Bất đẳng thức

Bất đẳng thức tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kinh tế, kinh...

Trang 1

14

BẤT ĐẲNG THỨC (Huỳnh Duy Khánh Sở Giáo Dục và Đào Tạo An Giang)

A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

Một số tính chất của bất đẳng thức

1

2

3

4

5 Cộng hai vế của hai bất đẳng thức cùng chiều ta được bất đẳng thức cùng chiều 6 Nếu cùng dấu và thì

7

8

Một số bất đẳng thức cơ bản 1 dấu bằng xảy ra khi

2 với mọi dấu bằng xảy ra khi

3 Nếu thì: 



4 Bất đẳng thức Cô si (AVG): Cho hai số không âm khi đó

Dấu bằng xảy ra khi

Chứng minh: Do là hai số không âm nên

Ta có

Vậy hay

B MỘT SỐ DẠNG TOÁN 1 Chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh một bất đẳng thức ta có thể chứng minh bằng các phương pháp sau: 1 Dùng định nghĩa chứng minh

2 Biến đổi tương đương

Nếu bất đẳng thức đúng thì bất đẳng thức đúng 3 Sử dụng tính bắc cầu

4 Sử dụng các tính chất hay các hằng bất đẳng thức…

Trang 2

Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số ta luôn có

Giải : Cách 1 (Dùng định nghĩa) Xét hiệu

Vậy dấu bằng xảy ra khi

Cách 2; (Biến đổi tương đương)

Bất đẳng thức đúng hiển nhiên nên dấu bằng xảy ra khi

Ví dụ: Chứng minh rằng với thì

Giải

Ví nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Dấu bằng xảy ra khi

Bài toán này còn có nhiều cách chứng minh khác, sau đây ta tổng quát bài toán như sau Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi

Giải : Cách 1:

Trang 3

16

bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên bất đẳng thức ban đầu đúng

Cách 2:

Cách 3: do cùng dấu Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm và ta được Dấu bằng xảy ra khi:

Chứng minh bất đẳng thức bằng cách 1 phải hết sức cẩn trọng vì các phép biến đổi phải tương đương với nhau nếu không dễ dẫn đến sai lầm Từ ví dụ trên ta có thể thấy  Nếu thì dấu bằng xảy ra khi

 Nếu thì dấu bằng xảy ra khi

Ví dụ Chứng minh rằng với mọi số thực ta luôn có:

Giải Xét

Vậy

Tổng quát: + N u chẳn và là hai số bấy kỳ

Dấu bằng xảy ra khi

+ N u lẻ là hai số dương

Trang 4

Ví dụ : Cho là ba số dương chứng minh rằng;

Giải: Cách 1: Biến đổi tương đương

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số ta được

Dâu bằng xảy ra khi

2 Tìm giá trị nhỏ nhất- lớn nhất của biểu thức, hàm số Giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của trên tập xác định D Số M được gọi là giá trị lớn nhất của trên tập D nếu  với

 Có một số sao cho

Số được gọi là giá trị nhỏ nhất của trên tập D nếu  với

 Có một số sao cho

Ta có thể ký hiệu :

Giá trị lớn nhất (GTLN) hay giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số ta cần quan tâm đến các vấn đề sau đây: - Biến x chạy trên tập nào; - Điểm rơi để đạt GTLN hay GTNN ; thông thường điểm rơi đạt dược ở biên hay ở vị trí đặt biệt mà người giải phải dự đoán trước - Có nhiều hàm số không có GTLN hay GTNN trên một tập D nào đó Ví dụ: Xét hàm số trên tập R có GTNN là 1 khi

đúng với mọi số nhưng số 0 không phải là giá trị nhỏ nhất của trên R vì không có một giá trị nào để

+ Xét hàm số với có GTNN là 2 và GTLN là 5 ????

Trang 5

18

+ nhưng hàm số không có giá trị nhỏ nhất vì

không có nào để

a Tìm GTLN- GTNN quy về

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của với x là số thực bất kỳ Giải :

Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 2 khi

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của trên đoạn

Giải:

Do

Vậy vậy GTNN của S là 3 khi ; GTLN của S là 11 khi

Ví dụ: Tìm GTLN của với x bất kỳ Giải:

Vậy GTLN của S là khi

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của

Giải:

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là khi

Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất của

Giải: Ta có

Vậy giá trị lớn nhất của là 3 khi

Nhận xét: Ở ví dụ này n u ta giải như sau

K t luận giá trị lớn nhất của A bằng 4 là sai lầm vì dấu bằng xảy ra khi phương trình vô nghiệm, như vậy không tìm được x nào để

Trang 6

Ví dụ : Tìm GTNN của

Giải:

Đặt

Ta được

Vậy GTNN của A là khi

Ví dụ : Tìm GTNN của ớ

Giải: Ta biến đổi A như sau

Do

Nên ta được

Tóm lại hay GTNN của A là khi

Bài tập : Tìm GTNN của

Bài tập : Tìm GTNN của với

b Tìm GTLN−GTNN quy về dạng

Một số bài toán tìm GTLN-GTNN của một biểu thức có chứa hai hay nhiều biến ta có thể biến đổi đưa về dạng dấu bằng xảy ra khi

Cần lưu ý dấu bằng xảy ra ví dụ nhưng số 0 không phải là giá trị nhỏ nhất ở đây dấu bằng của hai biểu thức không đồng thời xảy ra Ta thực hiện biến đổi sau:

Ví dụ: Cho hệ phương trình (HSG lớp 9- 2012-2013)

ố a Tìm để hệ phương trình có nghiệm, tìm nghiệm đó b Xác định giá trị nhỏ nhất của :

Giải: a)

Nhân phương trình (1) cho rồi cộng với phương trình (2) ta được

Trang 7

20

 Nếu phương trình (3) vô nghiệm nên hệ phương trình vô nghiệm

 Nếu phương trình (3) ta được

Hay hệ có nghiệm là

b)

 Nếu ta được

Đặt

 Nếu ta được

Dấu bằng xảy ra khi hai tổng bình phương bằng không, hay x và y là nghiệm của hệ phương trình

Kết luận: * Giá trị nhỏ nhất của

* Giá trị nhỏ nhất của

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của

Giải

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 5 khi

Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của

Trang 8

Giải:

Vậy GTNN của P là khi

Ví dụ: Cho là ba số bất kỳ chứng minh rằng

Giải: Ta có

Cộng các vế của ba bất đẳng thức ta được

Dấu bằng xảy ra khi hay

với là số bất kỳ Ví dụ: Chứng minh rằng

Giải:

c Tìm GTLN-GTNN quy về dạng

Đối với các biểu thức dạng A/B không phải lúc nào cũng có GTLN hay GTNN tuy nhiên các bài toán loại này ta thường hay quy về các dạng cơ bản sau + dấu bằng xảy ra khi

+ ớ ấ ằ

+ ớ ấ ằ ả ;

Trang 9

22

+Nếu

Ví dụ: Cho tìm GTNN nếu có của biểu thức sau:

Giải: Ta có

Dấu bằng không xảy ra nên P không có giá trị nhỏ nhất Bài tập: Tìm GTLN của ớ

Ví dụ: Cho .Tìm giá trị nhỏ nhất của

Giải: Do ta viết lại như sau

Tổng quát: + Với và a là số không âm dấu bằng xảy ra khi

+ Với là số âm thi biểu thức không có giá trị nhỏ nhất Chứng minh:

Ví dụ: Với tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Giải: (ý tưởng giải bài toán này bằng ví dụ trên)

( có thể chia đa thức để được biểu thức cuối) Do khi đó

Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta được Dấu bằng xảy ra khi

Ví dụ Cho tìm GTNN của

Trang 10

Giải:

Ta có ớ do vậy

Ví dụ : Cho Tìm GTNN của

Giải:

Rõ ràng trong cách biến đổi trên có quá nhiều phiền phức đặt biệt số 3 xuất hiện một cách không tự nhiên, người giải ở đây biết trước điều đã xảy ra nên mới làm như vậy Nếu áp dụng bất đẳng thức Cosi bài toán trở nên nhẹ nhàng hơn

Ví dụ: Cho Tìm GTNN của

Giải:

Ví dụ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ớ

Giải: Nhận xét điểm rơi ở đây là khi đó đây là giá trị nhỏ nhất

Vậy GTNN của là 5 khi

Cách khác: Sử dụng bất đẳng thức

Trang 11

24

Do dấu bằng xảy ra khi

Không phải tự nhiên ta có thể gom tách thành các biểu thức như trên, cách phân tích của ta ở đây tập trung vào điểm rơi đó là chính vì vậy trong quá trình phân tích

ta luôn để ý đến vị trí của điểm rơi này

Ví dụ Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của

Giải: Nhận xét điểm rơi ở biên

Ta có

Vì

Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

Giải : Nhận xét khi x càng lớn thì mẫu số càng lớn và số A càng nhỏ dần về số 0 Thử một vài giá trị ta nhận thấy có khả năng điểm rơi là

Ví dụ : Tìm GTLN của

Giải:

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 0 khi

Bài tập: Tìm GTLN của

Ví dụ Tìm GTLN của

Giải

Trang 12

Do

Giải:

Ví dụ: Tìm GTLN-GTNN của

Giải:

Dấu bằng xảy ra khi ;

Ví dụ Cho x là số thực bất kỳ tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

Giải :

Cách khác: Giả sử mỗi số x ta tính được ta xem m chạy trên tập nào (từ đó suy ra giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của A) Khi đó phương trình sau đây có nghiệm x

Trang 13

26

Vì phương trình có nghiệm theo x nên phương trình cuối cùng phải có

Vậy hay GTLN của A là GTNN của A là

Bài toán đến đây là xong nhưng ta có thể tính xem dấu bằng xảy ra khi nào Nếu

Nếu

Nhận xét: Cách giải của bài toán trên dựa trên ý tưởng vào tập giá trị của hàm số Cho hàm số

gọi là tập xác định của hàm số nếu với mọi thì biểu thức xác định được gọi giá trị của hàm số nếu với mọi đều tồn tại sao cho

nói cách khác ta tìm tập A để với mọi sao cho phương trình có nghiệm đây là cơ sở tìm giá trịnh nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của một hàm số Trường hợp ta có GTLN của hàm số là b; GTNN của hàm số là a; Trường hợp thì hàm số không có GTNN ; GTLN là b; Trường hợp thì hàm số không có GTLN; GTNN là a; Trường hợp thì hàm số không có gTLN và GTNN d Tìm GTLN-GTNN của biểu thức chứa căn Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

Giải Điều kiên

Dễ thấy A không âm

 Do mà không âm nên hay giá trị lớn nhất của A bằng

 Do

 Theo điều kiện (? ?)

ặ nhưng vì A không âm nên

Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng 2 khi

Tóm lại

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

Trang 14

Giải

Điều kiên

Ta nhận thấy

Xét khi đó

Bình phương A như trên ta được

Xét Khi đó

Bình phương hai vế ta được

Vậy

Giải:

Tập xác định

Ta có nhận xét

Ví dụ : Cho phương trình

a Giải phương trình khi

b Tìm để phương trình có nghiệm

Giải: ĐK

Nếu khi đó vế trái trở thành

Vậy vế trái có giá trị luôn lớn hơn hay bằng 5 do đó phương trình có nghiệm khi

Ví dụ :

Cho Tìm GTNN của

Giải:

Trang 15

28

Bình phương A rồi tìm GTNN của A;

Ví dụ :

Cho Tìm GTNN của

Giải:

Nhận xét: do

Ta có

Ví dụ Chứng minh rằng với ta luôn có

Giải:

Xét

Vậy điều phải chứng minh

C BÀI TẬP

1 Chứng minh rằng với hai số dương ta luôn có

2 Cho , chứng minh rằng

3 Chứng minh rằng

4 Chứng minh rằng với bất kỳ

7 Tìm để có giá trị nhỏ nhất bằng

8 Tìm m để có giá trị nhỏ nhất bằng

9 Tìm để với mọi giá trị của

10 Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của

Trang 16

11 Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của

12 Tìm GTNN của

13 Tìm GTNN của

14 Tìm GTLN của

15 Tìm GTNN của

16 Tìm GTLN của

17 Cho Tìm GTLN của biểu thức

18 Tìm GTLN của

19 Tìm số nguyên sao cho biểu thức P sau đây đạt GTLN

20 Tìm giá trị nhỏ nhất của

21 Tìm GTNN của

22 Cho tìm GTNN của

23 a Cho dương chứng minh rằng:

b Áp dụng bất đẳng thức trên chứng minh rằng

Trong đó là độ dài ba cạnh và là nửa chu vi của tam giác ABC 17 Cho hai số thỏa Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

18 Tìm GTNN của

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	614,9 KB