Trình bày một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy, trong đó đưa ra các phương pháp như: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản; Phương pháp sử d
Trang 1Một số phương pháp chứng minh bất đẳng
thức
Phạm Thị Lan Anh
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận văn ThS Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp; Mã số 60 46 01 13
Người hướng dẫn: PGS.TS Phan Huy Khải
Năm bảo vệ: 2013
Abstract Trình bày các khái niệm cơ bản về bất đẳng thức cũng như các tính chất của
bất đẳng thức Trình bày một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy, trong đó đưa ra các phương pháp như: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản; Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy; Phương pháp thêm bớt hằng số; Phương pháp thêm bớt biểu thức chứa biến; Phương pháp nhóm các số hạng; Phương pháp sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu Trình bày cách từ miền giá trị của biến số để tìm ra miền giá trị của hàm số, từ đó xác định được điểm cực trị của hàm số trong miền giá trị để chứng minh bất đẳng thức Trình bày phương pháp sử dụng các hệ thức lượng giác hoặc biến đổi bất đẳng thức trở thành các
hệ thức lượng giác quen thuộc để chứng minh bất đẳng thức Trình bày phương pháp lựa chọn hàm số từ bất đẳng thức để từ đó qua đạo hàm ta thấy được chiều biến thiên trong một khoảng xác định để chứng minh bất đẳng thức ban đầu Trình bày phương pháp biến đổi bất đẳng thức trở thành các biểu thức chứa các yếu tố hình học, từ các
bất đẳng thức hình học quen thuộc ta chứng minh được bất đẳng thức ban đầu
Keywords Phương pháp toán sơ cấp; Bất đẳng thức; Toán học
Content
Lời nói đầu
Bất đẳng thức là một chuyên đề khá thú vị trong chương trình toán học phổ thông và cũng có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học Trong các đề thi chọn học sinh giỏi hay đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng những năm gần đây thì bài toán bất đẳng thức thường xuất hiện như một dạng đề quen thuộc và thường được hiểu như là một bài
Trang 2toán để lấy điểm tối đa vì việc giải quyết trọn vẹn bài toán này không phải là đơn giản với phần lớn học sinh
Lý thuyết về bất đẳng thức được trình bày ở rất nhiều cuốn sách khác nhau và từ đó các phương pháp chứng minh bất đẳng thức cũng được đề cập để giải quyết các bài toán bất đẳng thức đó Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi chỉ trình bày và tổng hợp một vài phương pháp chứng minh bất đẳng thứcquen thuộc để giải quyết các bài toán của chương trình phổ thông, phục vụ quá trình dạy và học môn toán
Trong luận văn này ngoài phần lời nói đầu và kết luận thì bố cục được trình bày như sau:
- Chương 1: Mở đầu Ở chương này đưa ra các khái niệm cơ bản về bất đẳng thức cũng như các tính chất của bất đẳng thức
- Chương 2: Bất đẳng thức Cauchy Chương này trình bày một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy, trong đó đưa ra các phương pháp như:
Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản
Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy
Phương pháp thêm bớt hằng số
Phương pháp thêm bớt biểu thức chứa biến
Phương pháp nhóm các số hạng
Phương pháp sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu
- Chương 3: Phương pháp miền giá trị hàm số Chương này trình bày cách từ miền giá trị của biến số để tìm ra miền giá trị của hàm số, từ đó xác định được điểm cực trị của hàm số trong miền giá trị để chứng minh bất đẳng thức
- Chương 4: Phương pháp lượng giác hóa Chương này trình bày phương pháp
sử dụng các hệ thức lượng giác hoặc biến đổi bất đẳng thức trở thành các hệ thức lượng giác quen thuộc để chứng minh bất đẳng thức
- Chương 5: Phương pháp sử dụng chiều biến thiên hàm số Chương này trình bày phương pháp lựa chọn hàm số từ bất đẳng thức để từ đó qua đạo hàm ta thấy được chiều biến thiên trong một khoảng xác định để chứng minh bất đẳng thức ban đầu
- Chương 6: Phương pháp sử dụng hình học Chương này trình bày phương pháp biến đổi bất đẳng thức trở thành các biểu thức chứa các yếu tố hình học, từ các bất đẳng thức hình học quen thuộc ta chứng minh được bất đẳng thức ban đầu
Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn của PGS.TS Phan Huy Khải, thầy đã
hướng dẫn và tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này, xin chân thành cảm ơn Thầy
Tôi cũng xin gửi lời cám ơn đến các thầy cô giáo khoa Toán – Tin và các cán bộ giáo viên khoa sau đại học trường ĐH KHTN-ĐH QG HN cùng các bạn bè lớp cao học toán khóa
Trang 32011-2013, những người đã dạy dỗ, hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường
Sau cùng tôi xin gửi lời tri ân tới cha mẹ, người thân đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành chương trình thạc sĩ này
Reference
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt:
1 Trần Phương (2011), Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học, NXB Tri
Thức
2 Phạm Kim Hùng (2007), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri Thức
3 Nguyễn Văn Mậu (2005), Bất đẳng thức và một số vấn đề liên quan-tài liệu bồi dưỡng
giáo viên THPT chuyên
4 Võ Quốc Bá Cẩn, (2011), Sử dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức, NXB Đại
học Sư Phạm
5 Phạm Văn Thuận, Lê Vĩ (2007), Bấtđẳng thức-Suy luận và khám phá, NXB Đại học
Quốc gia Hà Nội
Tiếng Anh:
1 J Michael Steele (2004), The Cauchy-Schwarz master class, Cambridge University
Press
2 T Andreescu, V Cartoaje, G Dospinescu, M Lascu, Old and new inequalities,
3 D J H Garling, (2007), Inequalities - A Journey into Linear Analysis, Cambridge
University Press