) và mặt phẳng(P)

có pt 2x-y-2z+2015=0 Viết pt mp(Q) đi qua A,B và tạo với mp(P) một góc nhỏ nhất

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI BẮC NINH NĂM 2015

Câu 1: Cho hàm số f x( )x3 3(m1)x23 (m m2)x 2m (1) Tìm m để đồ thị(1) có các điểm cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại tới trục hoành bằng khoảng cách từ cực tiểu tới trục tung

Câu 2: a)Giải phương trình: sin 2 os2 3 2 sinx 22 1

(sinx cos )

x





b)Giải hệ pt:

2

2

18

1

y

y













Câu 3: a)Trong mp với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có góc A nhọn,I(4;2) là trung điểm

BC, điểm A nằm trên d: 2x-y-1=0 Dựng bên ngoài tam giác ABC các tam giác ABD,ACE vuông cân tại A Biết pt DE: x-3y+18=0 và BD= 2 5 điểm D có tung độ nhỏ hơn 7 Xác định toạ độ các đỉnh tam giác ABC

b)Trong Oxyz cho A(1;1;-1);B(1;1;2);C(-1;2-2) và mặt phẳng(P): x-2y+2z+1=0.Viết pt mặt phẳng ( )đi qua A vuông góc với (P)cắt BC tại I sao cho IB=2IC

Câu 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có AB=1,BC=2, , , , , AA,=3 Mặt phẳng (P)thay đổi

và luôn đi qua C ,mặt phẳng (P) cắt , AB AD, , AA, lần lượt tại E,F,G(khác A) Chứng minh:

AE AF  AG không đổi.Từ đó xác định vị trí của (P) để thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ

nhất

Câu 5:a)Tính tích phân:

1

( 1) ln 2015 1

2015 ln

dx





b)Tìm số nguyên dương lẻ n thoả mãn:



Câu 6: Cho a,b,x,y là các số thực thoả mãn:

0a4;0 b 4;a b 7;2  x 3 y Tìm GTNN của P=

2 2

2 2



ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĨNH PHÚC NĂM 2015

Câu 1 :a)Tìm m để hàm số 3 2

y x  mx  m x nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn 4

b)Chứng minh rằng với mọi a,đường thẳng d :y=x+a luôn cắt đồ thị hàm số 1

2 1

x y x

 



 (H) tại hai điểm phân biệt A,B Gọi k k lần lượt là hệ số góc tiếp tuyến tại A,B Tìm a để 1, 2 k1k2 dạt GTNN

Câu 2 : a)Giải pt : 2cos2 x2 3 sin x cosx 1 3(s inx+ 3 cos )x

b)Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số abc thoả mãn : a b c 

Câu 3 : Giải hệ pt :

2





 Câu 4 : Trong mp Oxy cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC là M(3 ;1), đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh B đi qua E(-1 ;-3) và đường thẳng chứa cạnh AC đi qua điểm F(1 ;3) Tìm toạ độ các đỉnh tam giác ABC, biết rằng điểm đối xứng của đỉnh A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là D(4 ;-2)

Câu 5 : Cho hình chóp S.ABCD thoả mãn SA 5,SB SC SD AB BC CD DA       3 Gọi M là trung điểm BC Tính thể tích khối chóp S.MCD và khoảng cách giũa SM,CD

Câu 6 : Cho các số thực : , ,a b c  thoả mãn 1 a b c  6 Chứng minh :

(a 2)(b 2)(c 2) 216

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NAM ĐỊNH NĂM 2015

Câu 1 : Cho hàm số y x 4 2m x2 22m2 m

a)Khi m=1 viết pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số tương ứng biết tiếp tuyến đi qua M(-1 ;0)

b) Xác định m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có chu vi bằng 2(1 2)

Câu 2 :a)Giải pt : a) cos 3cos 3(sinx 3sin ) 4

log log ( 4x  1 2 ) log log ( 4x  x  1 2 ) 0x 

c)Giải hệ pt:

2







Câu 3:a)Trong mp Oxy cho đường tròn (T): 2 2

2x 2y  2x2y1 0 và hai đường thảng:

1: 4 0; 2: 6 4 1 0

tròn( A,B là tiếp điểm) Viết pt đường thẳng AB biết d2 đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB

b)Trong Oxyz viết pt mặt cầu đi qua A(0;2;1);B(-2;0;1); biết tâm mặt cầu thuộc mặt phẳng (P): x+y-z-3=0 và có bán kính nhỏ nhất

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật,AB=a;BC=a 2;SA a 3 và SA vuông góc (ABCD) Gọi E,F lần lượt là trung điểm SD và AD

a)Chứng minh:AC( EF)B

b)Gọi (P) là mp qua B,E và vuông góc với (BEF).Tình theo a khoảng cách từ D đến (P)

Câu 5: a)Tính tích phân

2 2

3 1

1







b)Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5 lập ra tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau Chọn ngẫu nhiên hai trong các số được lập Tìm xác suất để trong hai số được chọn có ít nhất một số lớn hơn 2015

Câu 6 : Xét các số thực dương x,y thoả mãn 3x+2y=2xy Tìm GTNN của

2

8 2 21

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÁI BÌNH NĂM 2015

Câu 1: Cho hàm số

1

x y x



 có đồ thị ( C), M là điểm tuỳ ý trên (C) có hoành độ lớn hơn 1 Tiếp tuyến của ( C) tại M cắt hai đường tiệm cận tại A và B phân biệt Xác định toạ độ M để diện tích tam giác OAB nhỏ nhất

Câu 2: Cho hệ pt:

3 2





 a)Giải hệ pt khi m=4

b)Tìm m để hệ pt có nghiệm

Câu 3: Giải pt: 2cos( 2 ) (4 3) cos 3sin 2 3 1 0



Câu 4: Trong mp Oxy đường tròn (C ) có pt: 2 2

(x 2) (y 2) 4 Lập pt đường tròn ( C ) tâm I(4;4) cắt (C )tại hai điểm A,B sao cho , AB 2 2

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có

SA a SB a SC  a ASBSAC BSC Hai điểm M,N thoả mãn:

3SM               2SB SC,  2SN

a)Chứng minh: AMN vuông Tính d(C;(SAB))

b)Cho hai điểm E,F thay đổi lần lượt nằm trên hai đường thẳng AB và SC Tìm GTNN của EF

Câu 6: a) Cho dãy số (un) thoả mãn: 1 2

1; 3





 Tính limn S n

  với

1

1

n n

S

u





b)Cho số thực x thay đổi lớn hơn 0 Chứng minh:

1 2

2

x



Câu 7: Tìm số nghiệm nguyên dương của hệ:

1 2 3 2014

1 i 1007, 1; 2;3







ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐÀ NẴNG NĂM 2015

Câu 1: Cho hàm số 3 2

y x  x  mx có đồ thị (C ) m

a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m=0

b)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có cực trị sao cho khoảng cách từ trung điểm của đoạn thảng nối hai điểm cực trị của (C đến tiếp tuyến với ( ) m) C tại m

điểm có hoành độ bằng 1 là lớn nhất

Câu 2: a)Giải hệ pt:

2

3

x y x





 



2

1 log (4 4 1) 2 2 ( 2) log ( )

2

Câu 3:a)Tính tích phân: 2 4 2

1

3

x dx x



b)Tính giá trị của biểu thức: 3 5 7 2015

2015 2015 2015 2015

Câu 4:a)Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SD=3

4

a

,tất cả các cạnh của hình chóp bằng a Tính thể tích khối chóp

b)Trong Oxy cho hai đường thẳng d: x-y-4=0 và d,: x+y-6=0 cắt nhau tại I Tìm toạ độ các đỉnh hình chữ nhật ABCD, biết I là giao điểm hai đường chéo, diện tích hình chữ nhật đó bằng 16 và trung điểm của AB là giao điểm của d với trục Ox

c)Trong không gian Oxyz cho 3 điểm: A(3;-4;2), B(3;2;-3), C(1;0;2) Tìm toạ độ M thuộc mặt cầu có pt: 4x24y24z2 169sao cho biểu thức: MA22MB2 4MC2 đạt GTLN

Câu 5: Cho x,y,z là các số dương tm: 13xz+5yz+12=9z

P

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẢNG NINH NĂM 2015(BẢNG A)

Câu 1 : Cho hàm số y x 3 3x22 Tìm M thuộc d : 1 9

y x sao cho tổng khoảng cách

từ M tới hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) đạt GTNN

Câu 2 : Giải hệ pt :

2

2

log (2 ) log (2 2 )

4 5 (3 )(12 2014)





 Câu 3 : Cho tam giác ABC cân tại A,  A 2 ,BC=2( 0

0 45 ) Đường thẳng qua B và tâm

O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt cạnh AC tại M Tính độ dài BM và tìm  để diện tích tam giác ABM bằng 1

3 diện tích tam giác BMC Câu 4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành,ABC1200,tam giác SAD vuông tại S,tam giác ABD vuông tại D Hình chiếu vuông góc của S trên mp (ABCD) là điểm H thuộc AD sao cho HA=2HD Gọi M là trung điểm SA,N là trung điểm AD.Khoảng cách từ D tới mp(BMN) bằng 3

171

a

a)Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

b)Xác định tâm và diện tích mặt càu ngoại tiếp hình chóp S.ABD

Câu 5: Xác định hệ số của x trong khai triển 6 ( ) (1 4 3 3( 4) 2)

n