Tài liệu môn toán THPT : bất đẳng thức lớp 10
Trang 1danghoa949@gmail.com -1
111Equation Chapter 1 Section 1CHUYÊN ĐỀ
3-CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
DÀNH CHO ÔN TẬP HK-2 KHỐI 10
1-Cho các số a,b,c,d, e.Chứng minh :
a + + +b c d + ≥e a b c d e+ + +
(1)
Giải
(1)
0
a b c d e ab ac ad ae
Do
nên (1’) đúng
Vậy :
a + + +b c d + ≥e a b c d e+ + +
-2-Cho a,b,c là các số thực Chứng minh :
2 2 2
a + + ≥b c ab bc ca+ +
(1)
Giải
Do :
(a b− ) ≥0, (b c− ) ≥0, (c a− ) ≥0
, nên (1’) đúng Vậy :
2 2 2
a + + ≥b c ab bc ca+ +
Trang 2
-danghoa949@gmail.com -2
3-Cho a,b,c,d là các số thực Chứng minh:
(ac bd+ ) ≤(a +b c)( +d )
(1)
Giải
-Khi a = 0, b = 0- (1) luôn đúng
-Khi a.b ≠ 0
Ta biến đổi tương đương ;
2 2 2 2
2
( ) 0 (1')
a d b c abcd
ad bc
Do (1’) đúng nên :
( ac bd + ) ≤ ( a + b )( c + d )
đúng
Vậy :
(ac bd+ ) ≤(a +b c)( +d )
-4-Cho a,b,c là các số thực Chứng minh:
4 4 2 1 2 ( 2 1)
a + + + ≥b c a ab + − +c a
(1)
Giải
( ) ( ) ( 1) 0 (1')
Do :
2 2 2
(a −b ) ≥0
,
2
(a c− ) ≥0
,
2
(a−1) ≥0
, nên (1’) đúng
Vậy :
a + + + ≥b c a ab + − +c a
-5-Cho a + b + c ≠ 0 là các số thực Chứng minh:
3 3 3 3
0
a b c
+ +
(1) Giải
Trang 3danghoa949@gmail.com -3
1
2 1
2
a b c a b c abc
a b c a b c a b c ab bc ca
a b c a ab b b bc c c ca a
a b c a b b c c a
Do :( )2
a b c+ +
,
2
(a b− ) ≥ 0
,
2
(b c) − ≥ 0
,
2
(c −a) ≥ 0
nên (1’) đúng
Vậy :
0
a b c abc
a b c
+ +
-6-Cho a , b , c > 0 Chứng minh:
4 4 4
a b c
abc
+ + + + ≤
(1) Giải
4 4 4
4 4 4
4 4 4
2 2 2 2 2 2
0
b c a c a b
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 [( ) ( ) ( ) ] 0 (1') 2
Do:
.(a −bc) ≥ 0, (b −ac) ≥ 0, (c −ab) ≥ 0
.(a −b ) ≥ 0, (b −c ) ≥ 0, (c −a ) ≥ 0
nên (1’) đúng
Trang 4danghoa949@gmail.com -4
Vậy :
4 4 4
a b c
abc
+ + + + ≤
-7-Cho a + b ≥ 2 Chứng minh:
(1)
Giải
Do :
.(a−1) ≥0, (a + + ≥a 1) 0
.( 1) 0, ( 1) 0
a b
+ ≥
, nên (1’) đúng
Vậy :
-8-Cho a + b ≥ 2 Chứng minh:
(a b a+ )( +b a)( +b ) 4(≤ a +b )
(1)
Giải
-Thừa nhận bổ đề :
Nên :
3 3 5 5 8 8
a +b a +b ≤ a +b
Trang 5danghoa949@gmail.com -5
2
a b a b a b a b a b
a b
a b a b a b a b
+
≤
(a b a)( b a)( b ) 4(a b ) (1)
Vậy :
(a b a+ )( +b a)( +b ) 4(≤ a +b )
-9-Cho a b ≥ 1 Chứng minh:
a +b ≥ ab
(1) Giải
2 2 2
(1)
( 1)( 1) 1
( 1)[( 1) ( 1)] 2( 1)( 1)
( 1)[( 1) ( 1)] 2[( 1) ( 1)] 2( 1)
( 1)( 2) 2( 1) 0
( 1)( ) 0 (1')
Do:
2
(ab− ≥1) 0, (a b− ) ≥ 0
, nên (1’) đúng.
Vậy :
-10-Cho a,b,c ≥1.Chứng minh:
1 a +1 b +1 c ≥1 abc
(1) Giải
Trang 6danghoa949@gmail.com -6
Do :
.
.
.
Suy ra :
(1)
1 a 1 b 1 c 1 abc
Vậy :
1 a +1 b +1 c ≥1 abc
-11-Cho a,b,c ≥1.Chứng minh:
1 a +1 b +1 c ≥1 abc
(1) Giải
Do :
.
.
.
Suy ra :
Mặt khác ,do:
(**) 1
1 a b 1 abc 1 a b c abc
Do tính chất bắc cầu , từ (*) và (**), được:
Trang 7danghoa949@gmail.com -7
(1)
Vậy :
1 a +1 b +1 c ≥1 abc
12-Cho a,b,c ≥ 0 Chứng minh:
a b c+ + ≤ a + +b c
(1) Giải
Viết lại :
2 2 2
2
2 2 2
Do :
(a b− ) ≥0, (b c− ) ≥0, (c a− ) ≥0
, nên (1’) đúng
Vậy :
2 2 2
a b c+ + ≤ a + +b c
Trang 8
-danghoa949@gmail.com -8
13-Với mọi a,b,c > 0.Chứng minh :
3 2
(1)
Giải
Biến đổi tương đương:
9 2
a b c a b c a b c
a b c
a b b c c a
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm, được:
.(a b+ + + + + ≥) (b c) (c a) 3 (a b b c c a+ )( + )( + ) (*)
Nhân các vế tương ứng của (*) và (**), ta được:
2 9
3 2
a b b c c a
a b c
a b b c c a
b c c a a b
b c c a a b
Vậy :
3 2
-14- Với mọi a,b,c > 0.Chứng minh :
2
b c c a a b
+ +
(1)
Giải
Biến đổi tương đương:
Trang 9danghoa949@gmail.com -9
2
2 3
2 3
(1') 2
b c c a a b
b c c a a b
+ +
Do (1’) đúng nên :
2
+ +
-đúng
Vậy :
2
b c c a a b
+ +
-15-Cho a,b,c là 3 số dương, với a2 + b2 + c2 = 1
Chứng minh :
3 3 2
(1)
Giải
Do :
1
1
+ = −
+ = −
Nên :
3 3
Mặt khác do :
0, 0, 0
a > b> c>
và
2 2 2 1
a + +b c =
nên
0<a b c, , <1
Gọi
(0,1)
x∈
.Ta chứng minh :
2
−
Trang 10danghoa949@gmail.com -10
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số : 2x2 , (1- x2) , (1- x2) , được:
3
2 2 2
2 (1 )(1 )
4 (1 )
27
Suy ra :
Vậy :
3 3 2
-16-Cho a, b,c > 0 Chứng minh:
3 3 3
1 1 1
(1)
Giải
Do a, b,c > 0 nên :
1 1 1
a b c
Do :
(a −b )(a −b ) 0≥
8 8 6 2 2 6
8 8 6 2 2 6
8 8 6 2 2 6
Thực hiện phép cộng từng vế tương ứng, được:
2(a + +b c )≥a b( +c ) b (c+ +a )+c (b +a )
Áp dụng 3 lần BĐT Cauchy cho mỗi 2 số :
2 2 2
+ ≥
+ ≥
+ ≥
Thực hiện phép cộng từng vế tương ứng và áp dụng tính bắc cầu, lại được:
Trang 11danghoa949@gmail.com -11
3 3 3
3 3 3
1 1 1
1 1 1
(1)
a b c
a b c
Vậy :
3 3 3
1 1 1
-17-Chứng minh rằng , với mọi số thực a,b,c > 0 nếu :
1 a +1 b +1 c ≥
thì
1 (**) 8
Giải
Từ giả thiết cho ta:
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số
;
1 1
2
1 1 (1 )(1 )
Do vậy từ (1) :
1 2
1 (1 )(1 )
bc
, từ đó vận dụng tương đương:
1 2
1 (1 )(1 )
ac
Trang 12danghoa949@gmail.com -12
1 2
1 (1 )(1 )
ba
Nhân các vế tương ứng, ta được:
1
8
1
8
abc
abc
abc
≥
⇔ ≥
Vậy : nếu
2
1 a+1 b+1 c ≥
thì
1 8
-18-Cho các số dương a,b,c,d thỏa mãn:
1 a +1 b +1 c +1 d ≥
thì
1
(**) 81
Giải
Theo giả thiết , ta được:
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương :
; ;
, được:
3
3
1 1 1 (1 )(1 )(1 )
bcd
,
Suy ra:
3
1
3
1 (1 )(1 )(1 )
bcd
tương tự cho b,c,d
Trang 13danghoa949@gmail.com -13
Nên
3
1
3
1 (1 )(1 )(1 )
acd
3
1
3
1 (1 )(1 )(1 )
abd
3
1
3
1 (1 )(1 )(1 )
abc
Nhân các vế tương ứng , lại được:
1 1 1 1 (1 )(1 )(1 )(1 )
(1 )(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 c)(1 d)
1
(**) 81
abcd
abcd
abcd
≥
Vậy : nếu
3
1 a +1 b +1 c +1 d ≥
thì
1 81
.
-19-Cho 4 số : a1,a2,b1,b2 thỏa mãn: 1 2 1 2
(*)
Chứng minh :
2
(1)
Giải
Theo giả thiết 1 2 1 2
, nên :
Trang 14danghoa949@gmail.com -14
0
2
Vậy :
2
-20-Cho a,b,c khác 0.Chứng minh :
b +c + a ≥ + +b c a
(1)
Giải
Áp dụng BĐT Svacsơ – Bunhiakopxki cho 6 số :
1,1,1, , ,a b c
b c a
ta được:
2
(1 1 1 )
1
(*) 3
Do
3
2
Trang 15danghoa949@gmail.com -15
Từ (*) và (**) ta được:
Vậy :
b + c + a ≥ + + b c a
.
-Chúc mừng quí thầy , cô và các em đã quan tâm tìm hiểu và bổ sung nhiều hơn.