Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 2.. Trong đợt tặng sỏch ủng hộ học sinh ở tỉnh A của đoàn trường THPT Tĩnh Gia 1.. Một học sinh cú 12 cuốn sỏch đụi một khỏc nhau trong đú,4 cuốn s
Trang 1Trờng THPT Tĩnh Gia 1
Tổ toán
Đề thi chọn Đội tuyển Hsg lớp 12
Năm học: 2016- 2017
Môn: Toán
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
-Bài 1: (4 điểm) Cho hàm số: y = x3 (m1)x2 x 2m1 C
1)Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2)Tỡm m (m R )để đường thẳng (d) y = x + m +1 cắt (C) tại ba điểm phõn biệt A, B, C sao cho tổng hệ số gúc của cỏc tiếp tuyến với đồ thị ( C) tại A, B, C bằng 12.
Bài 2: (4 điểm)
1 Giải phơng trình: 2 sin(2 ) 3sin cos 2
4
2 Giải phơng trình:
2 2
Bài 3: (4 điểm)
1 Cho ba số thực dương x y z, , thừa món 2 3 2 2 9
x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
P
2 Tìm m để hệ bất phơng trình sau có nghiệm: 2
4
1 log ( ) log ( 1)
x x
Bài 4: (4 điểm)
1 Trong đợt tặng sỏch ủng hộ học sinh ở tỉnh A của đoàn trường THPT Tĩnh Gia 1 Một học sinh cú 12 cuốn sỏch đụi một khỏc nhau trong đú,4 cuốn sỏch Toỏn, 5 cuốn sỏch Văn, và 3 cuốn sỏch Lý Bạn đú lấy ra 6 cuốn sỏch trao tặng cho 6 học sinh mỗi học sinh một cuốn Hỏi
cú bao nhiờu cỏch tặng sỏch sao cho khi tặng xong mỗi loại sỏch Toỏn, Văn, Lý cũn lại ớt nhất một cuốn.
2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cõn tại A(2;-4), H là trung điểm của BC.
Gọi E là hỡnh chiếu vuụng gúc của H trờn AC, ( ; )1 1
2 2
I là trung điểm của HE Điểm B thuộc đường thẳng (d): x – 2y - 4 = 0 Đường thẳng BE qua điểm N(5;1).Tỡm tọa độ B,C.
Bài 5: (4 điểm)
1) Cho hỡnh lăng trụ ABCA’B’C’ cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại C, gúc ABC bằng 600 Điểm A’ cỏch đều cỏc đỉnh A, B, C Gúc giữa hai mặt phẳng (ACC’A’) và (A’B’C’) bằng
300 Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng CC’ và A’B bằng a Tớnh thể tớch khối chúp B’ABC 2) Trong khụng gian hệ trục Oxyz cho mặt phẳng (P) cú phương trỡnh 2x + y + z -1= 0 và ba điểm A(2 ; 2 ; l), B(-1 ; 4 ; 3) ; C(2; 3; -1) Tỡm tọa độ điểm M trờn mặt phẳng (P) sao cho
MA2 + MB2 + MC2 nhỏ nhất.
Hết
-Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:………
Chú ý: Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm
Đáp án
Trang 21 m=1; y=x3-2x2+x+5
TXĐ: D=R limx y y’=3x2-4x+1; y’=0
1 1 3
x x
Û
x 1 /3 1
y’ + 0 - 0 +
y
5 2
27
5
HS đồng biến trên các khoảng ( ;1 /3) và (1;); NB trên (1/3;1)
HS đạt cực đại tai x=1/3 cực tiểu tại x
10
8
6
4
2
-2
f x = x 3 -2x 2 +x+5
2 hoành độ giao điểm là nghiệm của pt: x3-(m+1)x2+x+2m+1=x+m+1
2
2
x=1 x-1)(x -mx-m)=0
x -mx-m=0
Điều kiên để có 3 nghiệm phân biệt:
4
1/ 2
m
m m
m
Û
Gọi 3 nghiệm lần lượt là 1, x1 x2 ta có : x1+x2=m ; x1x2=-m
Mặt khác f’(x)=3x2-2(m+1)x+1
Tổng hệ số góc tiếp tuyến tại 1, x1 x2 là
f’(1)+f’(x1)+f’(x2)=12Û m2+2m-8=0Û m=2
0,5 0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
1
.2.1 1)
2
sin 2 cos 2 3sin osx+2
2sinxcosx+1-2sin 3sin osx+2
2
2 6
5
2 2
6
1
1 2.2 Điều kiện: x1(*)
x
2
3
Xet hàm f(t)=t3+t đồng biên trên R
0,5 0,5 1
Trang 3Suy ra:
2
2
2
x
x
Kết hợp (*): Nghiệm của PT là: 3 29; 2
2
0,5
3.1
2
4
3 4 5 (1)
1 log ( ) log ( 1) (2)
x x
Giải (1): (1) ( 5) 4( )1 1;
Ta có hàm f(t)= ( 5) 4( )1
x x là hàm nghịch biến suy ra nghiệm của (1) là: x2
Giải (2): (2) 2m x 42x1
Vậy hệ có nghiệm khi: 2m[2;Min x)( 42x1)
Xét hàm y = x4+2x+1 trên [2;+ ) tìm được
21 21
2
0,5 0,5 0,5 0,5
3.2
2
Mặt khác:
2
1
4
Từ giả thiết:
Xét hàm
2
2
144
4 16 144
8 ( 4)
t
t t
t
Lập bảng biến thiên hàm số f(t) trên (0;8] ta tìm được minP = 16 khi(x;y;z)=(2;2;1)
0,5
0,5
0,5
0,5
4.1
Gọi A là tập hợp tất cả các cách tặng sách không thõa mãn yêu cầu.( tức là sau khi tặng sách
còn lại không đủ 3 loại)
A gồm các trường hợp: - Sách tặng gồm 5 sách Văn và 1 sách khác
-Sách tặng gồm 4 sách Toán và 2 sách khác
- Sách tặng gồm 3 sách Lí và 3 sách khác
76! 86! 96! 85680
Số cách tặng sách cho 6 học sinh là: C1266! 665280
Số cách tặng sách thõa mãn yêu cầu là: 665280 85680 579600
0,5 0,5 0,5 0,5
Trang 4+Chứng minh AI vuụng gúc BE
Gọi K là trung điểm của EC => KI//HC
=>KI vuụng gúc AH => I là trục tõm của
Tam giỏc AHK =>AI vuụng gúc BE( BE//HK)
+) PT đường thẳng AI: 3x+y – 2 =0
PT đường thẳng BE qua N(5;1): x-3y-2 =0
=>Tọa độ B(8;2)
+ Gọi C(x;y) ta cú hệ
( 4; 2) 2
( 2)( 7) ( 1)( 4) 0
C
0,5 0,5 0,5
0,5
5.1
1) Vỡ tam giỏc ABC vuụng tại C và A' cỏch
đều A, B, C nờn chõn đường cao hạ từ A'
của hỡnh chúp A'.ABC trựng với trung điểm
Gọi I là trung điểm của HB
Vỡ ABC 600 nờn tam giỏc HBC đều Do đú CI AB, suy raCI ABB A ' '
VỡCC'//ABB A' 'nờn d CC A B ', ' d CC ABB A ', ( ' ') d C ABB A ,( ' ') CI
Từ đú suy ra CI a Ta cú 0 2
sin 60 3
Suy ra
2
ABC
Gọi K là trung điểm của AC, khi đú HK//BC nờn HK AC Từ đú suy ra ACA HK' , suy ra gúc giữa (ACC'A') và (ABC) là gúc 'A KH
Vậy A KH ' 450 Ta cú: A’H = HK tan30 = a/3.
Suy ra thể tớch khối chúp B'.ABC là:
' '.
B ABC A ABC ABC
5.2
Trọng tõm của tam giỏc ABC là G(1 ; 3 ;1)
Ta cú:
min min
MG nhỏ nhất M trựng với H Là hỡnh chiếu vuụng gúc của G lờn (P)
Từ đú tớnh được H( 2 13 1; ; )
3 6 6
0,5 0,5 0,5 0,5
- Thí sinh làm cách khác, đúng thì vẫn cho điểm tối đa
C K
'
'
C
0
60
0 30
C K
'
'
C
0
60
0 30
H
K I
E
C B
A