Bài 3. Hàm số liên tục

Mục đích, yêu cầu: - Kiến thức: biết khái niệm hàm số liên tục tại một điểm, biết định nghĩa và tính chất của hàm số liên tục trên một khoảng, một đoạn.... vào việc nghiên cứu tính liên

Trường THPT Bình Mỹ

Tổ chuyên môn: Toán

GIÁO ÁN

Tên bài: Hàm Số Liên Tục.

Tiết: 58 Chương: IV

Họ và tên sinh viên: Lý Hồng Hào MSSV: DTO055063

Họ và tên giáo viên hướng dẫn: Phạm Văn Lường.

Ngày tháng năm 2009

I Mục đích, yêu cầu:

- Kiến thức: biết khái niệm hàm số liên tục tại một điểm, biết định nghĩa và tính chất của hàm số liên tục trên một khoảng, một đoạn (đặc biệt là đặc trưng hình học của nó) và các định lý nêu trong SGK

- Kỹ năng, kỹ xảo cơ bản: vận dụng định nghĩa, định lý vào việc nghiên cứu tính liên tục của hàm số, sự tồn tại nghiệm của phương trình dạng đơn giản

- Tư tưởng: rèn luyện tính cẩn thận trong khi làm bài tập

II Phương pháp, phương tiện:

- Gợi mở, đặt vấn đề

- Phát huy tính tích cực của học sinh

- Sử dụng SGK, hình vẽ, thước thẳng, compa

III Tiến trình:

- Ổn định lớp: kiểm tra sỉ số ( 1’ )

- Kiểm tra bài củ: ( 4’ )

Tính các giới hạn sau:

1) Cho f(x)=x2, tính:

a)

1

lim ( )

x

f x



b) f(1)

2) Cho

2

2

2 êu x 1 ( ) 2 êu -1< x <1

2 êu x 1







, tính:

a) g(1)

b) lim ( )x1g x

- Tiến trình bài học:

Phân bố

thời

gian

Nội dung ghi bảng Hoạt động của GV và hoạt động

của học sinh

I.Hàm số liên tục tại một điểm.

Định nghĩa 1:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên

khoảng K và x0 K

Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại

-GV: Yêu cầu HS so sánh f(1) với

1

lim ( )

x

f x

 , g(1) với lim ( )1

Sau đó hãy nhận xét về đố thị của mỗi hàm số tại điểm có hoành độ x=1

-HS: thực hiện yêu cầu của GV -GV: Khi đó hàm số y=f(x) liên tục tại x=1 và hàm số y=g(x) không liên tục tại điểm này

-GV: yêu cầu HS nêu định nghĩa -HS: nêu định nghĩa

x nếu lim ( )0 ( )0

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số

( )

2

x

f x

x



 tại x0= 3

Giải:

Hàm số y=f(x) xác định trên R \ {2},

do đó xác định trên khoảng (2;+ )

chứa x0= 3

2

x

x

 Vậy hàm số y=f(x) liên tục tại x0=3

II.Hàm số liên tục trên một

khoảng.

Định nghĩa 2:

-Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục

trên một khoảng nếu nó liên tục tại

mọi điểm của khoảng đó

-Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục

trên đoạn  a b nếu nó liên tục trên ; 

khoảng  a b và ; 

lim x a f x ( )  f a ( )

lim f x ( ) f b ( )

x b 



-GV: nêu lại chính xác đinh nghĩa -GV: hàm số y=f(x) không liên tục tại x được gọi là gián đoạn tại0

điểm đó.

-HS: lắng nghe

-GV: để xét tính liên tục của hàm

số đã cho, các em cần phải tính những gì?

-HS:(dự kiến trả lời) +Tìm TXĐ của hàm số (có chứa

0

x ).

+Tính và so sánh f(3) và lim ( )3



. -GV: gọi HS lên bảng giải

-HS: lên bảng giải

-GV: gọi một HS nhận xét về bài giải của bạn Sau đó GV đưa ra nhận xét của mình

-GV: các em đã biết thế nào là một hàm số liên tục tại một điểm, vậy nếu hàm số đã cho liên tục tại mọi điểm trên một khoảng nào đó thì ta sẽ có điều gì?

-HS: trả lời

Dự kiến trả lời: liên tục trên khoảng

-GV: nếu xét trên đoạn thì sao? Liệu nó có cần xét đến hai đầu mút không?

-HS: có

-GV: vẻ hình và hướng dẫn cụ thể -HS: lắng nghe

-GV: giải thích rõ định nghĩa Và nêu thêm về khái niệm hàm số liên tục trên nữa khoảng, như (a;b], [a,+ ), (được định nghĩa một cách tương tự).

-GV: các em hãy quan sát hình

55, hai hàm số có liên tục trên đoạn   2; 2  ?

-HS: Hình thứ nhất thì liên tục, hình thứ hai thì không

-GV: Vậy trong hai đồ thị, đồ thị nào là một đường liền? Từ đó các

em rút ra nhận xét gì?

-HS: đồ thị 1 là một đường liền Vậy đồ thị của một hàm số liên tục là một đường liền

III.Một số định lý cơ bản.

Định lý 1:

a) Hàm số đa thức liên tục trên

toàn bộ số thực R.

b) Hàm số phân thức hữu tỉ

(thương của hai đa thức) và

các hàm số lượng giác liên tục

trên từng khoảng của tập xác

định của chúng

Định lý 2:

Giả sử y=f(x) và y=g(x) là hai hàm

số liên tục tại x0 Khi đó:

a) Các hàm số y=f(x)+g(x),

y=f(x)-g(x) liên tục tại x0;

b) Hàm số ( )

( )

f x y

g x

 liên tục tại điểm x0 nếu g(x) 0.

Ví dụ:

-GV: cho hàm số y=2x+1, vẻ đồ thị của hàm số đó Vậy hàm số đã cho có liên tục trên (1;1), (2;2),

R không?

-HS: có

-GV: hàm số trên có phải là một hàm đa thức không?

-HS: phải

-GV: vậy các em rút ra điều gì? -HS: trả lời

Dự kiến trả lời:

Nội dung a) của định lý 1

-GV: vẻ đồ thị hàm số 1

y x

 , và hàm số y  tan x về tính liên tục?

Từ đó rút ra điều gì?

HS: nhận xét.

Dự kiến trả lời:

Nội dung b) của định lý 1.

-GV: Giả sử y=f(x) và y=g(x) là hai hàm số liên tục tại x0. Đặt h x ( )  f x ( )  g x ( ), hãy tìm

0

lim ( )

x x h x

-HS:

0

lim ( )

x x h x

   f x ( )0  g x ( )0 

-GV: dựa vào định nghĩa ở trên, các em có thể kết luận điều gì? -HS: trả lời

Dự kiến trả lời:

Nội dung định lý 2

-GV: Tương tự cho trường hợp f(x)-g(x), f(x)/g(x)

Cho hàm số

2

êu 1

n x

n x





  



Xét tính liên tục của hàm số trên tập

xác định của nó

Giải:

Tập xác định của hàm số là R.

-Nếu x  1 , thì

2

( )

1

h x

x





Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác

định là (   ;1) (1;   )

Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng

(- ;1) và (1;+ )  

-Nếu x  1, ta có h(1)=5 và

2

lim ( ) lim

1

h x

x





2 ( 1)

1

x x

x x





Vì lim ( )1

  h (1), nên hàm số đã cho

không liên tục tại x=1

Kết luận: Hàm số đã cho liên tục

trên các khoảng (   ;1) , (1;  ) và

gián đoạn tại x=1

Định lý 3:

Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn

[a;b] và f(a)f(b)<0, thì tồn tại ít nhất

một điểm c  ( ; ) a b sao cho ( ) 0 f c 

Định lý 3 thường được áp dụng để

chứng minh sự tồn tại nghiệm của

phương trình trên một khoảng

Định lý 3: (phát biểu cách khác)

Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn

[a;b] và f(a)f(b)<0, thì phương trình

f(x)=0 có ít nhất một nghiệm nằm

trong khoảng (a;b)

-GV: các em lưu ý xét 2 trường hợp x  1 và x  1

-GV: Tập xác định của hàm số là gì?

-HS: là R.

-GV: Nếu x  1, thì h(x)=? Đó là hàm gì? TXĐ?

-HS:

2

( )

1

h x

x





 Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là (   ;1) (1;   )

-GV: từ đó dẫn đến kết luận gì? -HS: Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng (- ;1) và (1;+ )   -GV: tương tự cho trường hợp còn lại.

-GV: vẻ đồ thị bất kỳ thỏa f(a)f(b)<0, yêu cầu HS nhận xét rằng đồ thì có cắt trục hoành không?

-HS: có

-GV: từ đó liên hệ đến định lý 3

-GV: nêu định lý 3 (cách khác) -GV: để chứng minh phương trình nào đó có ít nhất một nghiệm, ta cần chứng minh điều gì?

-HS: định lý 3 (cách khác)

Hình 59.

Ví dụ:

Chứng minh rằng phương trình

x  x   có ít nhất một nghiệm.

Giải:

Xét hàm số 3

f x  x  x 

Ta có: f(0)=-5 và f(2)=7

Do đó, f(0)f(2)<0

y=f(x) là hàm số đat thức nên liên tục

trên R Do đó, nó liên tục trên đoạn

[0;2] Từ đó suy ra phương trình

f(x)=0 có ít nhất một nghiệm

0 0; 2

Chú ý:

Nếu nhận xét thêm rằng

f(1)f(2)= -14<0 thì ta có thể kết luận

phương trình có ít nhất một nghiệm

trong khoảng  1; 2    0; 2 

-GV: áp dụng định lý trên để làm

ví dụ

-HS: giải

IV Củng cố.

Định nghĩa, định lý cách chứng minh một hàm số có ít nhất một nghiệm:

-Hàm số liên tục tại một điểm

-Hàm số liên tục trên khoảng

-Hàm đa thức, hàm phân thức hữu tỷ

-Hàm tổng, tích, thương, hiệu

V Bài tập về nhà.

Làm tất cả các bài tập trong SGK

Bài 1: Tương tự ví dụ 1 trang 136, SGK

Bài 2:

a) Tương tự ví dụ 2 trang 137, SGK

b) Giả sử ta tính được lim ( )2

  , khi đó ta sẽ thay số 5 bởi giá trị a vừa tính.

Bài 6:

a) Dựa vào định lý 3 Ta sẽ xét 2 đoạn sao cho ở mỗi đoạn đanh xét nó thỏa mãn định lý 3.

b) Đặt g x ( )   x cos x Sau đó áp dụng định lý 3.

Ngày soạn:

GVHD duyệt Người soạn

Phạm Văn Lường Lý Hồng Hào