0 Tính thể tích khối chóp .S MCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM, BD.. Câu 5 4,5 điểm a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho hình thang cân ABCD với hai đáy AD, BC.. Viết phươn
Trang 1Câu 1 (4,5 điểm) Cho hàm số
2
3 2
x
x
y có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Chứng minh rằng đường thẳng d:y = -2x + m cắt (C) tại hai điểm A,B phân biệt với mọi số
thực m Gọi k k1, 2lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A và B
Tìm m để P k1 2016 k2 2016đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 2 (4,5 điểm)
a) Giải phương trình: cos (cos2x x 1) 2 1 sin x(sinx cos ) x
b) Giải hệ phương trình
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Tìm các giá trị của m để hệ bất phương sau có nghiệm duy nhất: 2x 1
1
x y
b) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x1, y1 và 3(x y ) 4 xy
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 2 2
Câu 4 (4,5 điểm)
a) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B ; AB BC a ; AD2a;
SA(ABCD) Góc giữa mặt phẳng (SCD và () ABCD bằng ) 45 , M là trung điểm AD 0
Tính thể tích khối chóp .S MCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM, BD.
b) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ
số khác nhau và bắt buộc có mặt ba chữ số 0, 1 và 2
Câu 5 (4,5 điểm)
a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho hình thang cân ABCD với hai đáy AD, BC Biết
B2;3 và AB BC , đường thẳng AC có phương trình x y 1 0 , điểm M 2; 1 nằm trên đường thẳng AD Viết phương trình đường thẳng CD
b)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A( 1;1; 2), (1; 2; 2) B ,M(0; 1;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) biết mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A và B , đồng thời khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) lớn nhất
-
Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GD& ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT HẬU LỘC I
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 5 câu 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
NĂM HỌC 2015-2016 Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Trang 2Câu Nội dung Điểm
1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 23
x
x
b) Chứng minh rằng đường thẳng d:y = -2x + m cắt (C) tại hai điểm A,B phân biệt
với mọi số thực m Gọi k k1, 2lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A và
B.Tìm m để P k1 2016 k2 2016đạt giá trị nhỏ nhất (2,0 điểm)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thi(C) và d:
(*) 0 2 3 ) 6 ( 2
2 2
2 3 2
2 m x m x
x m x x
Xét pt (*) , ta có : 0 , m R và x = -2 không là nghiệm của (*) nên d luôn
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,B với mọi m 0,5
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A, tại B lần lượt là :
2 2 2 2 1 1
) 2 (
1 ,
) 2 (
1
x
k x
k , trong đó x1 ,x2 là hai nghiệm của pt (*), ta thấy
0,5
P k k k k , do đó MinP 22017 đạt được
2 2
2 1 2 2
2 1 2
) 2 (
1 )
2 (
1
x x
k k
Do x1, x2 phân biệt nên ta có x1x2 x2 2 x1x2 4 m 2
Vậy m = - 2 là giá trị cần tìm
0,5
2
(2,5 điểm)
Pt 1 sin 2 x cosx 1 2 1 sin x sinx cosx
sin 1 0
1 sin cos 1 2 sin cos 1
x
1,0
2
1 sin cosx xsinxcosx 1 0 sinx1 cos x1 0
2
2
k x
¢
1,0
Vậy phương trình có các nghiệm là 2 ; 2
2
b) ) Giải hệ phương trình
(2,0 điểm)
SỞ GD& ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT HẬU LỘC I
HD CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2015-2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút Hướng dẫn chấm gồm 6 trang
Trang 3I
x
y
1 1
x+y=1
Vì y2 1 y 0, y (1)
0,5
Xét hàm số f t( ) t t21 trên tập , ta có
2
1
t t
( )
f t
là hàm số đb trên
Từ (1’) f x( )f( y) x y,
0,5
thế vào (2) ta được:x 2x26x 1 4x26x1
x 2x26x 1 4x26x 1 (2x26x1) x 2x26x 1 6x2 0
2
2
0,75
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: ( ; ) (1; 1);(3 11; 3 11)
a) Tìm các giá trị của m để hệ bất phương sau có nghiệm duy nhất:
1
x y
( 1,0 điểm)
1
x y
1 1
x y
x y
1
x y
0,25
Trang 4
3
Nếu m 1 Hệ vô nghiệm
Nếu m 1, giả sử ( ; )x y o 0 là một nghiệm của hệ
0 0 ( ; )
M x y
thuộc hình tròn tâm I(1;1) , bán kính R m1 (Kể cả biên)
và thuộc nửa mặt phẳng bờ là đt d : x y 1 (Kể cả đường biên) là miền biểu diễn nghiệm của (2) chứa gốc tọa độ
0,25
Do đó để hệ có nghiệm duy nhất thì đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn
1
2
Vậy: 1
2
m
0,5
b) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x1, y1 và 3(x y ) 4 xy
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3
2 2
( 1,0 điểm)
Đặt xya Khi đó , 0
4
3
a a xy
Suy ra x, y là nghiệm của phương trình 0
4
3
2 a
at t
(1) Phương trình (1) có nghiệm a2 3a 0 a 3
Vì x, y 1 nên (x 1 )(y 1 ) 0 Hay là xy (xy) 1 0 1 0 4
4
3
Vậy ta có 3 a 4
0,25
Mặt khác, từ giả thiết ta lại có .
3
4 1 1
y x
Suy ra P (x y) 3xy(x y) 3 1x 1y xy6
2 3
3
16 8 4
9 2
3
a a
3
16 8 4
9 )
( 3 2 a
a a a a f
2
3 ( 3
8 2
9 3 ) (
a a
a a a a a f
a 3 4 )
(
' a
)
(a f
P
3 94
12 113
0,25
Dựa vào BBT ta suy ra minP11312 , đạt khi ;
2
3
3
a
3
94 maxP , đạt khi
1 , 3
3 ,
1 4
y x
y x
0,25
a) S ABCD đáy là hình thang vuông tại A và B ; AB BC a ; AD2a;
SA ABCD Góc giữa (SCD và () ABCD bằng ) 45 M là trung điểm AD 0
Tính thể tích S MCD , ( d SM BD (2,0 điểm), )
Vì SA(ABCD) SA là đường cao của hình chóp và SA CD
Trang 5
4
Mặt khác AC CD a 2,AD2a ACD vuông cân tại C CDAC
((SCD),(ABCD)) SCA 45
0,5
2
MCD
SA AC a S a , . 1 .
3
2
S MCD
3 2 6
Gọi N là trung điểm AB BD SMN//( )
Suy ra: (d SM BD, )d BD SMN( ,( ))d D SMN( ,( ))d A SMN( ,( )) Kẻ
0,5
Tam giác vuông SAP có 1 2 12 12
AH AS AP
2
4
a
11
a
11
a
0,5
b)Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có
6 chữ số khác nhau và bắt buộc có mặt ba chữ số 0, 1 và 2 (2,5 điểm)
Số các số 6 chữ số khác nhau và bắt buộc có mặt ba chữ số 0, 1 và 2 .(Kể cả chữ số 0 đứng đầu)
+ Số cách sắp xếp 3 chữ số 0, 1, 2 vào 6 vị trí là 3
6
A (cách) + Số cách sắp xếp 3 trong 7 chữ số còn lại vào 3 vị trí là 3
7
A (cách)
Ta có 3
6
A 3
7 25200
A (số)
1,0
Số các số 6 chữ số khác nhau và bắt buộc có mặt ba chữ số 0, 1 và 2 mà chữ số 0 đứng đầu: 2 3
5 7
Vậy Số các số 6 chữ số khác nhau và bắt buộc có mặt ba chữ số 0, 1 và 2
A
D
S
M N
P H
Trang 6H M
B A
H
B' A
B
D C
M
5
a)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho hình thang cân ABCD với hai đáy AD,
BC Biết B2;3 và AB BC , đường thẳng AC có phương trình x y 1 0 , điểm
2; 1
M nằm trên đường thẳng AD Viết phương trình đường thẳng CD (2,0
điểm)
Vì ABCD là hình thang cân nên nội tiếp trong một đường tròn Mà BC CD nên AC là đường phân giác của góc BAD
0,5
Gọi B' là điểm đối xứng của B qua AC Khi đó B' AD
Gọi H là hình chiếu của B trên AC Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương
trình:x y x y 1 05 0 x y32
Suy ra H3;2
Vì B’ đối xứng với B qua AC nên H là trung điểm của BB’ Do đó B' 4;1
0,5
Đường thẳng AD đi qua M và nhận MB '
làm vectơ chỉ phương nên có phương trình
3 1 0
x y Vì A AC AD nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương
trình:
Do đó, A1;0
Ta có ABCB’ là hình bình hành nên AB B C '
Do đó, C5; 4
0,5
Gọi d là đường trung trực của BC, suy ra d: 3x y 14 0
Gọi I d AD, suy ra I là trung điểm của AD Tọa độ điểm I là nghiệm của
hệ:3x x y 3y 14 01 0
Suy ra, 43 11;
10 10
I
Do đó, 38 11;
5 5
D
Vậy, đường thẳng CD đi qua C và nhận CD làm vectơ chỉ phương nên có
phương trình 9x13y 97 0
0,5
b)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A( 1;1; 2), (1; 2; 2) B ,M(0; 1;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) biết mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A và B , đồng
thời khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) lớn nhất (2,5 điểm)
Trang 7Gọi K, H lần lượt là hình chiếu của M trên đường thẳng AB và mp(P) K
cố định d M P( ,( ))MH MK
Dấu “ = ” xảy ra khi H K, khi đó ( ) (P MAB)
1,0
Gọi nP, n1 là véc tơ pháp tuyến của (P) và (MAB)
P
Chọn n P n AB1,
(2;1; 4)
; MA ( 1; 2; 1); MB(1;3; 5) n1(7;7;5)
1, (33; 38;7)
P
n n AB
Lưu ý: Mọi cách giải khác nếu đúng thì cho điểm tối đa tương ứng với ý đó
………… Hết……….