File a 6c mặt cầu

Tính bán kính, đường kính mặt cầu kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD.. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình

6C MẶT CẦU

 Dạng 90 Tính bán kính, đường kính mặt cầu

kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD . 

A.

2 3

 a

3

 a

3

2

 a

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án A.

Gọi O là giao điểm AC và BD.   2 2

2

   a

Gọi M là trung điểm SB. Đường trung trực cạnh SB cắt SO tại I. Suy ra I là tâm mặt  cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD . 

2

2

a a

SI

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án D

2

8

2

Câu 3. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng  a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy 

bằng 45o. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 

2

 a

3

 a

4

 a

5

 a

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án B

Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng  a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45o

.  Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính bằng: 

Giả sử S ABC  là hình chóp tam giác đều. Gọi O là tâm của tam giác đều ABC 

 SOABC SCO 0

45

  SOC vuông cân tại O  3

3

  

OS OA OB OC  a   

2



2



2



r a   D. ra 3. 

Lời giải tham khảo 

6C Mặt cầu

 Chọn đáp án A

Gọi  O là  trung điểm  của  đường chéo AC’ thì  O là  tâm  của  hình lập phương  nên O cách  đều  các  đỉnh  của  hình lập  phương.  Vậy  mặt  cầu  đi  qua  8  đỉnh  hình  lập  phương  có  tâm 

O, bán kính:  '

2

r , AC’a 3 3

2

r  a

với đáy và SAa 3. Tính bán kính  R  của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp  S ABC . 

2

 a

6

 a

2

 a

2

 a

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án A

Ta có BC AB2 AC2 2AB AC .cosA a 3.  

Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp 

2

giác  đều  và  nằm  trong  mặt  phẳng  vuông  góc  với  mặt  phẳng  đáy.  Tính  bán  kính  R  của 

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 

6

 a

6

 a

6

 a

3

 a

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án A

Gọi  H G I O   lần  lượt  là  trung  điểm  cạnh  AB,  tâm  đường  tròn  ngoại  tiếp  tam  giác , , ,

SAB, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD , tâm hình vuông ABCD

 HOIG là hình chữ nhật  21

6

  a

góc  với  mặt  phẳng ABC  và SAa 3.  Tính  bán  kính  R   của  mặt  cầu  ngoại  tiếp  hình 

chóp S ABC . 

12

 a

12

 a

12

 a

13

 a

và SASB2 ,a SC4 a  Tính bán kính  R  của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp  S ABC . 

2

 a

R      B. Ra 3.     C.  6

3

 a

R      D. Ra 6. 

Câu 9 Cho hình chóp S ABC  có đáy ABC vuông cân tại B, ABa SA, 2 ,a SA  vuông 

góc với ABC. Xác định tâm I và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . 

A. I là trung điểm AC, Ra 2      B. I là trung điểm AC, 2

2

 a

C. I là trung điểm SC,  6

2

 a

R      D. I là trung điểm SC, Ra 6. 

phẳng ABC và có SAa AB, b AC, c  Tính bán kính  r của mặt cầu đi qua các đỉnh  , , ,

S A B C  

3

 

 a b c

r           B. r2 a2 b2 c   2

2

r a b c         D. r  a2 b2 c  2

cân  tại S  và  nằm  trong  mặt  phẳng  vuông  góc  với  đáy.  Gọi  H  là  trung  điểm  của BC, 

2



SH a  Tính bán kính  R  của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp  S ABC . 

483

 a

384

 a

384

 a

275

 a

cầu. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 

A. V 4r3.     B.  4 2

3



S r     C. 

3

 V r

S.     D. 

3

r

S . 

là  trung  điểm  của  AB.  Biết SH (ABCD)  và  tam  giác SAB   đều.  Tính  bán  kính  R   của 

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD . 

6

 a

3

 a

2

 a

9

 a

cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . 

11



R      B.  3

3



R      C.  6

3



R      D.  2 3

11



Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SAa 6. Tính bán kính  R  của mặt cầu ngoại tiếp 

hình chóp S ABC . 

2



2



R a.     D.  2

3



R a. 

Biết rằng tập hợp các điểm M sao cho MA3MB là một mặt cầu. Tính bán kính R của  mặt cầu đã cho. 

2



R      C. R1.     D.  3

2



R  

6C Mặt cầu

M

O

B

S

I

 Dạng 91 Diện tích mặt cầu

Tính diện tích S mc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 

A. 

2

4 3



mc

a

2

3 2



mc

a

S    C. S mc 4a2.  D. S mc 2a2. 

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án C

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC  SO là trục đường tròn ngoại  tiếp tam giác ABC. 

Lấy M là trung điểm SA. Vẽ trung trực cạnh SA cắt SO tại I 

 I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC  

2

2

SMI đồng dạng với SOA  

3 O 2 2 3

2 2

a a

MI

a

IA AM IM a  S mc 4r2 4a2.  

rằng  ABa AC, a 3 ,  đường  thẳng  AB'  tạo  với  đáy  một  góc 60   Tính  diện  tích 0 S mc  của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC A B C ' ' '. 

A. 

2

13 3



mc

a

2

7 4



mc

a

S    C. S mc 7a2.  D. 

2

13 12



mc

a

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án C

Ta có AB',A B C' ' ' AB A' '600 suy ra AA' A B' ' tanAB A' 'ABtan 600 a 3 

Do tam giác ABC vuông tại A nên BC AB2 AC2 2a  , trong tam giác  IOB ta có  

2

4 7

 

          

 

6



SA a  và SAABCD. Tính diện tích S mc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 

S ABCD. 

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án A

Gọi I là trung điểm SC. Chứng minh được các điểm A B D  cùng nhìn đoạn , , SC cố  định dưới một góc vuông nên các điểm S A B C D  cùng nằm trên mặt cầu tâm I , , , , , đường kính SC. Tính được SC2a 2 Ra 2 S mc 8a2.  

Câu 20 Cho  hình  chóp S ABC   có  đáy  ABC  là  tam  giác  vuông  tại B, ABa BC, 2 ,a  

cạnh bên SA vuông góc với đáy và SAa 3. Tính diện tích S mc của mặt cầu ngoại tiếp  hình chóp S ABC . 

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án C

Do      





BC SA

Khi đó SAC SBC 90 ,0  suy ra hình chóp 

S ABC nội tiếp mặt cầu đường kính SC. 

Ta có 

2 2

2

2

r a  Suy ra S mc 4r2 8a2. 

có ABa BC, 2 ,a AC a 5. Tính diện tích S mc của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC. 

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án A

 

1

Từ  1  và  2  suy ra mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC có đường kính  

2

2

 

       

 

mc

SC

SAB SCB   và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng  a 2. Tính diện tích 

mc

S  của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp  S ABC . 

SA8 ,a SA vuông góc với mặt đáy. Tính diện tích S mc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 

S ABC. 

3



mc

S a    C. S mc 100a2.   D.  100 2

3



mc

S a  

góc với đáy và SAa 3. Tính diện tích S mc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . 

A. 

2

13 6



mc

a

2

13 12



mc

a

2

13 9



mc

a

2

13 3



mc

a

6C Mặt cầu

Câu 25 Diện tích đường tròn lớn bằng mấy lần diện tích mặt cầu tương ứng? 

A. 2 lần.     B. 4

3 lần.     C. 4lần.     D. 

1

4 lần. 

Câu 26 Hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a, diện tích toàn phần 

là  S1 và  mặt  cầu  có  đường  kính  bằng  chiều  cao  hình  nón,  có  diện  tích  S2.  Mệnh  đề  nào 

dưới đây là đúng? 

A. S1 S2.     B. S2 2S1.     C. S1 2S2.     D. Cả A B C  đều sai. , ,

tạo với mặt phẳng A B C’ ’ ’ một góc 60  và 0 G là trọng tâm ABC . Tính diện tích S mc  của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp G A B C ’ ’ ’. 

3888



mc

144



mc

S a     

1296



mc

1296



mc

S a  

 Dạng 92 Thể tích khối cầu

tất cả các cạnh của tứ diện ABCD. 

A.

3

3 8

 a

3

2 24

 a

3

2 2 9

 a

3

3 24

 a

Chọn đáp án B

Gọi M N  lần lượt là trung điểm của , AB và CD. Ta có  2 2 2

2

   a

Bán kính khối cầu là:  2

2 4

 MN  a 

r  Thể tích khối cầu là: 

3

2 24

 a

mặt  bên SABvà SACcùng  vuông  góc với mpABC và SC hợp  với mpABC một  góc 45  Tính thể tích 0 V của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . 

A.

 V =

5 2 3



3



3



3

  

Chọn đáp án D

ABC AC  

SAB  ABC , SAC  ABCSAABC 



SCA

 SASC  

3 3

4 4 5 2 125 2

 

 

      

 

   

SC

Câu 30 Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh 2a có thể tích bằng bao nhiêu? 

Chọn đáp án D

' ' '

3 2



 AA A C 

r a ,  V 4 3a3. 

góc 60  Tính thể tích 0 Vcủa mặt cầu ngoại tiếp  hình chóp S ABCD . 

27



V a   B.  8 6 3

3



V a   C.  2 6 3

27



V a   D.  4 3

3



V a  

Chọn đáp án A

Gọi O là tâm hình vuông ABCD , ta có   SOABCD 

 SO là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD 

SAO SBO SCO SDO  & SASBSCSD (gt) 

 SAC và SBD là hai tam giác đều bằng nhau 

 Ta có  ACa 2và  3 6

2 2

Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC 

 I cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBD 

Do đó :  ISIAIBIC IDR 

 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD  là:  2 6

   a

Vây thể tích khối cầu cần tìm:   4 3 8 6 3

3  27



là  tam  giác  đều  và  nằm  trong  mặt  phẳng  vuông  góc  với  mặt  phẳng  đáy.  Tính  thể  tích 

Vcủa mặt cầu ngoại tiếp  hình chóp đã cho. 

A. 

3

24 21 27

V    B. 

3

25 21 27

3

28 21 27

3

24 21 25

Chọn đáp án C

Gọi O là trọng tâm của ABC. Qua O kẻ Ox SH , lấy //



Q Ox sao cho  1 3

  a

3

3 3

    a  

3

3 3

4 4 7 28 21

 

    

 

 

a

 I

B

C

D

O

S

A

x

I

O H

A

B

S

C Q

6C Mặt cầu

SAB  là  tam  giác  đều  và  nằm  trong  mặt  phẳng  vuông  góc  với  đáy.  Tính  thể  tích Vcủa  mặt cầu ngoại tiếp  hình chóp S ABC . 

A. 

3

54

 a

V       B. 

3

21 54

 a

3

3

 a

V       D. 

3

7 21 54

 a

ngoại tiếp  hình chóp đã cho. 

A.  64 14 3

147



   B. 

3

16 14 49



V a    C.  64 14 3

147



V a .   D.  16 14 3

49



và K sao cho BH3HA và AK 3KD. Trên đường thẳng  d  vuông góc ABCDtại H  lấy điểm S sao cho SBH 30 0  Gọi E là giao điểm của CH và BK. Tính thể tích Vcủa 

mặt cầu ngoại tiếp  hình chóp SAHEK. 

A. 

3 13 3

 a

3

54 13 3

 a

V  .   C

3

52 13 3

 a

V  .   D. 

3

52 12 3

 a

Câu 36 Một bình đựng nước dạng hình nón ( không có đáy), đựng đầy nước. Người ta 

thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích  nước tràn ra ngoài là 18 ( dm3), Biết thể tích khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh  của hình nón và đúng một nửa của khối cầu chìm trong nước ( hình bên). Tính thể tích V  của nước còn lại trong bình. 

A V 6 ( dm3).   B. V 12 ( dm3).  C. V 54 ( dm3).   D. V 24 ( dm3). 

bên  SA vuông  góc với đáy  và SA 11. Tính thể tích Vcủa mặt cầu ngoại tiếp  hình  chóp S ABCD . 

A.  11 11

6



V     B. V 32      C.  32

3



V      D.  256

3



V   

, '8, 6

A AA BC   Mặt cầu  S  ngoại tiếp lăng trụ, hình trụ  T  có 2 đáy là 2 đường  tròn  ngoại  tiếp 2  tam  giác  ABC A B C   .  Tính  tỉ  lệ  thể  tích t  của  khối  cầu  và  khối  trụ  tương ứng với mặt cầu và hình trụ đã cho. 

54



t      B.  125

27



t      C.  25

27



t      D.  25

54



t  

vuông góc với mặt đáy và SAa 2. Tính thể tích Vcủa mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã  cho. 

A.

3

4 3



V a      B.  16 3

3



V a    C. 

3

32 3

 a

V     D. V 4a3. 

3

2

 a

V       B. 

3 3 2

 a

V     C. V a3 3.   D. 

3

3 3 8

 a

 Dạng 93 Bài tập tổng hợp về mặt cầu

đến  S  (T là tiếp điểm). Tính độ dài đoạn thẳng AT. 

A. 

2



AT R.  B. ATR.  C. AT R 2   D. ATR 3. 

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án D

Tam giác IAT vuông tại T nên AT  IA2 IT2  4R2 R2 R 3.  

nằm  trong  mặt  phẳng ABCD  không  có  điểm  chung  với  hình  chữ  nhật  ABCD   song , song với cạnh AB và cách AB một khoảng bằng  a  Gọi  V là thể tích của khối tròn xoay  ,

   nhận  được  khi  quay  hình  chữ  nhật  ABCD  xung  quanh  trục  d.  Cho  biết 

d AB d d CD d  Tính  a  biết rằng thể tích của khối   gấp 3 lần thể tích của khối cầu 

có đường kính AB. 

A. a3.  B. a  1 2.  C.  1

2



2



a  

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án C

Thể tích khối T là   2 2  

1 2 2 2 1 2

T

Thể tích khối cầu có bán kính  1

2

 AB 

3



C

V    

Ta có phương trình  3 2 1 2  4 1

2

bán kính bằng 1. 

3



3



2



3



Lời giải tham khảo  Chọn đáp án A

Gọi M H I  lần lượt là trung điểm , , CD, trọng tâm tam giác BCD 

và trung điểm AB suy ra AH  là trục của đường tròn ngoại tiếp tam 

giác BCD, trong mặt phẳng ABHkẻ đường trung trực của AB cắt 

AH  tại O. Khi đó, O chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 

ABCD, bán kính ROA1. 

Ta có:  3

2



3

 a

2

Xét hai tam giác vuông đồng dạng AIO, AHB ta có:  

A

B

D

I O

C

6C Mặt cầu

Câu 44 Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng  a  và thể tích là 

3

3

a

. Gọi t là tỉ số 

giữa độ dài cạnh bên và độ dài cạnh đáy của hình chóp. Tính t. 

2



2



2



t  

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án C

Tính được chiều cao của khối chóp  6

2

     a

h SO a l SA  Suy ra  6

2



t   

qua đỉnh là tam giác đều SAB, cạnh bằng 8. Tính khoảng cách d từ O đến SAB. 

3



4



3



d   D. d3. 

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án B

Gọi I là trung điểm cạnh AB, dựng OK vuông góc với SI , OKd O SAB ,  .  

Tính  8 3 4 3 39

2

OI SI SO  dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOI, 

suy ra  3 13

4





kính R5 tiếp xúc với ba cạnh của tam giác với các tiếp điểm nằm trên ba cạnh đó. Tính  khoảng cách d từ tâm mặt cầu  S  đến mặt phẳng ABC. 

2



2



d   D. d3. 

Lời giải tham khảo  Chọn đáp án D

Mặt phẳng ABC cắt mặt cầu  S  theo đường tròn  C   

Gọi  r  là bán kính của đường tròn  C   

Ta có: SABC  p p a p b p c  với        21

2

 

 a b c 

Do đó, SABC 84. Mặt khác ta có: SABC  prr4.  

Khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng ABC là: d R2 r2 3. 

mặt phẳng vuông góc với AB tại I cắt mặt cầu theo đường tròn  C  Xác định vị trí điểm 

I để thể tích trên đạt giá trị lớn nhất. 

3

AI      B.  2

3

AI      C. 

3

 R

AI      D. AI 2R. 

Một điểm M tùy ý thuộc  S , đường thẳng OM cắt  P  tại N. Hình chiếu của O trên 

 P  là I . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 

C. IN R.      D. OIN là tam giác tù. 

cầu. Mệnh đề nào dưới đây sai? 

3



V r      B. S4r2.     C. 

3

 V r

S.     D. 

3

r

S . 

dưới một góc vuông. 

A. Tập hợp chỉ có một điểm.  

B. Một đường thẳng. 

C. Một đường tròn.  

ABC. Điểm nào sau đây là tâm mặt cầu qua các điểm S A B C ? , , ,

Câu 52 Mệnh đề nào sau đây sai? 

A. Bất kì một hình tứ diện nào cũng có mặt cầu ngoại tiếp.  

B. Bất kì một hình hộp chữ nhật nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp. 

C. Bất kì một hình hộp nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.  

D. Bất kì một hình chóp đều nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp. 

Câu 53 Mệnh đề nào dưới đây đúng về diện tích xung  quanh của hình nón? 

A. Tích của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh.  

B. Tích của độ dài đường tròn đáy và độ dài chiều cao. 

C. Hai lần tích của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh.  

D. Một nửa tích của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh. 

6C Mặt cầu

đến dây cung bằng 

3

r

. Tính độ dài MN. 

3



3



3



MN r.    D.  2 2

3



và d là khoảng cách từ tâm I đến  P . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?