togiai pt vo ti

chứng minh với mọi mhàm số luôn luôn có cực trị và khoảng cách giữa các điểm cực trị không đổi... Xác định m để đồ thị củahàm số có hai hai điểm cực đại và cực tiểu nằm vềhai phía của t

Khi đĩ f x được gọi là giá trị cực đại của hàm số ( )0 f x ( )

2) x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số 0 f x nếu tồn tại một khoảng ( ) ( )a b;chứa điểm x sao cho 0 ( )a b; ⊂D và f x( ) > f x( )0 ,∀ ∈x ( ) { }a b; \ x0

Khi đĩ, f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số ( )0 f x ( )

gọi chung là giá trị cực trị của hàm số

II Điều kiện để hàm số cĩ cực trị

Dấu hiệu 1 Gỉa sử hàm số f x liên tục trên ( ) ( )a b chứa điểm ; x và cĩ đạo 0

hàm trên các khoảng (a x và ; 0) (x b Khi đĩ:0; )

• Nếu f x đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm'( ) x thì hàm số đạt cực tiểu tại0

f x cĩ đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x Khi đĩ:0

• Nếu f ''( )x0 <0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x 0

• nếu f ''( )x0 >0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x 0

III các phương pháp tìm cực trị của hàm số

nếu f ''( )x i <0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x i

nếu f ''( )x i >0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x i

m m

− chứng minh với mọi mhàm số luôn luôn có

cực trị và khoảng cách giữa các điểm cực trị không đổi

2'

x m

=+ định m để hàm số có cực trị tại x=2.

m m

21

x

y

x x

x

y

x x

y y

=



⇔  <



m m

b a b b

a b

42

x

y

x x

Ví dụ6 Cho hàm số y x= −3 (2m+1)x2+(m2−3m+2)x+4 Xác định m để đồ thị củahàm số có hai hai điểm cực đại và cực tiểu nằm vềhai phía của trục tung.

y= x +ax − x− (a là tham số) với những giá trị nào của

a thì đồ thị của hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu, các điểm này cách đểu trục tung

12

kết hợp (a) và (b) ta cĩ giá trị cần tìm là: m<1

Ví dụ 10 Cho hàm số y x= −3 3x2+2 ( )C Hãy xác định tất cả các giá trị của a để điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C) nằm về hai phía khác nhau của đường trịn (phía trong và phía ngồi): x2+y2−2ax−4ay+5a2− =1 0

gọi A x y( 1; 1) (,B x y là các điểm cực trị của hàm số và I là trung điểm của đoạn AB 2; 2)

Do x x là nghiệm của (1) nên theo định lí lí Vi-eùt, ta có:1, 2

Vậy: m=0 thỏa yêu cầu bài toán

Ví duï 15 Cho hàm số y x= 4−2mx2 +2m m+ 4 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều

( )

2

0' 0

Ví dụ 17 Cho hàm số 1 4 2 3

y= x −mx + Xác địnhmđể đồ thị của hàm số có cực tiểu mà không có cực đại

m m

− với giá trị nào của m thì hàm số đã

cho có cực đại và cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cùng dấu

32

m m

v x

= chứng minh y x'( )0 =0 và v x'( )0 ≠0 thì ta cĩ:( )

2) giả sử y có giá trị cực đại và cực tiểu là yCÑ,y CT chứng minh: 2 1

hàm số có một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ( )II và một điểm cực trị thuộc góc

phần tư thứ ( )IV của mặt phẳng tọa độ.

m m

x y

 − >



 ⇔ < − ∨ >m 2 m 2 (*)

• gọi A x y( 1; 1) (,B x y là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì 2; 2) x x là nghiệm 1, 2

của (1)

Khi đó:

2 1

2 2

vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: y=2x m+

Ví dụ 29 xác định tham số a để hàm số sau có cực đại :

y= − + +2x 2 a x2−4x+5

giải

tập xác định : D= R

Đáp số:

1

m= 3) Tìm m để hàm số 2 ( 1) 1

2

x ax b y

2

2

ax bx c y

hàm số luôn có cực đại và cực tiểu thuộc hai đường thẳng cố định

Đáp số : y= ±2

y= x − a+ x + a a+ x+ chứng minh rằng với mọi a, hàm

số luôn đạt cực trị tại x x với 1, 2 x2 −x1 không phụ thuộc vào tham số a định a để1

2) Cho hàm số 3 ( ) 2 ( )

3

m

y= x − m+ x + m− x− với giá trị nào của m thì hàm số có

cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ

Đáp số: 1 0

− < < 3) Cho hàm số 3 2

y x= − x + mx+ −m Xác định m để đồ thị hàm số cóđiểm cực đại M x y và điểm cực tiểu 1( 1; 1) M x y thỏa điều kiện: 2( 2; 2)

( 1 21) ( 1 22 )

02

đáp số : m= ∨ =2 m 4.2) Cho hàm số

2

2x 3x m y

− với giá trị nào của tham số m thì hàm số

có cực đại và cực tiểu đồng thời các giá trị cực trị cùng dấu

Đáp số : m< − −2 2 6∨ − +2 2 6< <m 5.2) Cho hàm số

y

x m

=

− với giá trị nào của tham số m thì hàm số có

cực đại và cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cùng dấu

Đáp số : 3 3

7

m≤ − ∨ >m 2) Cho hàm số y x2 3mx 5

y

x m

=

− , với m là tham số khác -1 với giá

trị nào của m thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong khoảng ( )0; 2

Đáp số : ( 2 )

y y = − m + < ∀m.b) Tìm m để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số cách đều trục Ox

điểm cực trị nằm ở góc phần tư thứ (I) và một điểm cực trị nằm ở góc phần tư thứ

Đáp số :

m≤ ∨ ≥m 3) Cho hàm số y x= 4−2m x2 2+1 định m để hàm số có các điểm cực đại và cực

Đáp số : m= ±63.4) Cho hàm số y= − +x4 2(m+2)x2−2m−3 Tìm m để hàm số có cực đại mà

Đáp số : m≤ −2

Bài 14 1) Cho hàm số y x= −3 3ax2+4a3 Tìm a để hàm số có hai điểm cực trị

đối xứng nhau qua đường thẳng y x= .

Đáp số : 2

2

a= ± 2) Cho hàm số y=2x3−3 2( m+1)x2+6m m( +1)x+1 Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng y x= +2

và cực tiểu Chứng minh rằng khi đó đường thẳng qua điểm cực đại ,cực tiểu luôn điqua một điểm cố định

4) Cho hàm số 1 3 2

13

y= x −mx − + +x m chứng minh rằng với mọi m hàm số đã cho

luôn luôn có cực đại ,cực tiểu Hãy xác định m để khoảng cách giữa các điểm

NguyÔn v¨n kh«i_12a4-thpt a duy tiªn

Cã j× h·y truy cËp website:vip12a4.hnsv.com