Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số.. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, có M3; -1 là trung điểm cạnh BC.. Đường thẳng chứa cạnh AC đi qua F1; 3.. Tìm tọa độ các đỉnh của tam gi
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH II
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Câu I.(4 điểm) Cho hàm số
3 1
x y x
1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2 Tìm điểmM thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng 1: 2x y 4 0 và
2:x2y 2 0 là nhỏ nhất.
Câu II.(4 điểm)
1 Giải phương trình sin(2 17 ) 16 2 3.sin cos 20sin (2 )
x
x x x
2 Giải hệ phương trình:
2 1 2 1 2 1 (1)
Câu III.(4 điểm)
1 Cho , ,a b c là các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ( 3 )
2
P
a b c
=
+ + +
2 Giải bất phương trình: 1 x4 x2 x 1
Câu IV.(4 điểm)
1. Khai triển đa thức: 20 2 20
(1 3 ) x a a x a x a x Tính tổng: Sa0 2a1 3a2 21 a20
2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, có M(3; -1) là trung điểm cạnh BC Đường thẳng chứa
đường cao đỉnh B đi qua E(-1; -3) Đường thẳng chứa cạnh AC đi qua F(1; 3) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có đường kính AD với D(4; -2).
Câu V.(4 điểm)
1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB a 3, AD a . Biết rằng
SO ABCD góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) bằng 60 0 Tính theo a thể tích khối chóp
S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC, SB
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1; 4; -1); B(2; -2; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua
A, B và cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm tại các điểm M, N, P sao cho hình chóp OMNP có độ dài đường cao hạ từ đỉnh O bằng 3.
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu, máy tính cầm tay.
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH II
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)
ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN HSG 2016 - 2017
I.1
(2 điểm) * TXĐ: D R \ 1
* Sự biến thiên
+) Tiệm cận
Đường thẳng có phương trình y là tiệm cận ngang.1
0.5
+) Bảng biến thiên:
4
1
x
nên hàm số nghịch biến trên tập xác định
0,5
* Đồ thị
Vẽ đúng đồ thị Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận điểm I1;1làm tâm đối xứng 0.5
I.2
(2 điểm) Giả sử
0 0 0
3
1
x
x
Khi đó, khoảng cách từ M đến
1: 2x y 4 0 là
0
x
khoảng cách từ M đến 2:x2y 2 0 là
0
x
0.5
Suy ra tổng khoảng cách là
(1)
0.5
Trang 3
Dấu đẳng thức xảy ra ở (2)
0
0
3
1
x x
x
0.5
Khi đó (1) xảy ra dấu đẳng thức nên min 12
5
d khi và chỉ khi x0 3,x0 1
Vậy M(3; 3) và M(-1; -1) là các điểm cần tìm
0.5 II.1
(2 điểm)
*Biến đổi phương trình đã cho tương đương với
os2 3 sin 2 10 os( ) 6 0
6
c x x c x
0.5
os(2 ) 5 os( ) 3 0
c x c x
2 os (2 ) 5 os( ) 2 0
c x c x
0.5
6
c x (loại)
0.5
2
6
x k
0.5 II.2
(2 điểm) Điều kiện: 2
3
x
Dễ thấy x = 0 không thỏa mãn hệ
2
2
0.5
2 2
1
Suy ra hàm số f y f ; 1
x
đơn điệu tăng nên f y f 1 y 1
Thay vào (2) ta được:
x
2
0.5
Trang 42 7 7
nên hàm số g(x) đơn điệu tăng trên hai nửa khoảng này vì vậy
có không quá 1 nghiệm thuộc mỗi khoảng này
Mặt khác có 1 0; 6 0; 1 2 7; ; 6 7;
Vậy nghiệm của hệ là:
; 1;1 ; 6; 1
6
x y
0.5 III.1
(2 điểm) Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
3
abc a b c
0.5
Suy ra
3
3
a b c
0.5
Suy ra
28
a b c P
a b c
+ +
+ +
0.5
Dấu đẳng thức xảy ra khi
4
3
a b c
ìï = ïï
íï
ï + + = ïïî
0.5 III.2
(2 điểm)
Bất phương trình đã cho
1 0
1 0
x
x x x
(1)
(2)
0.5
1 0
x
x x
1 1
x x
1
0.5
Trang 5(2) 4 2 2 2
1
1 0
2
x x
x x
0.5
1
5 4
x x x
1 x 2
Vậy bất phương trình có tập nghiệm 1 5; 1 1; 2
2
S
IV.1
(2 điểm) + Ta có: 20 2 20
(1 3 )x 60 (1 3 )x x a 2a x 3a x 21a x
0.5
a x a x do đó thay x vào cả hai vế của (*) ta có:1 0.5
22
IV.2
(2 điểm)
M(3;-1) H
D(4;-2) B
A
C
E(-1;-3)
F(1;3)
Gọi H là trực tâm tam giác ABC thì tứ giác
BHCD là hình bình hành M là trung điểm
BC nên M cũng là trung điểm DH, suy ra
Đường thẳng chứa cạnh AC qua F(1;3) vuông góc với HE,
nên phương trình AC: x + y – 4 = 0 Đường thẳng chứa cạnh DC qua D(4; -2) vuông góc với AC,
C là giao điểm của AC và DC nên C(5; -1) M
là trung điểm BC nên B(1; -1)
0.5
Đường thẳng chứa cạnh AB qua B(1; -1) vuông góc với CH,
nên phương trình AB: 3x - y – 4 = 0
A là giao điểm của AC và AB nên A(2;2).
0.5 V.1
(2 điểm) Gọi I là trung điểm của AD Ta có
2
a
0.5
.
S ABCD
0.5
Kẻ Bx/ /AC Khi đó mặt phẳng chứa SB 0.5
Trang 6x
H K
I O
D
C B
A
OK Bx tại K, OH SK tại H
Vì SO (ABCD) nênSO Bx, mà
Bx OK nên Bx (SOK) Suy ra
,
Bx OH mà OH SK nên
OH SBx Từ đó suy ra
Kẻ đường cao BJ của tam giác ABC Khi đó
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
OKS ta có
3 4
a OH
4
a
d AC SB
0.5 V.2
(2 điểm) Ta thấy
2 ( 2) 1 3
Vậy mặt phẳng (P) đi qua B2; 2;1 và nhận OB 2; 2;1
làm VTPT Vậy
Chú ý: Nếu thí sinh làm bài bằng cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.