Trị số xo thoả mệnh đề gọi là nghiệm số của phương trình ; giải phương trình là đi tìm các trị số xo thoả mệnh đề fx = gx.. 3 Các phép biến đổi tương đương a Phép giản ước hai vế cho c
Trang 1Vấn đề 1:
ĐAI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
1)Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có
tập xác định lần lượt là 1 ; 2 Mệnh đề chứa
biến x :
f(x) = g(x)
là một phương trình có tập xác định là = 1
∩ 2
Trị số xo thoả mệnh đề gọi là nghiệm số
của phương trình ; giải phương trình là đi tìm
các trị số xo thoả mệnh đề f(x) = g(x) Tập
hợp S các trị số xo là tập hợp nghiệm của
phương trình
2) Xét hai phương trình
f(x) = g(x) (1) có tập nghiệm S1
A(x) = B(x) (2) có tập nghiệm S2
Hai phương trình gọi là tương đương
khi chúng có cùng tập nghiệm : S1 = S2
Phương trình (2) là hệ quả của phương
trình (1) nếu tập nghiệm S1 ⊂ S2
3) Các phép biến đổi tương đương
a) Phép giản ước hai vế cho cùng hạng tử
có cùng tập xác định với phương trình
b) Phép chuyển vế ; lấy căn bậc ba (lẻ) ;
nâng lên luỹ thừa ba (lẻ)
c) Phép nhân hai vế cho cùng hạng tử
khác không và có cùng tập xác định với
phương trình
4) Phép biến đổi không tương đương
a) Bình phương hai (chẵn) vế của phương
trinh ta được phương trình hệ quả
b) Đơn giản thừa số giống nhau ở hai vế
của phương trình thường được phương trình
mất nghiệm
Baâi têăp
1.1 Giải các phương trình
a) (x - 1)(x2 - 3x) = 4(x - 1) b) x + x + 1=
1
x +
c)
1 x
4
1
x
x2
−
=
1 1 x
x
−
=
−
2
x −
g) x + 1(x2 + 4x) = 0 h) x − 2(x2 - 5x +
6) = 0
ĐS: a)S ={ ổ1, 4} b) S = {0} c) S = { ổ2}
d) S = ∅
e) S = {0} f) S = ∅ g) S = {-1, 0} h) S =
{2, 3}
1.2 Giải các phương trình
a) x +
1 x
1
− = x 1
1 x 2
−
2 x
1
2 x
3 x 2
−
−
c)
2 x
x
1
− - x−2 d) |x - 2| = x + 1
1 x
3 x 1 x
4
x2
+ + +
+
= +
-1 ĐS: a) S = {2} b) S= ∅ c) S = ∅ d) S = { 2
1 } e) S = {4} f) S = ∅ g) S = {0, 4} h) S = {1}
1.3 Giải phương trình
a)
x 2
x x 2
| x
|
−
=
x 1 x
| x
|
−
=
−
c)
1 x
2 x 1 x
| 2 x
|
−
−
=
−
−
d)
2 x
x 1 2 x
| 1 x
|
−
−
=
−
−
ĐS: a) [0, 2) b)(1, +∞) c) [2, +∞) d) ∅
Vấn đề 2:
GIẢI VÀ BỊÊN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
& CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ BẬC NHẤT
1) Xét phương trình A.x = B
A = 0 m = ? : Thay m vào phương trình
=
∈
∀
→
=
φ
=
→
=
R S : R x 0 x 0
S : VN const
x 0
A ≠ 0 m ≠ ? : Chia cho A được x =
A B
Tập nghiệm S = {
A
B }
2) Các phương trình đưa về bậc nhất
khác cần chú ý đặt đièu kiện cho nghiệm và
phải xét điều kiện nhận nghiệm
Baâi têăp
2.1 Giải và biện luận
a) (m2 + 2)x - 2m = x - 3 b) m(x - m) = x + m - 2 c) m(x - m + 3) = m(x - 2) + 6 d) m2(x - 1) + m = x(3m - 2) e) (m+1)2x = (2x + 1)m + 5x + 2 f) a(ax + 2b2) - a3 = b2(x + a) g) (a + b)2x + 2a2 = 2a(a + b) + (a2 + b2)x h) a(ax + 2b2) - a2 = b2(x + a)
2.2 Giải và biện luận
3 x
2 m x ) 1 m
+
− +
1 x
3 m
+
−
−
ỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜ
Trang 2c) 2
x
3 x
2
x
m
x
=
+
+
−
2 m x
1 x 1 x
m x
=
−
− +
−
−
x 1
2 ) 1 x ( b x 1
b x
1
x
x
a
−
−
−
= +
−
+
−
−
f)
a x
b x a x
b ax
+
−
=
− +
2.3 Giải và biện luận
a) |x + m| = |x - m + 2| b) |x - m | = |x +
1|
c) |mx + 1| = |2x + m - 3| d) |mx +1| = |3x +
m - 2|
2.4 Giải và biện luận
a)
2 x
3 x
1
x
m
x
−
+
=
−
3 m x
2 m mx
=
−
− +
c)
1 x
) 1 x ( a 1 x
b
1
x
1
ax
2
2
−
+
= +
+
−
= 0
Vấn đề 3:
ĐIỀU KIÊN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT CÓ
NGHỊÊM VÔ NGHỊÊM VÀ VÔ S NGHỊÊM
1)Điều kịên Ax = B có nghiệm duy nhất
≠
kiỉăn àiỉìu thoaã nghiỉăm
0 A
2) Điều kiện Ax = B nhận ∀x∈ là
nghiệm
=
=
0 B
0 A
3) Điều kiện Ax = B có nghiệm
Xét có nghiệm duy nhất
Xét có nghiệm là ∀ x ∈
4) Điều kiện Ax = B vô nghiệm
A = 0 và B ≠ 0
Có nghiệm và bị loại
Baâi têăp
3.1 Tìm m để phương trình có nghiệm duy
nhất
a) (m + 1)2x + 1 - m = (7m - 5)x
b)
m x
2 x
1
x
1
x
−
+
=
−
x
2 x 1 x
m
+
+ ĐS: a) m ≠ 2 ; 3 b) m ≠ -2 ; 0 ; 1 c) m ≠ 3 ; 1
3.2 Xác định m để phương trình có tập
nghiệm là
a) m2x = 9x + m2 - 4m + 3 b)m3x = m2 +
mx - m
c)(x - 1)a + (2x + 1)b = x + 2
d) (2x - 5)a + (4 - 3x)b + 6 - x = 0 ĐS: a) 3 b) 0 ; 1 c) a = - 1 ; b = 1 d) a =
2 ; b = 1
3.3 Tìm m để phương trình vô nghiệm
x
2 x 1 x
m x
=
− + + +
b)
1 x
3 m 2 x 1 x 4 1 x
m x
−
+
−
=
−
−
− +
c) (x- 1)m2 + xm + 2x - 1 = 0
m x
1 x 1 x
m
−
− +
−
− ĐS: a) m = 1 ; 3 b) m ≤2/3 c) ∅ d) m ≠ 1
3.4 Tìm m để phương trình có nghiệm
a) 2(|x| + m - 1) = |x| - m + 3 b)m2(x - 1) = 4x - 3m + 2 với x > 0 c)
2 x
1 m 2 x 2 x 2 x
m x
−
− +
=
− +
−
−
d) x − 2(mx - m + 4) = 0 ĐS: m ≤ 3/5 b) m < - 2 v m > 1 c) m > 1 d) tuỳ ý
Vấn đề 4:
HÊ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Xét hệ phương trình
= +
= +
2 2 2
1 1 1
c y b x a
c y b x a
D =
2 2
1 1
b a
b a
= a1.b2 - a2.b1
D x =
2 2
1 1
b c
b c
= c1b2 - c2b1
D y =
2 2
1 1
c a
c a
= a1c2 - a2c1 Nếu D ≠ 0 m ≠ ? hê có nghiệm duy nhất là
cặp số ( x=
D
; y =
D
Dy )
Nếu D = 0 và Dx≠ 0 v Dy≠ 0 : Hệ vô nghiệm
Nếu D = Dx = Dy = 0 : Hệ có vô số nghiệm thoả a1x + b1y = c1
Baâi têăp
4.1 Giải các hệ phương trình
Trang 3a)
=
+
=
+
1, 1 y
x
8, 7 y
24
x
27
b)
=
−
=
+
21 y x 13
23 y x 7
c)
=
−
=
−
8
y
x
3
y
x5
d)
=
−
=
+
11 y5 /3 x2 /5
16 y3 /2 x4 /3
e)
=
+
=
−
3 y
x
1
y
x
f)
=
−
−
−
= + +
2 2 y) 1 2 ( x
1 2 y x) 1 2 (
4.2 Cho hệ
=
−
=
−
154 v u3
50 v
u5
Hãy giải hệ và suy
ra nghiệm của hệ
=
−
+ +
=
−
− +
308 2 y
7 3 x 3
100 2 y
9 3 x 5
ĐS: u = 28 ; v = 10 x = -167/56 ; y = 41/20
4.3 Giải và biện luận ? khi hệ có nghiệm tìm
hệ thức giữa x ; y độc lập đối với m hoặc a ;
b
a)
+
=
+
+
=
+
5 m 2
my
x2
1 m
y2
mx
b)
= + + +
=
−
+
2 y) 1 m ( x) 2 m (
5 y) 2 m ( mx
c)
−
=
−
+
−
= +
−
m 1 y x)
2
m
(
1 m 3 y x)
1
m
(
d)
= +
+
=
−
+
2 my x2
1 m y) 1 m ( mx
e)
=
− +
−
= +
−
+
m y) 4 m ( x)
1
m
2(
4 y) 2 m ( x)
4
m
(
f)
=
−
=
− 2
2
b y bx
a y ax
g)
=
+
+
=
+
ab
2
ay
bx
b a
by
h)
=
−
−
=
−
b y b bx
b a by ax
2 2
Vấn đề 5:
ĐIỀU KỊÊN HÊ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
CÓ NGHỊÊM ; VÔ NGHỊÊM ; CÓ VÔ S NGHỊÊM
1) Hệ có nghiệm duy nhất khi D ≠ 0
2) Hệ vô nghiệm :
Tắnh D ; giải D = 0 m Thay m vào hệ hai phương trình khác nhau thì vô nghiệm
3) Hệ vô số nghiệm :
Tắnh D ; giải D = 0 m Thay m vào hệ hai phương trình giống nhau thì có vô số nghiệm
Baâi têăp
5.1 Cho hệ
+
= +
=
+
1 m 2 y mx
m 3 my
x
(m tham số )
a) Định m để hệ có nghiệm duy nhất ? Viết hệ thức liên lạc giữa các nghiệm độc lập đối với m
b) Tìm m ∈ để nghiệm của hệ là các số nguyên
ĐS: a) m ≠ổ1 ; (x(x - 2) = (y - 1)(y - 3) b) -3; -2; -1; 0
5.2 Cho hệ
+
= +
=
+
1 m my x
m 2 y
mx
(m là tham số )
a) Định m để hệ vô nghiệm ? b) Định số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là số nguyên ? Tắnh các nghiệm đó ? ĐS: a) m = -1 b) m= 0 : (1, 0) ; m = -2 : (3, 2)
5.3 Định m để hệ có nghịêm duy nhất
a)
=
− + + +
=
− +
+
0 m 3 1 y) 3 m ( mx
0 m 4 y8 x) 1 m
(
ĐS: m ≠ 1 ; m ≠ 3
b)
−
= +
−
= + +
)1 m ( 2 y
2 x
2 ) 2 m (
m y
1 m x
2 )1 m (
ĐS:m ≠ 0;2; 2ổ 6;-1ổ
3
5.4 Tìm điều kiện để hệ có vô số nghiệm
ỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜ
Trang 4a)
+
= +
+
+
= +
−
m 3 y2 x)
6
m
(
m 1 my
x4
ĐS: m = -2
b)
−
= +
=
+
−
= + +
+
1 b y) b a(
2 x)
a
5(
a b y) b a(
x)
a
1(
ĐS: a = 3 ; b = 5 v a = - b = -4ổ 17
5.5 Tìm điều kiện a ; b để hệ vô nghiệm
−
= +
+
=
+
b a ay bx
b a by
ax
ĐS: a = ổ b ≠ 0
Vấn đề 6:
CHỨNG MINH BẤT ĐẳNG THỨC
BĂNG ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN
1) Định nghĩa : a ≥ b a - b ≥ 0
* Các trường hợp dương : A2 ≥ 0 ; |A| ≥ 0 ;
A ≥ 0 ; tắch của hai số cùng dấu A.B ≥ 0 ;
tổng các bình phương A2 + B2 + C2≥ 0
2) Tắnh chất :
a) Tắnh cộng :
* Cộng hai vế cho cùng một số :
A ≥ B A + k ≥ B + k
* Cộng vê vớI vế của hai bất đẳng thức cùng
chiều :
A ≥ B & C ≥ D A + C ≥ B + D
( Chú ý : không được trừ vế vớI vế )
b) Tắnh nhân :
* Nhân hai vế của bất đẳng thức cho cùng
một số dương được bất đẳng thức cùng chiều
; nhân cho số âm thì bất đẳng thức đổI chiều
* A ≥ B vớI A.B > 0
A
1
≤ B 1
* A ≥ B > 0 An ≥ B n & n A ≥ n B
c) Tắnh b¡c cầu :
A ≥ B & B ≥ C A ≥ C
Baâi têăp
6.1 Dùng định nghĩa chứng minh :
a) ∀a ; b ; c ∈ : a2 + b2 + c2≥ ab + bc + ca
b) ∀a ; b ∈ : ab + a + b ≤ 1 + a2 + b2
c) ∀a ; b ; c ; d ; e ∈ :
a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e)
d) ∀a ; b ; c ∈ :
a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 + a2) ≥ 6abc
6.2 Chứng minh
a) ∀a ; b ∈ + : 2
a
b b
a
≥ + b) ∀a ; b ∈ :
2 2
2
2
b a 2
b a
+
≥ +
c) Cho a + b > 0 :
3 3
3
2
b a 2
b a
+
≥ +
d) ∀a ≠ 0 : + ≥ 2
a
1 a
6.3 ∀a ; b ; x ; y ∈ Chứng minh bất đẳng thức
Bunhiscôpski : |a.x + b.y| ≤ ( a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 )
Từ đó suy ra : 5.sina + 12cosa ≤ 13
6.4 Chứng minh các bất đẳng thức Trêbưsep
a) Nếu a ≥ b ; x ≥ y : 2(a.x + b.y) ≥ (a + b)(x + y)
b) Nếu a ≥ b ; x ≤ y : 2(a.x + b.y) ≤ (a + b)(x + y)
c) Nếu a ≥ b ≥ c ; x ≥ y ≥ z : 3(a.x + b.y + c.z) ≥ (a + b + c)(x + y + z) d) Nếu a ≥ b ≥ c ; x ≤ y ≤ z :
3(a.x + b.y + c.z) ≤(a + b + c)(x + y + z) e) Từ đó suy ra : trong mọI ∆ABC ta luôn luôn
có i) Aa + Bb + Cc ≥
3
π(a + b + c)
+
a h h h
S 18
a + b + c
6.5 Cho a + b = 1 Chũáng minh
a) a2 + b2 ≥
2
1 b) a3 + b3≥
4
1 c) a4 + b4 ≥
8 1
HD: a) gt2 + (a-b)2 ≥ 1 + 0 b) để ý -ab ≥ -
2 1 (a2 + b2)
c) (a2 + b2)2 + (a2 - b2)2≥
4
1 + 0
6.6 Cho a ; b ; c là ba cạnh tam giác ABC
a) a.b.c ≥ (a + b - c)(a - b + c)( - a + b + c) b)
c b a
3 a c
1 c b
1 b a
1
+ +
>
+
+ +
+ + c) a3 + b3 + c3≥ 3.a.b.c
HD : a) a ≥ |b - c| a2≥ a2 - (b - c)2 ; tắnh nhân b) a + b + c > a + b ; tắnh cộng c) ( .).A ≥ 0
6.7 Chứng minh
a) Nếu |a| ≤ 1 ; |b| ≤ 1 thì |a + b| ≤ |ab + 1| b) Nếu a ; b ; m > 0 và
b
a ≤ 1 thì
b
m b
m a + +
Trang 5c) Nếu a ; b ; m > 0 và
b
a
≥ 1 thì
b
a
≥ m b
m a +
+ HD: a) bình hai vế b) vì a ≤ b c) vì a ≥ b
6.8 Chứng minh
a) Nếu a ≥ b ≥ 1 thì
b a 1
2 b
1
1 a
1
1
2
2 + + ≥ + +
b) Nếu x ; y ∈ và x + y > 0 thì
y x y
2 4
1
1 4
1
1
+
+
≥ +
+ + HD: a) quy đồng đưa về (a - b)2(ab - 1) ≥ 0 b)
tương tự
6.9 Cho a ; b ; c ; d ; x ; y ; z > 0 Chứng minh
a) 1 <
a c
c c b
b b
a
a
+
+ +
+
b) 2 <
b a d
a d a d c
d c d c b
c b c b
a
b
a
+ +
+ + + +
+ + + +
+ + +
+
c) Nếu xa ≤by ≤zc thì xa ≤xa +by+zc ≤zc
HD: a) a/(a + b + c) < a/(a + b) b) (a + b)/(a + b
+ c + d) c) a < x(c/z) và a = x(a/x) cộng vế
kết quả
6.10 Chứng minh
d b
cd ab d
c b
a
+
+
<
<
b
a thìi b) Nếu a ; b ; c ; d > 0 thì
d
b1 c
a1 d
1
c
1
b
1
a
1
1 1
1
+ + +
≤
+
+
+
c) Nếu a > b > 0 và m > n ; m ; n ∈ thì ta có
n n
n n m m
m m
b a
b a b a
b a
+
−
>
+
−
d) Nếu
3
4 b 1
1 a
1
+
+
1
HD : a) quy đông ad - bc ≥ 0 (đ) b) quy đồng
(ad - bc)2 ≥ 0 (đ) c) qui đồng am - n > bm - n
(đ)
Vấn đề 7:
CHỨNG MINH BẤT ĐẳNG THỨC
BĂNG Bất đẳng thức cauchy
1) Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số :
Cho a ; b ≥ 0 :
a + b ≥ 2 ab ab ≤ 2
2
b a
+
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b
2) Bất đẳng thức Cauchy cho n số :
Cho n số a1 ; a2 ; ; an≥ 0
a1 + a2 + + an ≥ nn
n 2
1a a a
a1a2 .an≤
n n 2
1
n
a
a a
Dấu đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 = =
an
3) Hệ quả :
* Nếu hai số a ; b có tổng không đổI thì tắch
2
b a
+
*Nếu hai số a ; b có tắch không đổI thì tổng đạt GTNN khi a = b : a + b ≥ 2 a b
Baâi têăp
7.1 Dùng bất đẳng thức Cauchy cho hai số
chứng minh : a) Cho a ; b > 0 :
a
b b
a + ≥ 2 b) Cho a ; b ≥ 0 : (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab
+
b
1 b a
1
≥ 4
+
+
a
b 1 b
a
+
b
1 a a
1
≥ 4
c
1 b b
1 a a
1
≥
+
+
+
a
c 1 c
b 1 b
a
≥
+
+
+
c
1 c b
1 b a
+
+
+
k k
2 a
b 1 b
a
+ +
7.2 Cho a ; b ≥ 1 Chứng minh a)
2
ab 1 b
b a 1 a b 1 b
c) a b + bc + ca ≤ a + b + c
7.3 Cho a ; b ; c ≥ 0 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho ba số : a + b + c ≥ 33 a.b.c
7.4 Cho a ; b ; c ; d > 0 Chứng minh
a) ( a + b + c ) (
c
1 b
1 a
1 + + ) ≥ 9 b) ab + bc + ca ≥ 33 a2.b2.c2
c) (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + 3 a.b.c ) 3
d)2 a +33 b+44c≥9.9abc
e) a6 + b9 ≥ 4(a2b3 - 16) f) a2b + b2c + c2a ≥ 3abc
ỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜ
Trang 6g) ( a + b )( c + d ) + ( a + c )( b + d ) + ( a + d )( b + c ) ≥
≥ 6.4 abcd
h) ( a + c )( b + d ) ≥ ab + cd
7.5 Cho a ; b ; c > 0 CM :
a) a2b + b2c + c2a ≥ abc(a + b + c)
b) a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
c)
abc
1 abc c a
1 abc
c b
1 abc
b
a
1
3 3 3
3 3
+ +
+ + +
+ +
+
7.6 Cho a ; b ; c ; p là ba cạnh tam giác ; p là
nửa chu vi của tam giác CM:
a)
b a
4
b
1
a
1
+
≥
+
≥
−
+
−
+
1 b
1 a
1 2 c p
1 b
p
1
a
p
1
7.7 Cho a ; b ; c ; d > 0 CM :
a)
2
3 c a
b c b
a
b
a
c
≥ +
+ +
+
+
b) Nếu a.b.c.d = 1 thì (1 + a)(1 + b)(1 + c)(1
+ d) ≥16
c) Nếu a + b + c = 1 thì :
5
3 c 2
c b
2
b
a
2
a
≥
−
+
−
+
−
d) Nếu a + b + c = 1 thì
4
3 c 1
c b 1
b a 1
+
+ +
+ +
c 1
1 b 1
1 a
1
1
= +
+ +
+
1 f) Nếu a + b + c = 1 thì
64 c
1 1 b
1
1
a
1
+
+
+
Vấn đề 8:
DÙNG BẤT ĐẳNG THỨC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
GHI CHUÁ :
1) Có : a.b ≤
2
2
b a
(ab)max = hằng số khi a = b
2) Có : a + b ≥ 2 a b = hằng số
(a + b)min = hằng số khi a = b
-
8.1 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số và trị số
của x tương ứng ?
a) y = f(x) = (2x - 1)(3 - x) vớI
2
1 ≤ x ≤ 3 b) y =
x
4
x− vớI x ∈
c) y = x(3 - 3 x) vớI 0 ≤ x ≤ 3
d) y =
x
2
x− + 1 khi x ≥ 2
ĐS: a)25/8 ; x = 7/4 b) 1/8 ; x = 8 c) 3 3
/4 ; x = 3 /2 d) 1/6 ; x = 4
8.2 Tìm GTNN của hàm số sau
a) y =
1 x
2 2
x
− + khi x > 1 b) y = 3x +
1 x
4 + khi x > -1
1 x
3 + + khi x ≥ 0 d) y =
1 x
1 x
x2 +
+ + khi x > - 1
e) y =
3 x
5 x
x2 +
+
− khi x > - 3
8.3
a) Tìm GTLN : y = (2 3x)(2x + 3) khi
-2
3 ≤ x ≤
3 2
b) Tìm GTNN : y =
1 x
4 x
x2
−
+ + khi x > 1
Vấn đề 9:
BẤT PHƯƠNG TRÌNH & HÊ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT
1) Giải và biện luận bất phương trình :
Ba Trường hợp A.x ≥ B A.x ≤ B
A = 0 0.x âm≥ số
∀ x ∈
0.x ≥ số
dương
∅
0.x ≤ số
âm
∅
0.x ≤ số dương
∀ x ∈
2) Dấu của nhị thức bậc nhất f(x) = a.x +
b
x - ∞ -
a
b + ∞
f(x) Trái dấu vớI hệ số a 0 Cùng dấu vớIhệ số a
Baâi têăp
9.1 Giải và biện luận
a) mx + 1 > x + m2 b) x + 2m ≤ 1 + 2mx
c) m(x - m) ≤ x - 1 d) mx + 6 > 2x + 3m
e) (m + 1)x + m < 3x + 4 f) x(1 - m)2 > 1 - 2mx
g) 5(m + 1)x + 2 < 3m + 4x h) mx ≥ 1 +
m
Trang 7e) x + 1 >
b
a x a
b
+ vớI a ; b > 0 f) x +
1 a
1 x 1
a
1
x
+
+
>
+
− - ( a + 2 )x vớI a ≠ -1
9.2 Giải và biện luận các bất phương trình
sau
a) 3(x + m) + mx > x(m + 3) + 2
b) m(1 - x) ≤ 3 - m(x + 1) c) (m Ờ x)2 ≥
2(3 Ờ x )
d) (m + 1)x Ờ m ≥ x + m(x Ờ 2) + 6
9.3 Giải và biện luận
a) m x ≥ 0 b) m x < 0 c) x ≥ m
d) x + m2 ≤ 0 e) m( x - 3) ≥ 0
f) |x - 2| < m g) |x2 +m | ≤ 0
9.4 Giải các bất phương trình
a) 2x.(2x - 5) > 0 b) (2x- 3)(3x- 4)(5x
+2)> 0
c) 25 - 16x2 > 8x2 - 10x d) (3x+ 2)(16- 9x2) < 0
e)
5
x
2
)
2
x
(
x
4
+
5 x
2 x 2 x
5 x
−
+
<
+
−
2
x
4
x
>
−
1 x
5 1 x
2
−
≤
x
2
3
1
x
4
−
<
+
−
x
1
x
x2
−
≥
−
) 2 x ( ) 7 x (
) 6 x ( ) 2 x ( ) 1 x (
2 3
4 3
≤
−
−
+ +
−
) 1 x x )(
3 x )(
1 x
(
) 5 x ( ) 6 x ( ) 3 x ( ) 1 x
(
)
3
x
2
(
2 2
2
4 5
2 3
≥ +
−
−
− +
+ +
−
−
−
9.5 Giải các bất phương trình
a)|2x - 5| ≤ x + 1 b)|x + 2| ≥ x + 1
c) |2x + 1| < x d)|x - 2| > x + 1
e) 2|x - 1| < x + 1 f) |x - 2| ≤ 2x - 1
9.6 Giải hệ bất phương trình ? chọn các số
nguyên thoả hệ
a)
+
<
+
+
>
+
25 x
2
3
x
7 x
7
5
x
b)
−
<
−
+
>
−
2
14 x ) 4 x ( 2
3
1 x 2 x 15
c)
−
<
+
+
<
−
3
x 8
2
5
x
5
1 x
4
3
x
d)
−
−
−
>
−
−
−
>
−
−
−
−
9
x 4 12
1 x 18
1 x 3
2
x 5 1 8
) 2 x (3 4
1 x
e)
≤
−
− +
≥
− +
0 1
x
) 4 x )(
2 x (
1 1 x
3 x
f)
−
>
+
< + +
3 x
1 1 x 2
0 )4 x )(
1 x(
Vấn đề 10:
BẤT PHƯƠNG TRÌNH & HÊ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT CÓ CHỨA THAM S ; chứa tắch hoặc
thương các nhị thức bậc một 1) Xét các trường hợp làm cho hệ số của x bằng không ; giải trực tiếp các trường hợp này 2) So sánh các nghiệm x1 ; x2 của các nhị thức để viết khoảng nghiệm kết hợp vớI hệ số a của các nhị thức
Baâi têăp
10.1 Giải và biện luận
1 x
1 m
+
−
1 x
1 m mx
−
+
c) x − 1(x - m + 2) > 0d) m2x2 < (x + 1)2 e) x(x - m) < 0 f)(x - m)(x - 2m) < 0 g) (x - m)2(x - 2m) < 0 h) (x - m)2(x - 2m)
≤ 0
2 x
4 m
−
−
− j) 1−x(mx−2)<0
10.2 Tìm m để hệ hệ bất phương trình
a) vô nghiệm ? b) có nghiệm duy nhất ?
(1)
≤ +
≤
−
−
m 1 x
0 2 x
1 x
(2)
−
−
≤ +
≥ +
−
)2 x )(
1 m ( )1 x(
m
0 2 )1 x(
m
ĐS: (1) VN m < 5 ; DN m = 5 (2) VN 0< m <1; DN
m = 1
10.3 Giải và biện luận theo a ? sau đó tìm a
để hệ
a) vô nghiệm
+
−
≤ +
−
+
>
−
9 a2 x2 )3 a x(
3
x 1 )1 x(
2
ĐS: a ≤ 3
b) có nghiệm duy nhất
≥
− +
−
≤
+
0 5 x x5 x
3 a x
2
ĐS: a = -2
ỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜỜ
Trang 8c) có nghiệm x ∈ (3 ; +∞) :
≤
− +
−
>
−
0 a x ax x
0 3 x
2 3
ĐS: a ≤ 3
10.4 Giải và biện luận theo m
a)
>
−
−
>
−
0 m x)
2
m
3(
0
1
mx
b)
−
≥
−
≤
−
m 2 m mx
m 2 m x) 2 m (
2 2
c)
≥
−
≥
−
+
≥ +
−
0
1
x
0 2
m
x
0 1
m
2
mx
d)
− +
>
+
+
−
≤ +
−
≥ +
x )2 m 3(
m 1 x m
9 )1 x ( )2 x (
1 x 5 x
2
2 2
e)
+
<
+
<
−
−
m x 1
mx
0 )2 x
)(
1
x(
f)
>
+
<
−
+ 4 m x
1 x
4
x 2 x
1 x
10.5 Định m để hàm số có tập xác định là ∀x
≥ 1
y = mx − 2 m + 1 + x + m − 2
ĐS: 0 ≤ m ≤ 1
10.6 Cho hai đường tròn :
(O, R = x + 2) và (OỖ, r =1-2x) ; có khoảng
cách hai tâm là OOỖ = 4cm Xác định x để
a) Hai đường tròn tiếp xúc trong ?
b) Hai đường tròn c¡t nhau ?
ĐS: a) x = -5/3 b) -5/3< x < -1
10.7 Tìm m để hai bất phương trình tương
đương ?
a) (m - 1)x + 3 - m > 0 và (m + 1)x + 2 - m >
0
b) mx - m - 1 > 0 và (m - 2 )x + m < 0
ĐS: a) m = 5 b) m =
4
17
1+
10.8 Tìm m để bất phương trình (1) là hệ
quả của bất phương trình (2)
a) 2x + m > 0 (1) x + 1 - 3a > 0 (2)
b) 2x - m > 0 (1) x + 2m - 3 > 0 (2)
c) x > m (1) |x| < m (2)
d) (x - 3m)(x - m - 3) < 0 (1) (x - 1)(x - 3) ≤ 0
(2)
ĐS: a) m ≥
7
2
b) m ≤
5
6 c) m ≤ 0 d) 0 <
m <
3
1
Vấn đề 11:
BẤT đẳng thức schwart 1) Schwart cho hai cặp số (a, b) và (x, y) :
| a.x + b.y| ≤ ( a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 )
Dấu đẳng thức xảy ra khi xa =yb = t 2) Schwart mở rộng cho 2n số
a1 ; a2 ; an và b1 ; b2 , bn : |a1b1 + a2b2 + +anbn| ≤
≤ (a a a )(b b b2)
n 2
2 2 1 2 n 2
2 2
Dấu đẳng thức xảy ra khi ;
n
n 2
2 1
1
b
a
b
a b
a
=
=
Baâi têăp
11.1 Chứng minh
a) Nếu hai số x , y thoả :
x2 + y2 = 1 thì |x+3y| ≤ 10
b) Nếu a > c > 0 và b > c :
ab ) c b ( c ) c a (
c) Nếu có 2a + 3b = 4 thì 2a2 + 3b2≥ 16/5 d) Nếu có x ; y thoả 4x - 6y = 1 thì 4x2 + 9y2≥ 8
1 e) ∀a; b; c ∈ :
2
3 ) a 1 ( c ) c 1 ( b ) b 1 (
a2 + − 2 + 2+ − 2 + 2 + − 2 ≥
11.2 Chứng minh nếu a ; b > 0 và a + b = 1
thì :
2
25 b
1 b a
1 a
2 2
≥
+ +
+
HD: x2 + y2≥
2
1 (x2 + y2) và 4
ab
1
≥
11.3 Cho a > b > 0 Chứng minh :
(a3 + b3) (
a
1 + b
1 ) > (a + b)2 HD: (a + b)2 = (
b
1 b a
1
a3 + 3 )2
11.4 Cho x2 + y2 = 1 Chứng minh a)1+ab+(a+b)x+(ab -1)y ≤ 1+ab+
2
2 ( 1 b ) )
a 1
b)