Chứng minh rằng A’,B’,C’ thẳng hàng.. Từ mỗi khối chọn ngẫu nhiên một học sinh.. Tính xác suất sao cho có ít nhất một trong hai học sinh bị trượt ít nhất một môn.. Trong không gian với h
Trang 1TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC
——————
TỔ TOÁN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
NĂM HỌC 2016-2017
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
————————————
Câu 1(2.0 điểm): Cho hàm số 3 3 2 2
y có đồ thị (C) và ba điểm A,B,C thẳng hàng thuộc (C) Gọi A’,B’,C’ là giao điểm của (C) với tiếp tuyến của (C) tại A,B,C Chứng minh rằng A’,B’,C’ thẳng hàng
Câu 2(4.0 điểm): Giải phương trình sau: a) 4 cos 2 2x 2 cos 2x 6 4 3 sinx
b) 3 3 64 2 2 10 24
x
Câu 3(2.0 điểm): Giải hệ phương trình sau:
3
0 6 3 2
2 3
xy x
y x x y y
Câu 4(2.0 điểm): Trong kì kiểm tra chất lượng ở hai khối lớp , mỗi khối có 25% học sinh
trượt toán, 15% học sinh trượt lí và 10% trượt cả toán lẫn lí Từ mỗi khối chọn ngẫu nhiên một học sinh Tính xác suất sao cho có ít nhất một trong hai học sinh bị trượt ít nhất một môn
Câu 5(2.0 điểm): Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
1 2
2 2
2
y xy x
m xy x
Câu 6(2.0 điểm): Cho ba số thực dương x,y,z sao cho xyyzzx 1 Chứng minh rằng:
2
3 1
1
1 zx
zx yz
yz xy xy
Câu 7(2.0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có M
)
3
;
2
( là trung điểm BC; N là điểm thuộc cạnh CD sao cho DN=2CN Biết phương trình
AN là: 3x 2y 8 0, tìm tọa độ điểm A
Câu 8(2.0 điểm): Hình chóp tứ giác đều SABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng
SBC bằng 2 Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của chóp thì thể tích của chóp nhỏ nhất?
Câu 9 (2.0 điểm): 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường
thẳng () lần lượt có phương trình:
1 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.
2 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng () và tạo với mặt phẳng (P) một góc
nhỏ nhất
-
Hết -(Thí sinh không được sử dụng máy tính, giám thị không giải thích gì thêm!)
TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC
——————
TỔ TOÁN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
NĂM HỌC 2016-2017 ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Trang 2Đáp án gồm 4 trang
Câu 1
(2.0
điểm):
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A x y có dạng A; A y 3x A26x A x x Ay A
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và tiếp tuyến có dạng:
3x A 6x A x x A y A x 3x 2 x x A x 2x A 3 0
Như vậy: Tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm A x y và A; A
' 3 2 ;8 xA A 24 A 18 A 2
A x x x
Tiếp tuyến của (C) tại B cắt (C) tại hai điểm B x y và B; B
B' 3 2 ;8 x x B B 24x B18x B 2
Tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm C x y và C; C
C' 3 2 ;8 x x C C 24x C18x C 2
Để A,B,C thuộc đồ thị (C) thẳng hàng khi và chỉ khi: x Ax B x C 3
Khi đó ta có A’,B’,C’ thuộc đồ thị (C) và:
x x x x x x x x x
Nên 3 điểm A’,B’,C’ thẳng hàng
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu
2a
(2.0
điểm):
2
2
4cos 2 2cos 2 6 4 3 sin
16sin 20sin 4 3 sin 12 0
2sin 3 sin 3 sin 1 0
2 3
2
; 2
0,5 0,5 1,0
Câu
2b
(2.0
điểm):
Điều kiện: x 4
4 4 16 4 4 16 24
10 2 64
Đặt a x 4a 0,b x2 4x 16b 2 3 2x2 10x 24 2b2 2a2
Được:
2
2 0
2 3 2
b a
loai b a b
ab
8
0 16
4 4
2 2
2
x
x x
x x
b
0,5 0,5 0,5
0,5
Câu 3
(2.0
điểm):
Giải hệ phương trình sau:
3
0 6 3 2
2 3
xy x
y x x y y
Đặt x=ky được:
3 3 6 1
2 2
2
y k k
k y
k
Với k=-1 hệ vô nghiệm
* 3 1 3 6 1 3 6 1
2 2
k k k k k k y
k
Ta có:
2
6 1
0 1 2
1
k k
l k
Vậy nghiệm là:
2
6
; 2
6
; 2
6
; 2 6
0,5
0,5 0,5
Trang 3Câu 4
(2.0
điểm):
Cách 1: Xác suất để học sinh không bị trượt môn nào là: 100-25-15-10=50%
Vậy xác suất để chọn được 2 học sinh ở hai khối không trượt môn nào là:
4
1 100
50 100
50
Xác suất để có ít nhất một trong hai học sinh bị trượt ít nhất 1 môn là:
4
3 4
1
p
Cách 2:
Gọi A1 ;A2 ,A3 lần lượt là các biến cố học sinh được chọn từ khối I bị trượt toán, lí và
cả toán lẫn lí.Nhận thấy: A1 ;A2 , A3 đôi một xung khắc
Gọi B1 ;B2 ,B3 lần lượt là các biến cố học sinh được chọn từ khối II bị trượt toán, lí và
cả toán lẫn lí Nhận thấy B1 ;B2 ,B3 đôi một xung khắc
Mặt khác: Rõ ràng i; j thì A ; i B j độc lập Khi đó:
Đặt AA1A2A3 Alà là biến cố học sinh được chọn từ khối I trượt ít nhất một
2
1
3 2
P A P A P A P A (Do A1 ;A2 ,A3 xung khắc)
Đặt BB1B2B3 Blà là biến cố học sinh được chọn từ khối II trượt ít nhất một
2
1
3 2
P B P B P B P B (Do B1 ;B2 ,B3 xung khắc)
Ta cóA là biến cố có ít nhất một trong hai học sinh được chọn từ mỗi khối trượt ít B
nhất 1 môn Theo công thức xác suất ta có:
4
3 2
1 2
1 2
1 2
1 )
(AB P A P B P AB P A P B P A P B
P
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 5
(2.0
điểm):
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
1 2
2 2
2
y xy x
m xy x
Đặt y=kx được hệ
2
2
* 1
m
k k
Để hệ có nghiệm thì (*) phải có nghiệm
Xét hàm:
2 2
1
1 2 2 ' 1
1 2
k k
k k y k
k
k
Cho y’=0
2
3 1 0
1 2
Ta có bảng biến thiên:
x
-
2
3
1
2
3
1
+
y’ 0 + 0
-Y
0
3
3 2
0
3
3 2
Qua BBT ta thấy: giá trị m cần tìm là:
3
3 2
; 3
3 2
m
0,5
0,5
0,5
Trang 4Câu 6
(2.0
điểm):
Do ba số thực dương x,y,z thỏa mãn: xyyzzx 1 nên ta có: 0 xy,yz,zx 1
Và: ( 1 xy) ( 1 yz) ( 1 xz) 2; 1 xy 0 ; 1 yz 0 ; 1 xz 0
1 1
1 1
2
3 1
1
1 zx
zx yz
yz xy
xy zx
zx yz
yz xy xy
* 2
9 1
1 1
1 1
1
zx yz
xy
zx yz
xy
VT
1
1 1
1 1
1 2
2 *
zx yz
xy zx
yz xy
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 9
1 3
1 1
1
zx yz
xy zx
yz xy
2
9 9
2VT* VT* Do (*) đúng nên bất đẳng thức đề cho đúng
Dấu bằng xảy ra
3
1
x y z
Câu 7
(2.0
điểm):
Gọi cạnh của hình vuông là a Ta có:
2
5 4
5 4
2 2 2
AM a
a a
6
13 36
13 9 4
2 2
2
3
13 9
13 9
2
Do đó:
65 7
2
5 3
13 2
36
13 4
5 9 13
2
ˆ cos
2 2
2 2
2 2
a a
a a
a AM
AN
MN AM
AN M A N
65
4 ˆ
N A M
Ta có: S AMN AN AM N A M dM;AN.AN
2
1 ˆ
sin 2
1
M AN AM N A M
d ; sin ˆ
4 2
5 2
3
8 3 2 2 3
2
2
5 2
2
3
; 0
8 2 3
d
13 28
0 0
7 4
13 5 1 2
3 2
2 2
2 2
t
t t
t t
t AM
Với t 0 A0 ; 4;
13
10
; 13
28 13
28
A t
Trang 5Câu 8
(2.0
điểm)
Gọi M, N là trung điểm BC, AD, gọi H là hình chiếu
vuông góc từ N xuống SM Ta có:
2
2
2 SABCD
SMN , d A; SBC d N; SBC NH 2
SI MI.tan
sin cos
V
3 sin cos 3.sin cos
sin sin 2cos
1 sin cos
3
V min sin cos max
s
3
Câu 9
(2.0
điểm):
1/ Đường thẳng () có phương trình tham số là: 1 2 ;
2
Gọi tâm mặt cầu là I Giả sử I(t; 1 + 2t; 2+ t)()
0.25
Vì tâm mặt cầu cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 nên:
2 3 7 3
t
t
0.25
Vì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính bằng 4 nên mặt cầu có bán
kính là R = 5.
0.25
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
0.25
2/ Đường thẳng () có VTCP u ( 1;2;1); PTTQ: 2 1 0
2 0
x y
x z
Mặt phẳng (P) có VTPT n (2; 1; 2)
0.25
Góc giữa đường thẳng () và mặt phẳng (P) là: | 2 2 2 | 6
sin
3
3 6
Góc giữa mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (Q) cần tìm là cos 1 6 3
0.25
Giả sử (Q) đi qua () có dạng: m(2x + y + 1) + n(x + z 2) = 0 (m2+ n2 > 0)
(2m + n)x + my + nz + m 2n = 0
Vậy góc giữa (P) và (Q) là: cos 2| 3 |2 3
3
m
0.25
N
M I
D
C S
H
Trang 6 m2 + 2mn + n2 = 0 (m + n)2 = 0 m = n.
Chọn m = 1, n = 1, ta có: mặt phẳng (Q) là: x + y z + 3 = 0 0.25
Chú ý: hs có thể giải cách khác như sau
Góc giữa đường thẳng () và mặt phẳng (P) là: | 2 2 2 | 6
sin
3
3 6
Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) cần tìm là 6 3
Vì (Q) qua chứa () nên (Q) đi qua điểm M0; 1; 2 Gọi véc tơ pháp tuyến của (Q)
là n( , , )a b c ta có:
2 2 2 2
| 2 a b 2 c | 3
3 3.
a( 1) 2 b c 0
1
1
a
c
0,5
0,5 0,5
0,5