2.Kỹ năng: Rèn luyện kỹ năng xác định xét tính liên tục của hàm số.. 3.Tư duy: Vận dụng định nghĩa vào việc nghiên cứu tính liên tục của hàm số và sự tồn tại nghiệm của phương trình
Trang 1Tiết 10 : BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC
A.MỤC TIÊU :
1.Kiến thức :
Khái niệm hàm số liên tục tại 1điểm ,hàm số liên tục trên 1 khoảng và các định lí cơ bản
2.Kỹ năng:
Rèn luyện kỹ năng xác định xét tính liên tục của hàm số
3.Tư duy:
Vận dụng định nghĩa vào việc nghiên cứu tính liên tục của hàm số và sự tồn tại nghiệm của phương trình dạng đơn giản
4 Thái độ:
Cẩn thận ,chính xác
B.CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS
GV: giáo án , phiếu học tập, bảng phụ
HS: ôn tập các kiến thức cũ về giới hạn của hàm số
C.PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: phương pháp gợi mở ,vấn đáp
D.TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:
PHT: Cho 2 hàm số f(x) = x2 và g(x) =
1 ,
2
1 1
, 2
1 ,
2
2 2
khix x
x khi
khix x
a, Tính giá trị hàm số tại x = 1 và so sánh giới hạn (nếu có) của hàm số khi x 1
Trang 2b, Nêu nhận xét về đồ thị của mỗi hàm số tại điểm có hoành độ x = 1 (GV treo bảng phụ)
Hoạt động của HS Hoạt động của GV Ghi bảng
HS nêu Định nghĩa về hàm
số liên tục tại 1 điểm
TXĐ D = R\ {3}
Thế nào là hàm số liên tục tại 1 điểm?
Tìm TXĐ của hàm số?
Xét tính liên tục của hàm
số tại x0 = 2 ta kiểm tra
I Hàm số liên tục tại một điểm
Định nghĩa1:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0 K.Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu
) ( ) (
0
x f x f
x
* Hàm số y = f(x) không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó
Ví dụ:
1.Xét tính liên tục của hàm số:
f(x)=
3
2
x
x
tại x0 = 2
TXĐ : D = R\{3}
4 3 2
2 2 3
2 lim ) ( lim
2
x x
f
x x
f(2) = 4
3 2
2 2
Trang 3? ) 2 (
)
(
lim
2 f x f
lim ( ) 4
f x
x
f(2) = -4
Hàm số liên tục tại x0 = 2
+ TXĐ: D = R
+ f(1) = a
+ lim ( ) 2
f x
x
điều gì?
Hãy tính lim ( )
2 f x
x ? f(2)=?
Kết luận gì về tính liên tục của hàm số tại x0 = 2?
+ Tìm TXĐ ?
+Tính f(1)?
+Tính lim ( ) ?
1 f x
x
+ a = ? thì hàm số liên tục tại x0=1?
) 2 ( ) ( lim
2 f x f
Vậy hàm số liên tục tại x0 =2
2.Cho hàm số
f(x) =
1
1 1
1
2
akhix
khix x
x
Xét tính liên tục của hàm số tại
x0= 1
TXĐ: D = R
f(1) = a
1
) 1 )( 1 ( lim 1
1 lim ) ( lim
1 2
1
x x x
x x
f
x x
x
=lim ( 1 ) 2
x
x
+ a =2 thì lim ( ) ( 1 )
1 f x f
Vậy hàm số liên tục tại x0 = 1
+ a 2thì lim ( ) ( 1 )
1 f x f
Vậy hàm số gián đoạn tại x0 =
1
Trang 4+hàm số liên tục tại x0 = 1
lim ( ) ( 1 )
1 f x f
+ a 2thì hàm số gián đoạn
tại x0=1
TXĐ : D = R
) 0 ( ) ( lim
)
(
lim
0 0
f x f x
f
x
x
f(0) = 0
0 lim
)
(
lim
0 0
x x
f
x
x
1 ) 1 ( lim
)
(
0 0
x x
f
x
x
0 0
) ( lim
)
(
lim
x x
x f x
f
+ a = ? thì hàm số gián đoạn tại x0 = 1?
Tìm TXĐ?
Hàm số liên tục tại x0 =
0 khi nào?
Tính f(0)?
Tính lim ( ) ?
0
x f
x
Tính lim ( ) ?
0
x f
x
Nhận xét lim ( )
0
x f
x và
? ) ( lim
0
x f
x
Kết luận gì?
3 Cho hàm số f(x) =
0
0 1
2
xkhix
khix x
Xét tính liên tục của hàm số tại x
= 0
TXĐ: D = R
f(0) = 0
0 lim ) ( lim
0 0
x x
f
x x
1 ) 1 ( lim ) (
0 0
x x
f
x
Vì
0 0
) ( lim ) ( lim
x x
x f x
f
Nên lim ( )
0 f x
x không tồn tại và do
đó hàm số không liên tục tại x0 =
0
II Hàm số liên tục trên một khoảng
Định nghĩa 2:
Trang 5Hàm số không liên tục tại
x0= 0
HS định nghĩa tương tự
TXĐ : D = R
Hàm số liên tục trên nửa khoảng (a ; b ] , [a ; + ) được định nghĩa như thế nào?
Các hàm đa thức có TXĐ
là gì?
Các hàm đa thức liên tục trên R
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên 1 khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó
+ hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên [a ; b] nếu nó liên tục trên
(a ;b) và lim f(x) f(a)
a x
lim f(x) f(b)
b x
Chú ý: đồ thị của 1 hàm số liên
tục trên 1 khoảng là 1 “đường liền” trên khoảng đó
III,Một số định lí cơ bản
ĐL 1: SGK
ĐL 2: SGK
Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm
số
y =
2
cos tan
) 1 (
x
x x
x
Trang 6Tổng,hiệu ,tích ,thương các
hàm số liên tục tại 1 điểm
TXĐ:D=R \{ 2; k
Z
hàm số liên tục tại mọi điểm
x 2 và x k
+ x > 1 : f(x) = ax + 2
Hàm số liên tục trên (1 ;
+ )
Tìm TXĐ?
kết luận gì về tính liên tục của hàm số ?
+ x > 1 : f(x) = ?
kết luận gì về tính liên tục của hàm số?
+ x< 1 : f(x) = ?
kết luận gì về tính liên
TXĐ : D = R \{ 2; k
Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm
x 2 và x k
Ví dụ: Cho hàm số
f(x) =
1 1
1 2
2
khix x
x
khix ax
Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số
+x >1 : f(x) = ax + 2 nên hàm số liên tục
+x < 1: f(x) = x2x 1nên hàm số liên tục
+tại x = 1:
f(1) = a +2
2 )
2 ( lim ) ( lim
1 1
a ax
x f
x
1 ) 1 (
lim ) (
1 1
x x x
f
x x
a = -1 thì lim ( ) lim ( ) ( 1 )
1 1
f x f x
f
x x
nên hàm số liên tục tại x = 1
a 1 hàm số gián đoạn tại x = 1
Trang 7+ x< 1: f(x) = x x 2
Hàm số liên tục trên (- ; 1 )
f(1) = a +2
2 )
2 ( lim
)
(
lim
1 1
a ax
x
f
x
1 ) 1 (
lim
)
(
1 1
x x x
f
x
x
a =-1thì hàm số liên tục trên
R
a -1 thì hàm số liên tục
trên
( - ; 1 ) ( 1 ; )
GV treo bảng phụ hình 59/
tục của hàm số?
+ Xét tính liên tục của hàm số tại x = 1?
Tính f(1)?
? ) ( lim
1
x f
x
? ) ( lim
1
x f
x
kết luận gì về tính liên tục của hàm số trên toàn trục số?
HS quan sát hình vẽ
Vậy:a = -1 thì hàm số liên tục trên
R
a -1 thì hàm số liên tục trên
( - ; 1 ) ( 1 ; )
ĐL 3: Nếu hàm số y = f(x) liên
tục trên đoạn [ a; b] và f(a).f(b) <
0 thì tồn tại ít nhất 1 điểm c ( a; b) sao cho f( c) = 0
Nói cách khác:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên
[a ; b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong (a ; b)
Ví dụ : Chứng minh rằng phương
trình :x5 + x -1 có nghiệm trên(-1;1)
Giải: Hàm số f(x) = x5 + x -1 liên tục trên R nên f(x) liên tục trên [-1; 1]
f(-1) = -3
f(1) = 1
do đó f( -1) f(1) = -3 < 0
Trang 8SGK và giải thích
GV nhấn mạnh ĐL 3 được
áp dụng đẻ CM sự tồn tại
nghiệm của phương trình
trên 1khoảng
a = -1 ; b = 1
hàm số f(x) = x5 + x -1 liên
tục trên R nên liên tục trên
đoạn [-1;1]
f(-1) = -3
f(1) = 1
f( -1) f(1) = -3 < 0
a = ?, b = ?
hàm số f(x) = x5 + x -1 liên tục ko?
Tính f (-1)?
f(1) ?
Kết luận gì về dấu của f(-1)f(1)?
Vậy phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc ( -1; 1)
Củng cố:ĐN hàm số liên tục tại 1 điểm
ĐN hàm số liên tục trên 1 khoảng
Trang 9Một số định lí cơ bản
BTVN: các bài tập SGK