BAT DANG THUC lop 10 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kinh tế...
Trang 1Chuyên đề bất đẳng thức
Dạng I : Chứng bất đẳng thức bằng định nghĩa
Chứng minh rằng
1)
4
2
a
+ b2 + c2 ≥ ab - ac + 2bc
2) 4a4 + 5a2 ≥ 8a3 + 2a - 1
3) a2 + b2 + c2 + d2 +e2≥ a( b + c + d + e )
4) a2( 1 + b2) +b2( 1 + c2) + c2( 1 + a2) ≥ 6abc
5) a4 + 3 ≥ 4a
6) a4 + b4 ≥ a3b + ab3
7) a4 + b4 + c4 + d4 ≥ 4abcd
8) x4 + y4
2 6 2 6
x
y y
x +
≤ , ( Với x,y ≠ 0 )
9) Cho a > 0 , b > 0 CMR 2 4
ab b
a
ab
≤ +
10) Cho a, b, c là ba số thoả mãn a > 0, b > 0 và c > ab
CMR :
2 2 2
2
b c
b c a
c
a c
+
+
≥ + +
11) Cho ab ≥ 1 , CMR
ab b
2 1
1 1
1
2 2
12) Chứng minh rằng với ∀ x ta có
2
3
2 2
+
+ x
x
> 2 13) CM với a > 0, b > 0 và ∀ x, y ∈ R thì
( ax + by)( bx + ay) ≥ (a + b)2xy 14) CM với ab > 0 thì
(a5 + b5)(a + b) ≥ (a4 + b4)(a2 + b2) 15) Cho z ≥ y ≥ x > 0 Chứng minh
( ) ( )
− +
≤ + +
+
z x z x z x y z x
16) Cho a ≥ 2, b ≥ 2 Chứng minh ab ≥ a + b
17) CMR với a > 0, b > 0 ta có
b a b
a a
b
+
≥ +
2 2
Trang 218) Cho a > b > 0 CMR : ( ) ( )
b
b a ab b a a
b a
8 2
8
2 2
ư
ư +
ư
≺
≺
19) CMR với a > 0, b > 0, c > 0, d > 0 ta có
d b c a a c b
≤ +
ư
1 1
1
1 1 1
1
Dạng II : Phương pháp phản chứng
1) CMR: Nếu a + b = 2cd thì ít nhất một trong hai bất đẳng thức là đúng
c2 ≥ a ; d2 ≥ b 2) CMR: trong ba bất đẳng thức sau đây có ít nhất một bất đẳng thức đúng
2(a2 + b2) ≥ (b + c)2
2(b2 + c2) ≥ (c + a)2
2(c2 + a2) ≥ (a + b)2
3) CMR nếu a1a2 ≥ 2(b1+b2) thì ít nhất một trong hai phương trình
x2 + a1x + b1= 0 (1)
x2 + a2x + b2= 0 (2)có nghiệm 4) Cho 0 < a, b, c < 1 Chứng minh có ít nhất một trong các bất đăng thức sau
đây là sai :
4
1 1
; 4
1 1
; 4
1
5) Cho ba số a, b, c thỏa mãn :
a + b + c > 0 (1)
ab + bc + ca > 0 (2) abc > 0 (3)
Chứng minh : a > 0, b > 0, c > 0
6) Chứng minh trong hai phương trình sau đây ít nhất có một phương trình có nghiệm :
x2 - 2ax + 1 - 2b = 0
x2 - 2bx + 1 - 2a = 0 7) Cho ba bất đẳng thức
a(2 - b) > 1 ; b(2 - c) > 1 ; c(2 - a) > 1 Với a, b, c ∈(0 ; 2)
Chứng minh có ít nhất một trong ba bất đẳng thức trên là sai
8) Cho a, b, c ∈(0 ; 1) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng sau là sai
4
1
1 b
4
1
1 c
4
1
1 a
c ư
9) Chứng minh rằng không tồn tại một tam giác mà độ dài các đường cao là
Trang 31 ; 5 ; 1 + 5
10) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng
a3b5(c - a)7(c - b)9 ≤ 0 ; bc5(a - b)9(a - c)13 ≤ 0 ; c9a7(b - c)5(b - a)3 ≤ 0
Dạng III : Vận dụng các bất đẳng thức cơ bản toán cơ bản
Nếu a < b thì
c b
c a b
a +
+
≺
Nếu a ≥ b thì
c b
c a b
a +
+
≥
Nếu x, y, z > 0 thì
+)
( )2
4
1
y x
+)
y x
y
x + ≥ +
4 1
1
+)
z y x z
y
x + + ≥ + +
9 1
1
1
Các bài toán áp dụng
1) Cho a, b, c > 0 CMR
2
≺ b a d
d a
d c
c d
c b
b c
b a
a
+ +
+ + +
+ + +
+ + +
2) Cho x, y, z > 0 CMR
2
≺ x z
z z
y
y y
x
x
+
+ +
+ +
3) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác CMR
2
≺ b a
c a c
b c b
a
+
+ +
+ +
4) CMR :
1 9
1 9 4 9
4 9
121 123 123
125
+
+ +
+
5) Cho a, b > 0 CMR
( )2 2
2
1 8
1 4
4
1
b a ab b
6) Cho a, b, c > 0 CMR
c b a c b a c b a c b
4 2
4 2
4 1
1 1
+ +
+ + +
+ + +
≥ + +
7) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác CMR
c b a c b a c b a c b a
1 1 1 1
1 1
+ +
≥ + +
−
+ +
−
+
− +
8) Cho a, b, c, d > 0 CMR
Trang 4≥ +
+ + +
+ + +
+ + +
+
a d
b d d c
a c c b
d b b a
c a
9) Cho a, b, c > 0 CMR
c b a a c c b b
3 2
1 2
1 2
1
10) Cho a, b, c > 0 CMR
(a b c)
c b a c b a c b
a + + + + + + + + ≥ 4 + +
9 2
1 2
1 2
1
11) Cho x thoả mãn
2
13 3
2
≺
≺ x CMR
7
3 2 13
1 10
1 2 3
1
≥
ư
+
ư
ư
x
12) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1 CMR
9 2
1 2
1 2
1
2 2
+
+ +
+
a
13) Cho a, b, c > 0 CMR
+ +
+ +
≥ + +
a c c b b a c
b
1 2
1 2
1 3 1 1 1
14) Cho a, b, c > 0 CMR
2
3
≥ +
+ +
+
c a c
b c b a
15) Cho a, b, c > 0 CMR
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )2
3 2
2
1 2
2
1 2
2
1
c b a a c a b c a c b b c b
16) Cho a, b, c, d > 0 CMR
( )( ) (a d)(b c) a b c d
d b d
c b a
c a
+ + +
≥ + +
+ +
+ +
17) Cho a, b, c, d > 0 CMR
(a c)(b d) (a b c d)
b a d
c b
+ +
+
+ +
12 2
3
18) Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác CMR
c b a c b a
a c c b a
c b c b a
b a
+ +
≥ +
ư
+ + + +
ư
+ +
ư +
+
4
2 2
19) Cho hai số dương a, b thỏa mãn a + b = 1 CMR
6 1
1
2
+
+
b a ab
20) Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b ≤ 1 Chứng tỏ rằng
14 3
2
2
+
+
b a ab
Dạng IV Chứng minh bất đẳng thức dẫy
Trang 5A) kiến thức cần nhớ
Để chứng minh A≥ B ta phải chứng minh A ≥ C với C là biểu thức lớn hơn hoặc bằng B
Từ đó ta có A≥ B, hoặc ta chứng minh D≥ B với D là biểu thức nhỏ hơn hay bằng A từ đó ta có A≥ B
Giải quyết các bài toán ở dạng dãy, người ta thường phát hiện đặc
điểm của số hạng tổng quát, từ đó rút gọn các phép tính trung gian
Người ta còn hay sử dụng phương pháp quy nạp toán học trong trường hợp thuận lợi
B) Bài tập
2
1
2
1 1
1
>
+ + +
+
1
1 1
2 >
+ + +
+
n n
n >
+ +
2
1 1
1
Với n ∈N, n > 1
3
1 2
1 1 1 1
2 + ư < + + + + < n ư
n
5) CMR:
( 1) 2
1
2 3
1 1 2
1
<
+ + + +
n
n Với n ∈N, n ≥ 1
3
1 2
1
1 + 2 + 2 + + 2 <
n Với n ∈N, n > 1 7) CMR:
( ) 2
1 1
1
13
1 5
1
2
+ + + + +
n
8) CMR:
( ) 4
1 1 2
1
25
1 9
1
2 <
+ + + +
n Với n ∈N, n ≥ 1 9) Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác CMR
(a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c) ≤ abc 10) CMR:
10
1 100
99 6
5 4
3 2
1 15
1
<
⋅
⋅
⋅
⋅
<
11) CMR với mọi số tự nhiên n ≥ 8, ta có
3
2 1
3
1 2
1 2
1
2 2
2 + + + <
<
n
12) CMR với mọi số tự nhiên n khác 0, ta luôn có:
3
1 1
2 <
+
≤
n
n
13) CMR với ∀n ∈N, n ≥ 1, ta có
a)
4
3 2
1
2
1 1
1 2
1
<
+ + +
+ +
<
n n
n
Trang 6b) 2
1 3
1
2
1 1
1
+ + + +
+ +
<
n n
n
c)
4
5 1
3
1 2
1
1 < 3 + 3 + + 3 <
n
Dạng V:Bất đẳng thức cosi
A) kiến thức cần thiết
Trung bình cộng của n số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của n số đó
*) Cho a1 , a2 , , an ≥ 0 ta luôn có
n
n n
a a a n
a a
a
2 1 2
1+ + + ≥ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an