Chứng minh tỉ lệ thức

Phòng giáo dục huyện vĩnh bảo đề tài : "chứng minh tỉ lệ thức bằng nhiều cách khác nhau " nhằm phát triển t duy linh hoạt sáng tạo cho học sinh... Chúng ta chỉ có thể thông qua hoạt động

Trang 1

Phòng giáo dục huyện vĩnh bảo

đề tài : "chứng minh tỉ lệ thức bằng nhiều cách khác nhau "

nhằm phát triển t duy linh hoạt sáng tạo cho học sinh

Trang 2

vì xét cho cùng , công việc giáo dục phải đợc tiến hành trên cơ sở tự nhận thức , tự hành động Giáo dục phải đợc thông qua hành động vàbằng hành động của bản thân cho nên việc khơi dậy , phát triển ý

thức , t duy linh hoạt sáng tạo của ngời học là đờng phát triển tối u

giáo dục

Để đáp ứng yêu cầu đó , hiện nay trong giáo dục có nhiều hình thức

và phơng pháp dạy học đ đã đ ợc nhiều giáo viên áp dụng để phát triển

t duy linh hoạt , sáng tạo cho học sinh nh dạy học nêu vấn đề , dạy

học theo nhóm , dạy học kiến tạo , dạy học tìm tòi lời giải ……

ở trờng phổ thông thì dạy toán là dạy hoạt đông toán học Đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toánhọc Giải bài tập toán học ở trờng phổ thông là một phơng tiện rất có hiêụ quả và không thể thay thế đợc trong việc giúp học sinh nắm

vững tri thức , phát triển t duy , hình thành kĩ năng kĩ xảo ứng dụng toán học vào các môn học khác và vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán ở tr -ờng phổ thông Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc giải bài tập toán học

có vai trò quyết định đối với chất lợng dạy và học toán

Chúng ta chỉ có thể thông qua hoạt động dạy học giải một số bài

toán cụ thể mà dầndần truyền cho học sinh cách thức , kinh nghiệm

muốn hình thành ở học sinh “Không ở đâu mà các sai lầm thiếu sót dù

nhỏ về suy luận về tính toán do thiếu cẩn thận lại thể hiện một các rõ ràng vàtức khắc bằng ở đây ; không ở đâu mà học sinh thấy đ ợc sai lầm của mình

(hoặc của bạn ) và tìm thấy cách sửa sai lầm của mình (hoặc của bạn ) bằng ở

Trang 3

Trang 3

đây; không ở đâu mà học sinh có điều kiện để so sánh con đ ờng tối u để đi đếnchân lý bằng ở đây; không ở đâu mà để giải quyết vấn đề lại phải cần cù ,

nhẫn nại , khắc phục khó khăn , phải lập luận có căn cứ chính xác bằng ở

đây.” Và chính trong hoạt động dạy và học giải bài tập toán đã thể hiện rõ

ơ

G.Polya nhà toán học đồng thời là nhà s phạm ngời Mỹ đ từng nói ã đ

" Ngay khi một lời giải mà ta đã tìm đợc là đã tốt rồi thì tìm đợc một lời giải khác vẫn có lợi , thật là sung sớng khi thấy rằng kết quả tìm

ra đợc xác nhận bằng hai lí luận khác nhau Có đợc chứng cớ rồi ,

chúng ta còn muốn tìm thêm chứng cớ nữa cũng nh chúng ta muốn sờ vào một vật mà chúng ta đã trông thâý "

Nguyễn Thành Phơng

Chính vì lẽ đó mà Tôi chọn đề tài " Phát huy tính tích cực của học

sinh lớp 7 qua việc chứng minh tỷ lệ thức theo nhiều cách"

2- cơ sở thực tiễn.

Học về tỷ lệ thức có rất nhiều lợi ích :

Từ một tỷ lệ thức có thể chuyển thành đẳng thức giữa hai tích

Trong một tỷ lệ thức biết 3 số hạng có thể tìm đợc số hạng thứ 4

Trong d y tỷ số nếu biết đã đ ợc quan hệ giữa các số hạng có thể tính

đợc các số hạng đó

Trang 4

Trang 4

Trong chơng II khi học về đại lợng tỷ lệ thuận , đại lợng tỷ lệ

nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một phơng tiện quan trọng giúp ta giải

toán

Trong hình học để học đợc định lí Ta lét , tam giác đồng dạng

( lớp 8) thì không thể thiếu kiến thức về tỉ lệ thức

Trong chơng trình cấp II không có chuyên đề về chứng minh đẳng

thức nhng khi nhất là khi học sinh giỏi , học sinh rất hay gặp bài

toán chứng minh đẳng thức

Học sinh biết cách chứng minh tỉ lệ thức , từ đó hình dung ra đ ợc

các phơng pháp chứng minh đẳng thức nói chung

[

Khi dạy về phần tỉ lệ thức Tôi thấy học sinh rất hứng thú học đặc

biệt là phần chứng minh tỷ lệ thức với nhiều cách làm đa thức, mức

độ áp dụng kiến thức vừa phải nhng lại đòi hỏi sự linh hoạt, chính

xác và đó là một trong những lý do để học sinh thấy hứng thú

Nó vừa phù hợp với khả năng , lại vừa phát huy đợc tính linh động ,sáng tạo , vận dụng một cách hợp lý , chính xác của học sinh

Từ thực tế trong quá trình dạy học tôi đ rút ra một số cách chứng ã đ

minh tỉ lệ thức xin đợc đa ra để các đồng chí và các bạn tham khảo

b- nội dung

i Các vấn đề có liên quan tới bàI toán chứng minh và ph ơng pháp dạy

1 Thuật ngữ chứng minh đợc hiểu

Chứng minh: là thao tác lôgic dùng để lập luận tính chân thực của

phán đoán nào đó nhờ các phán đoán chân thực khác có liên hệ hữu cơvới phán đoán ấy Chứng minh bao gồm 3 thành phần liên hệ chạt

chẽ với nhau : luận đề , luận cứ và luận chứng

Trang 5

Trang 5

Luận đề là những phán đoán cần chứng minh tính chân thực của

chúng và trả lời câu hỏi “ Cần chứng minh cái gì ?”

Luận cứ : là các luận điểm khoa học hay thực tế chân thực dùng để chứng minh luận đề Trả lời câu hỏi “ Dùng cái gì để chứng minh?”

Luận chứng là mối liên hệ logic giữa luận cứ và luận đề đây là

quá trình chuyển từ những cáI đ biết thành những cáI chã đ a biết

theo một trình tự lôgic có tính quy tắc

Có hai hình thức chứng minh : Chứng minh trực tiếp và chứng

minh gián tiếp Chứng minh trực tiếp là từ các luận cứ chứng tỏ tính chân thực của luận đề Chứng minh gián tiếp thì tính chân thực đ ợc rút ra trên cơ sở tính giả dối của phản luận đề Có hai hình thức

chứng minh gián tiếp là chứng minh phản chứng và chứng minh phânliệt

Với trình độ học sinh lớp 7 các em đang bớc đầu hình thành và tập suy luận logic chứng minh để chứng minh một định lý , một khẳng

định trong hình học , trong đại số với việc chứng minh tỉ lệ thức ,

thẳng thức , bất đẳng thức Giáo viên cần cho học sinh thấy loại toánchứng minh là từ những dữ kiện đ cho cùng với những điều đ có và ã đ ã đ

bằng lập luận chứng tỏ khẳng định nào đó đúng

2 Phơng pháp chung để tìm lời giải bài toán chứng minh

Trong qúa trình dạy về các bàI toán chứng minh đẳng thức , tỉ lệ

thức tôi thờng hớng học sinh theo các bớc 4 bớc

a Tìm hiểu nội dung bài toán

- Xác định bài toán cần chứng minh gì? (luận đề )

- Đ có cái gì làm cơ sở để chứng minh ( luận cứ)ã đ

Trang 6

- Những điều đ cho của bài toán có liên quan gì tới cái cần chứng ã đ

minh ?

để tìm mối liên quan này cần trả lời câu hỏi :

- Định lý , tính chất nào có liên quan đến diều đ cho hoặc cần chứngã đ

minh ?

- Từ những điều kiện đ cho và những điều có s n đúng có thể suy ã đ ã đ

ngay ra điều cần chứng minh không?

- biến đổi cái cần chứng minh xem nó có liên quan nh thế nào đến

các điêù kiện ? có sử dụng đợc các điều kiện đó không?

- Nếu không! H y xét kĩ cái cần chứng minh (hoặc cái đ cho ) nhớ tớiã đ ã đ

những bài toán có liên quan xem có thể sử dụng nó không? có áp dụng

đợc kết quả của nó không? có cần đa thêm yếu tố phụ để sử dụng đợc

nó không ?

hoặc có thể nghĩ ra một bàI toán có liên quan và dễ hơn không? một bàI toán tổng quát ? một trờng hợp riêng ? một bàI chứng minh tơng

tự ? bạn có thể chứng minh một phần bàI toán không?

Bạn có thể từ các giữ kiện rút ra những yếu tố nào có ích? Bạn có thể nghĩ ra những điều kiện khác giúp bạn chứng minh đợc ? có thể biến

đổi đồng thời cả những giữ kiện và cái cần chứng minh sao cho chúng gần nhau hơn khổng?

- Bạn đ sử mọi giữ kiện hay chã đ a? đ sử dụng toàn bộ điều kiện hay ã đ

cha? đ để ý đến mọi định lý tính chất có liên quan hay chã đ a?

c Thực hiện chơng trình giải :

Trình bày các bớc giải theo một trình tự hợp lý , lôgic theo hớng

đ xây dựng ã đ

- Từ những dữ kiện bài cho và nhng khangr định đúng đ có suy ra ã đ

điêù phải chứng minh

Trang 7

Trang 7

- Biến đổi cái cần chứng minh (hoặc một phần của nó) có sử dụng dữkiện bài cho

- Biến đổi đồng thời cả cái cần chứng minh và dữ kiện ……

H y kiểm tra lại từng bã đ ớc đ đúng chã đ a? Chú ý các sai lầm thờng

gặp trong tính toán, biến đổi, và đặc biệt trong dùng dấu ‘ <=> ’ , ‘ =>

‘

d kiểm tra và nghiên cứu lời giải

- Kiểm tra lại toàn bộ quá trình lập luận Xét xem có sai lầm không ? mỗi khẳng định đa ra có đúng , có căn cứ không?

- Còn cách CM nào khác không ? h y chứng minh? cách nào là tối ã đ u nhất ?

- Có thể sử dụng kết quả hay phơng pháp đó cho bài toán khác đợc

không ?

* Yêu cầu lời giải bài toán chứng minh là

- Lời giải phải không có sai lầm

- Lập luận phải có căn cứ chính xác

- sử dụng các giữ kiện bài cho

- lời giải phải đầy đủ

ngoài ra yêu cầu lời giải phải ngắn gọn , đơn giản , cách trình bày

rõ ràng chặt chẽ

3 Hình thức thực hiện

Việc thực hiện lời giải một bài toán theo nhiều cách khách nhau

không ai phủ nhận vai trò của nó trong việc phát triển t duy linh

hoạt, và giáo dục tháI độ cho học sinh tuy nhiên việc thực hiện nó

mất khá nhiều thừi gian nhất là lại tổ chức trên lớp Chính vì vậy

mà một số phơng pháp và hình thức tôI thờng làm là ” nêu ra vấn đề cho học sinh thảo luận cách CM“ sau đo yêu cầu học sinh chứng

Trang 8

Trang 8

minh ? và hỏi em nào còn cách chứng minh khác ? cho học sinh

trình bày và giáo viên lu ý sửa sai cho học sinh và có thể hỏi thêm

bằng câu Dựa vào đâu mà có điều đó?

Trờng hợp học sinh không tìm ra đợc cách khác giáo viên có thể gợi ý,

định hớng cho học sinh

Một phơng pháp mà phù hợp cho việc giải, CM một bài toán theo các

cách khác nhau là tổ chức hoạt động nhóm dới hình thức thi giã các nhóm Nhóm nào tìm ra nhiều cách giải đúng nhất nhóm đó

d



d

b c

a

 ;

c

d a

Trang 9

- Đổi chỗ các trung tỷ cho nhau

- Đổi chỗ các ngoại tỉ cho nhau

- Đổi chỗ trung tỉ và ngoại tỉ cho nhau

d



d

b c

a



c

d a

a

 thì b d

c a d b

c a d

c b

4 một số các kiến thức khác có liên quan

Vì tỉ lệ thức là đẳng thức do đó cho học sinh nhắc lại một số tính

a

 với k  0

III Một số ví dụ

Sau đây tôi xin đa ra các cách chứng minh tỉ lệ thức thông qua một

số thí dụ Ta bắt đầu từ những thí dụ đơn giản

Trang 10

Cho tỉ lệ thức b a d c 1 với a,b,c,d 0

Chứng minh rằng :

d

d c b

a

 => ad = bc Xét tích : d ( a-b) = ad - db = bc-db = b(c-d)

Vậy d( a- b ) = ( c-d )b => d

d c b

a

 <=> ad = bc

Nên d

d c b

a

 => d

b c

a

 = c d

b a



Vậy c d

b a d

b





a

 = k => a = kb ; c = kd

Trang 12

Trang 11

Ta có :   b 

b

kb b

(1)

  d 

d kd d

(2)

Từ (1) và (2) suy ra d

d c b

minh tỷ số ở hai vế bằng một tỷ số thứ 3 Để làm đợc điều đó ta đặt

giá trị chung của tỷ lệ thức đ cho là k ã đ

Cách 4 :

Ta có : d

c b

a

 =>  1   1

d

c b

a

=> d

d d

c b

b b

b





Nhận xét : Trong cách này từ tỷ lệ thức đ cho ta biến đổi dần ã đ

thành tỷ lệ thức cần chứng minh dựa vào tính chất của đẳng thức

thêm (bớt ) vào 2 vế của đẳng thức cùng một số rồi biến đổi ra một

đẳng thức đúng

Cách 5 : Ta có : b 

b a

b b

b





Trong cách này ta đ biến đổi tỷ số ở vế trái của tỷ lệ thức cầnã đ

chứng minh thành vế phải có sử dụng đến tính chất của phân số giảthiết bài cho d

c b

a



Trang 13

Trang 12

Cách 3 , cách 4 , cách 5 cũng là những cách thờng sử dụng để chứngminh một đẳng thức nói chung

Bằng phơng pháp hoàn toàn tơng tự học sinh sẽ chứng minh đợc bàitoán

c a

Đây là tính chất tổng hoặc hiệu tỷ lệ học sinh có thể sử dụng

tính chất này trong việc giải các bài toán có liên quan đến tỷ lệ thức

đề tài : "chứng minh tỉ lệ thức bằng nhiều cách khác nhau " nhằm phát triển t duy linh hoạt sáng tạo cho học sinh

Thí dụ 2 : Chứng minh

Nếu d

c b

3

5

d c

d

c

3 5





Cách 1 : Đặt d

c b

b

a

35







b kb

b

kb

35

3



)35(

)35(

k b

)35(

d

c

35







d kd

d

kd

35

3



)35(

)35(

k d

)35(

3 5

d c

3 5





Cách 2 : Từ d

c b

a

 => ad = bc

Có (5a+3b)(5c-3d) = 25ac - 15ad + 15bc - 9bd

Trang 14

Trang 13

= 25ac – 9bd (5a-3b)(5c+3d) = 25ac + 15ad - 15bc - 9bd

= 25ac – 9bd

=> (5a+3b)(5c-3d) = (5a-3b)(5c+3d)

=> a b 

b a

3 5

d c

3 5





Cách3: Từ d

c b

a



b a d c

b a d

b c

a d

b c

a

3 5

3 5 3 5

3 5 3

3 5

d c

b c

3 5



(2) => a b 

b a

3 5

d c

3 5





(3)

Cách 1 và cách 2 làm theo phơng pháp chung các em d biết từ thíã đ

dụ trớc Cách 3 học sinh khó nhận ra ngay giáo viên có thể h ớng dẫn học sinh để có tỷ lệ thức cần chứng minh

a b 

b

a

3 5

3

5

d c

d

c

3 5

3

5

d c

b

c

3 5

a

3

3 5

5



Do đó học sinh có thể nhận ra ngay cách làm : Từ tỷ lệ thức đ cho ta ã đ

đổi chỗ các trung tỷ và nhân cả hai số hạng của mỗi tỷ số với cùng

một số rồi sử dụng tính chất d y tỷ số bằng nhau ta suy ra đã đ ợc tỷ lệ

thức (2)đổi chỗ các trung tỷ của tỷ lệ thức (2) ta suy ra đ ợc tỷ lệ thức cần chứng minh

Từ thí dụ đó cho học sinh chứng minh một tính chất của dãy tỷ số

Bài 2: Chứng minh rằng :

Trang 15

Trang 14

3 2 1

Thí dụ 3:

Cho d

c b

a

 ( a,b,c,d  0 )

Chứng minh rằng : 22 22

d c

b a cd

a

 => ad = ac

b a cd

a

 = k => a = kb ; c = kd

2 2

2

.

d

b kd

kb d kd b kb cd

2 2

d c

b a

2 2 ) (

d kd

b kb



= 2( 2 11))

2 ( 2



k d

k b

b a cd

a

 => d

b c

a

 => 2

2    

d

b c

a d

b c

2

d

b c

a cd

ab

2 2

d c

b a



Trang 16

Trang 15

Vậy 22 22

d c

b a cd

ab





Trong cách này giáo viên cần hớng dẫn học sinh từ tỷ lệ thức đ ã đ

cho đổi chỗ nội tỷ và áp dụng tính chất của đẳng thức suy ra đ ợc

2 2

   

d

b c

a

d

b

c

a và tính chất d y tỷ số bằng nhau ta suy ra đã đ ợc tỷ lệ

thức cần chứng minh.Giáo viên cần lu ý cho học sinh

d

c b

Bài 3: Chứng minh rằng nếu :

f

z y

y x

= 1999 1999

1999 1999

f z

y x

c b

3 3 3

Bài 5 : Cho b2 = ac ; c2 = bd với b,c,d 0 và b+c  d, b3+ c3  d3 Chứng minh: 3

3 3 3

c b a

Thí dụ 4 :

Chứng minh rằng

2001 2002

a

, a 2002, b 2001, b 0 Thì 2002 2001

b a



Trang 17

Trang 18

Tiêu đề	Chứng minh tỉ lệ thức bằng nhiều cách khác nhau
Tác giả	Nguyễn Thành Phương
Người hướng dẫn	Hiệu trưởng Nguyễn Thành Phương
Trường học	Trường THCS Dũng Tiến
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Đề tài
Năm xuất bản	2009
Thành phố	Vĩnh Bảo

Định dạng
Số trang	23
Dung lượng	418,5 KB