hoctoancapba comchuyen de khoa sat ham so

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số Để xét chiều biến thiên của hàm số y = fx, ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác định của hàm số.. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.

a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I

b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I

3 Điều kiện đủ:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I

b) Nếu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I.c) Nếu f′(x) = 0, ∀x ∈ I thì f không đổi trên I

Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số

Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:

– Tìm tập xác định của hàm số.

– Tính y′ Tìm các điểm mà tại đó y′ = 0 hoặc y′ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y′ (bảng biến thiên) Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

VD: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

963

0

x

x x

x y

• y'=3x2 −6x+3Cho y'=0⇔3x2 −6x+3=0⇒ x=1

• BBT

• Vậy: hàm số luôn đồng biến trên D c) y= x4 −2x2 −1

• D=R

x

x x

x y

−

⇔

=

21

00

264

0

x

x x

x y

• BBT

• Vậy: hàm số tăng : ; )

2

1(− +∞

Hàm số giảm: )

2

1

;(−∞ −e)

2' 2 <

2'

Cho y'=0⇔ x2 −2x=0⇒x x==20

• BBT

• Vậy: hàm số giảm: (0;1)và (1;2) Hàm số tăng: (−∞;0)và)

;2( +∞

• D∈(−∞;4]

•

x

x x

x x

384

24

'

3

80

380'= ⇔ − x= ⇒ x= <

Hàm số giảm: ;4)

38(

x y

y

x

= −

−n) 2 2 26

x y x

−

=

2 2

11

=

− + f) y x= + +3 2 2−xg) y= 2x− −1 3−x h) y x= 2−x2 i) y= 2x x− 2

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến

trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

00

a b c

00

a b c

3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x( )=ax2+bx c+ :

• Nếu ∆ < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.

• Nếu ∆ = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =

2

b a

• Nếu ∆ > 0 thì g(x) có hai nghiệm x 1 , x 2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với

a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.

4) So sánh các nghiệm x 1 , x 2 của tam thức bậc hai g x( )=ax2+bx c+ với số 0:

• Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.

• Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

0'0

0'0

'

m a

−

⇔

0

0)2(314

4 2

m

m m m

4'

m x

40

m

m m

thì hs luôn đồng biến trên D

VD2: Định m để hàm số luôn nghịch biến:

x m

mx x y

−

++

• D=R \ m{ }

)(

32

'

m x

m mx x

y

+

+++

0'0

0)1(

af af

+

<

−+

−

⇔

0)16

3

(

3

0)16

0)2(

0'

0'

S af

−

>

++

≤++

⇔

22

3

)1(

2

0)62

(

3

017

7

017

m m

3

m

m

22

44

31

4

03

S

m

=+ d) 2 2 3

a) y= − +5x cot(x−1) b) y=cosx x− c) y=sinx−cosx−2 2x

Bài 3. Tìm m để các hàm số sau luơn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảngxác định) của nĩ:

y= + m+ x − m+ x+ đồng biến trên khoảng (1; +∞)

b) y x= 3−3(2m+1)x2+(12m+5)x+2 đồng biến trên khoảng (2; +∞)

− +∞

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

• Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ≥, ≤ ) Xét hàm số y = f(x) trên tập xác

định do đề bài chỉ định.

• Xét dấu f′ (x) Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến.

• Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận.

Chú ý:

1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f′ (x) thì ta đặt h(x) = f′ (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h′ (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thơi.

2) Nếu bất đẳng thức cĩ hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b).

Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).

VD 1: chứng minh sinx<x,∀x>0

0sin − <

⇔ x x Đặt f(x)=sinx−x

• f'(x)=cosx−1<0,(∀x>0) ⇒ f(x)<0⇒sinx−x<0,(∀x>0) đpcm

VD 2: chứng minh , 0

6sinx>x− x3 ∀x>

06sin

)(

3

x x x x

•

21cos)

0)(0)

Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f.

b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x0∈ (a; b) sao cho

f(x) > f(x0), với ∀x ∈ (a; b) \ {x0}

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f

c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f

II Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f′ (x0) = 0

Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không

có đạo hàm.

III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị

1 Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên(a; b)\{x0}

a) Nếu f′ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0

b) Nếu f′ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0

2 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f′ (x0) = 0 và cóđạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0

a) Nếu f′′ (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0

b) Nếu f′′ (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số

Qui tắc 1: Dùng định lí 1.

• Tìm f′ (x).

• Tìm các điểm x i (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

• Xét dấu f′ (x) Nếu f′ (x) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i

Qui tắc 2: Dùng định lí 2.

• Tính f′ (x).

• Giải phương trình f′ (x) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2, …).

• Tính f′′ (x) và f′′ (x i ) (i = 1, 2, …).

Nếu f′′ (x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i

Nếu f′′ (x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i

9630

x

x x

x y

3

(

''

y hs đạt cực tiểu tại x=-1

 Vậy với dấu hiệu II ta sẽ bỏ qua bước BBT ( thường dùng cho nhưng bài lượng giác)

 Qua ví dụ này ta thấy rằng bài tốn cực trị các bước làm như đơn điệu chỉ thêm vào phần giá trị của y VẬY các em lấy VD của phần bài 1 tập tìm cực trị nhé

Bài 3. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y=3 2x +1 b) 3 2

2 1

x y x

=

y e= + e−

d) y x= 2−5x+ +5 2lnx e) y x= −4sin2x f) y x= −ln(1+x2)

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

1 Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f′ (x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 không có đạo hàm.

2 Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f′ (x) đổi dấu khi x đi qua x 0

− Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách:

0 0

0

( )( )

0)('

A y

A y

0)('

A y

A y

VD1: CMR hs sau luôn có cực đại, cực tiểu:

m x m m

• D=R \ m{ }

)(

12

)(

)1(

)1(2

'

m x

m mx x

m x

m m

m mx x

y

−

−+

963

20

)2(39

20

'

2

m m

m

m m

m

m m

=

x

mx x

y không có cực trị

• D=R\{}

)1(

22

y

hs không có cực trị ⇔ y'=0vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

30

21

0)1('

• Vậy: m=−3 thì hs đạt cực đại tại x =1

VD5: Tìm a, b để hs y=ax3 +bx2 +x đạt cực đại tại x =1 và cực tiểu tại x = 2

0)2(''

0)2('

0)1(''

0)1('

b

a y

y y y

b thì hs đạt cực đại tại x =1 và cực tiểu tại x = 2

VD6: Cho hs y= x3 −3x2 +3mx+1 Gọi M(x1;y1),N(x2;y2)là hai điểm cực trị

• 3 6 3 (3 2 6 2 3 ) 2( 1 2)( 1 2 1)

2 1

2 1 2

 Các em nè, qua VD trên ta thấy rằng ứng dụng Vi-ét là rất lớn, ngoài ra còn dạng so sánh α nữa Vì vậy nếu các em hiểu sâu so sánh α thì mọi đề thi đại học được giải quyết rất nhanh

 Thầy xin nhắc lại kiến thức Vi-ét và so sánh α một lần nữa

 Vi-ét:

a

b x x

S = 1+ 2 =− và

a

c x x

P= 1 2 =

P S x

x x

1

2 2

;

P

S x

x + =

2 1

11

2 2 1

2 2 2 2

2

P

P S x

x x

)3( 2

3 2

2

0)(

0

2 1

S

af x

2

0)(

0

2 1

S

af x

0)(

2

αβ

α

af

af x

αβ

α

2

0)(0

0)(

2 1

S af

af x

∆' 9m2 9m2 9 0 hs sau luôn có cực đại, cực tiểu tại x1, x2

• Hàm số có cực trị trái dấu nhau ⇔ x1 <0 x< 2

11

0)1(90)0(

3 < ⇒ 2 − < ⇒− < <

• Vậy −1<m<1 thì hàm số có cực trị trái dấu nhau

VD8: Cho hàm số y= x3 −3(m+1)x2 +9x−m Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại

∆

⇔

31

310

3)1(

Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là −3≤m<−1− 3 và −1+ 3<m≤1

VD9: Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 -3m – 1 Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = 0

• y’ = - 3x2 + 6mx ; y’ = 0 ⇔ x = 0 v x = 2m

Hàm số có cực đại , cực tiểu ⇔ phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0

Hai điểm cực trị là A(0; - 3m - 1) ; B(2m; 4m3 – 3m – 1)

Trung điểm I của đoạn thẳng AB là I(m ; 2m3 – 3m – 1)

Vectơ uuurAB=(2 ; 4m m3); Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là ur =(8; 1)−

Hai điểm cực đại , cực tiểu A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d ⇔ I d

Để hàm số có cực trị thì PT y, =0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔x2−2mx m+ 2− =1 0 có 2 nhiệm phân biệt

• Vậy có 2 giá trị của m là m= − −3 2 2 và m= − +3 2 2

VD11: Cho hs y=2x3 +3(m−1)x2 +6(m−2)x−1 Lập phương trình đường thẳng đi qua 2điểm cực đại và cực tiểu

3( − 2 − 2 + −

−

=

⇒ y m x m m là đường thẳng qua 2 điểm cực trị

x

mx x

a) Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu

b) Tìm m để hs có cực đại, cực tiểu sao cho y CĐ −y CT =4

GIẢI:

a) D=R\{}

)1(

22

'

là đường thẳng qua 2 điểm cực trịb) YCBT y CĐ −y CT =2(x1 −x2)=4

43

có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔m > 0 Khi đó:

⇔phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm x = 0.

đó ⇔phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = 0 ⇔ m 0≤

y= x −mx +mx− đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: x x1− 2 ≥8.

b) y x= 4−mx2+4x m+ có 3 điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ Olàm trọng tâm.

a) y=2x3+mx2−12x−13 có hai điểm cực trị cách đều trục tung

b) y x= 3−3mx2+4m3 có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giácthứ nhất

c) y x= 3−3mx2+4m3 có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng(d): 3x−2y+ =8 0

+ có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ hai

và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ

− −

=

−Bài 11 Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trịcủa đồ thị hàm số:

a) y=2x3+3(m−1)x2+6(m−2)x−1 có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song songvới đường thẳng y = –4x + 1.

b) y=2x3+3(m−1)x2+6 (1 2 )m − m x có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trênđường thẳng y = –4x

c) y x= 3+mx2+7x+3 có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc vớiđường thẳng y = 3x – 7

d) y x= 3−3x2+m x m2 + có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng(∆): 1 5

VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên

Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.

• Tính f′ (x).

• Xét dấu f′ (x) và lập bảng biến thiên.

• Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].

⇔

=

21

00

2640

x

x x

x y

• BBT

Vậy: Min y =

2

116

5 ⇔ x=−

 Qua vd trên Max và Min rất để tìm chỉ cần tìm CĐ-CT mà thôi

 Đối với hs có MXĐ trên đoạn thì ta không dùng đến BBT nữa

)1(40

x

x x

x y

.68)3(

;13)2(

;4)1(

;4)1(

−

⇔

=

]2

;1[31

00

1520

50

x x

x x

x x

y

;9)1(

;3)1(

2

−

++

=

x

x x

y , x∈(1;3]

• D∈(1;3] (hoặc D= R\{}xét x∈(1;3])

)1(

52'

;0)2(

1sin

+

=

x x

x y

t

y ;t∈[−1;1]

)1(

2'

++

−

−

=

t t

t t y

Cho y'=0⇔−t2 −2t=0⇒t t ==−02∉[−1;1]

.3

2)1(

;0)1(

x

2

11

x y x

−

=+ trên [0; 4]

11

x x y

x x

− +

=+ − trên [0; 1]

y= x− x+

d) y=cos2x−2sinx−1 e) y=sin3x+cos3x f) 2

11

x y

 Ta chưa hết phần Max-Min đâu vì dạng toán này còn những ứng dụng từ các công cụ khác nữa các

em muốn phần này đầy đủ thì đọc chuyên đề về Bất đẳng thức của thày thì các em sẽ hiểu sâu hơn

 Giới thiệu sơ sơ về BĐT

VD1: Giả sử D={( ; ; )/x y z x>0,y>0,z>0,x y z+ + =1} Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

⇒ P ≥ 5

2 Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = 1

3 Vậy minP = 52.VD4: Cho D = {( ; )/x y x>0,y>0,x y+ ≥4} Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

• Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng x x= 0

• Nếu bậc(P(x)) ≤ bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang

• Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên

b) Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các công thứcsau:

2

−+

x x

x y

x

+

=

−d) 2 4 3

x y

a) 2

4 5

x y

=

29

x y

4 51

y x

11

y x

+ +

=

4 3

41

y x

− +

=

−BÀI 3 Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) y= x2−4x b) 42 2

9

x y x

1 Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

• Tìm tập xác định của hàm số

• Xét sự biến thiên của hàm số:

+ Tính y′

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y′ bằng 0 hoặc không xác định

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số

• Vẽ đồ thị của hàm số:

+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương)

– Tính y′′.– Tìm các điểm tại đó y′′ = 0 và xét dấu y′′

+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị.

+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trongtrường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏqua) Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn

+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị

I

y

x 0

y

x 0

y

x 0

y

x 0

= − và một tiệm cận xiên Giao điểm của hai tiệm cận là tâmđối xứng của đồ thị hàm số.

x

x x

x y

• →−∞ y=−∞ →+∞y=+∞

x

xlim ;lim

• Vậy: hs tăng (−∞;0)và (2;+∞) Hs giảm (0;2)

Hs đạt cực đại tại (0;2), cực tiểu tại (2;-2)

• y ''=6x−6 Cho

01

0660

x x

2' 2 <

Vậy: hs luôn giảm trên D.và Hs không có cực trị

Đồ thị nhận I(1;1) làm tâm đối xứng

1

2

−+

x

x

y

• D=R\{} 2

2

)1(

2'

20

x

x x

x y

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

x y x

+

=

34

x y

x

−

=

−d) 1 2

1 2

x y

x y x

−

=+

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

+ −

=+

11

x y

x

=

2 21

y x

−

=+BÀI 6: SỰ TƯƠNG GIAO

1 Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) Để tìm hồnh độ giao điểm của (C1) và (C2) ta giảiphương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hồnh độ giao điểm)

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị.

2 Đồ thị hàm số bậc ba y ax= 3+bx2+ +cx d a( ≠0) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

⇔ Phương trình ax3+bx2+ + =cx d 0 có 3 nghiệm phân biệt

a) Chứng minh rằng đường thẳng (d): y = 2x + m luôn luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N

⇔  − = − ≠ ∀



→ phương trình (*) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt khác – 1

Vậy (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ của M và N thì x1,

x2 là nghiệm của phương trình (*) Ta có: 1 2 1 2

−

=

x

x m

y có đồ thị là (H , với m là tham số thực m)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=1

2 Tìm m để đường thẳng d:2x+2y−1=0 cắt (H tại hai điểm cùng với gốc tọa độ tạo thành m)một tam giác có diện tích là

+

x

m x

170

)1(22)2.(

2

01617

2

m

m m

m

Ta có

.1617.2

24

)(

.2)(

.2)(

)

1 2

2 1 2

2 1 2

2 1

1

=

h

Suy ra ,

2

18

31617.2

2.22

1.2

1 2

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

2 Tìm m để đường thẳng (d ): y = x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh khác nhaucủa đồ thị sao cho khoảng cách giữa 2 điểm đó là nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

−

=+ .1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Tìm a và b để đường thẳng (d): y ax b= + cắt (C) tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau quađường thẳng (∆): x−2y+ =3 0

Giải

2 Phương trình của ( )∆ được viết lại: 1 3

y= x+

Để thoả đề bài, trước hết (d) vuông góc với ( )∆ hay a= −2

Khi đó phương trình hoành độ giao điểm giữa (d) và (C):

2

A B I

à ï A B AB

( 3) 3 04

a b

a b

 = −

 = −

VD5: Cho hàm số 1

1

x y x

Gọi A x( ; 21 x1+m B x), ( ; 22 x2 +m) là hai điểm giao giữa (d) và (C).(x x là hai nghiệm của phương1; 2

VD6: Cho hàm số y =

1

12

2/ Định k để đường thẳng d: y = kx + 3 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm M, N sao cho tam giác OMN vuông góc tại O ( O là gốc tọa độ)

k kx x

kx x

−+

47

00

)1(0

0

k k

k g

−

⇔

=+++

+

⇔

=++

x

k

k x x k

k

k

x x k x

x k

kx kx

x x ON

OM ON

OM

N M

N M

N M N

M N

M N

M

4

15

30

4

6

09)(

3).)(

1(0)3)(

3(

.0

2) Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k Tìm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai điểm M,

( 1) 1

x

k x

I x

413

−

=+ (C)

1 Khảo sát hàm số

2 Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 5

Giải

2 Phương trình hoành độ giao điểm: 2x2 + mx + m + 2 = 0 , (x≠ - 1) (1)

d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt ⇔ PT(1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1 ⇔ m2 - 8m - 16 > 0 (2)

Gọi A(x1; 2x1 + m) , B(x2; 2x2 + m Ta có x1, x2 là 2 nghiệm của PT(1)

Theo ĐL Viét ta có

1 2

222

m

x x m

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm:

= − − + + Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiệnx12+x22+x23 >15

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm: 1 3 2 2 3 2

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm: x3−3x2−9x m 0 (*)+ = Giả sử (Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độx , x , x (x1 2 3 1<x2 <x )3 thì x1, x2, x3 là nghiệm của phương trình (*) Khi đó: 3 2

Giải: Ta có: y ' 3x= 2−6mx 2m(m 4); y '' 6x 6m+ − = −

2

y '' 0= ⇔ = ⇒ =x m y m −m Điểm uốn I(m; m2−m)

Điều kiện cần: đồ thị (Cm) của hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm cắt đều nhau⇒ ∈I Ox m 0

m 1

=



⇔  = Điều kiện đủ:

+Với m = 0, ta có: y = x3: đồ thị của hàm số chỉ cắt trục hoành tạ 1 điểm duy nhất → m = 0 không thỏa

VD13: Cho hàm sốy 2x= 3−3x2+1 (C) Tìm điều kiện của a và b để đường thẳng (d): y = ax + b cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, D sao cho AB = BD Khi đó chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn luôn

đi qua một điểm cố định

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm 3 2 3 2

2x −3x + =1 ax b+ ⇔2x −3x − + − =ax 1 b 0 (*) Giả sử (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, D có hoành độ lần lượt là x , x , x (x1 2 3 1<x2 <x )3 là nghiệm của phương trình (*) Khi đó:

3a

Giải: Đồ thị (Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt⇔(Cm) có hai cực trị đồng thời hai giá trị cực trị trái dấu Ta có: y '= −3x2+2mx 3

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=0

2 Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng :∆ y= − +x 2 tại 3 điểm phân biệt (0; 2)A ; B; C sao cho

tam giác MBCcó diện tích 2 2 , với (3;1).M

Đường thẳng ( )∆ cắt dồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0;2), B, C ⇔

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

%

2(0) 0 3 2 0

h

Mà BC2 =(x2−x1)2+(y2−y1)2 =2 ( x2+x1)2−4x x1 2=8(m2−3m+2)

Suy ra 8(m2−3m+2)=16⇔ =m 0(thoả mãn) hoặc m=3(thoả mãn)

 Vấn đề điểm cố định ta sẽ nói sâu hơn ở bài sau PH

 HÀM TRÙNG PHƯƠNG

VD16: Cho hàm số 4 2

m

y= − +x 2(m 2)x+ −2m 3− (C ) Định m để đồ thị (Cm) cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm:− +x4 2(m 2)x+ 2−2m 3 0 (1)− = Đặtt x , t 0= 2 ≥

2 4

x y x

3 1

x y x

2 1

22

x y x

1313

a) y x= 3+3x2+mx+2 ;m y= − +x 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

b) y mx= 3+3mx2− −(1 2 )m x−1 cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt

c) y= −(x 1)(x2−mx m+ 2−3) cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt

d) y x= 3+2x2−2x+2m−1;y=2x2− +x 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

e) y x= 3+2x2−m x2 +3 ;m y=2x2+1 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

Bài 5. Tìm m để đồ thị các hàm số:

a) y x= 4−2x2−1;y m= cắt nhau tại bốn điểm phân biệt

b) y x= 4−m m( +1)x2+m3 cắt trục hồnh tại bốn điểm phân biệt

c) y x= 4−(2m−3)x2+m2−3m cắt trục hồnh tại bốn điểm phân biệt

b) y x= 3−3x2−9x+1;y=4x m+ cắt nhau tại ba điểm A, B, C với B là trung điểm của đoạn AC.c) y x= 4−(2m+4)x2+m2 cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng d) y x= 3−(m+1)x2−(m−1)x+2m−1 cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp sốnhân.

e) y=3x3+(2m+2)x2+9mx+192 cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp sốnhân

BÀI 7: BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ

Bài toán: Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) với f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

• Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối

• Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối

• Vẽ đồ thị hàm số tương ứng trong các khoảng của miền xác định

Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y= f x( )

Đồ thị (C′) của hàm số y= f x( ) có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành

+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hoành qua trục hoành

+ Đồ thị (C′) là hợp của hai phần trên

Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số y f x= ( )

Đồ thị (C′) của hàm số y f x= ( ) có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung

+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung

+ Đồ thị (C′) là hợp của hai phần trên

BÀI 8: BIỆN LUẬN NGHIỆM PT BẰNG PP ĐỒ THỊ

• Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x)

Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x)

• Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một trong các

dạng sau:

Dạng 1: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m (1)

Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ

giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x)d: y = m

• d là đường thẳng cùng phương với trục hoành

• Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm

của (C) và d Từ đó suy ra số nghiệm của (1)

Dạng 2: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = g(m) (2)

Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k

Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m

Dạng 3: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = kx + m (3)

(k: không đổi)Khi đó (3) có thể xem là phương trình hoành độ

giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x)d: y = kx + m

• Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phương

với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0; m)

• Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, … của (C)

có hệ số góc k

• Dựa vào các tung độ gốc m, b1, b2, … của d, d1, d2, …

để biện luận

Dạng 4: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m(x – x0) + y0 (4)

Khi đó (4) có thể xem là phương trình

hoành độ giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x)d: y = m(x – x0) + y0

• d quay quanh điểm cố định M0(x0; y0)

• Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, …

của (C) đi qua M0

• Cho d quay quanh điểm M0 để biện luận

b) biện luận số nghiệm phương trình : x3 −3x2 +2=m

c) Tìm m để phương trình x3 −3x2 +3=m có 3 nghiệm phân biệt

d) Tìm m để phương trình x3 −3x2 +2 =m

có 6 nghiệm phân biệt

e) Tìm m để phương trình x3 −3x2 +2=m có 2 nghiệm phân biệt

m > 0

m = 0

m < 0

d I

x

x x

x y

• →−∞ y=−∞ →+∞y=+∞

x

xlim ;lim

Vậy: hs tăng (−∞;0)và (2;+∞) Hs giảm (0;2).

Hs đạt cực đại tại (0;2), cực tiểu tại (2;-2)

• y ''=6x−6 Cho

01

0660

=> (D) cắt (C) tại 2 điểm => pt (*) có 2 nghiệm (1 kép, 1 đơn)

• −2<m<2=> (D) cắt (C) tại 3 điểm => pt (*) có 3 nghiệm phân biệt

−

≥+

−+

−

=+

−

=

)023(

;23

)023(

;232

3

2 3 2

3

2 3 2

3 2

3

x x x

x

x x x

x x

x

y

• Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành

• Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hoành qua trục hoành

• Đồ thị (C′) là hợp của hai phần trên

Vậy phương trình (*) có 6 nghiệm phân biệt  (D) cắt (C’) tại 6 điểm phân biệt ⇔0<m<2

−

=+

−

=

)0(

;23

)0(

;232

3

2 3

2 3 2

3

x x

x

x x

x x

x

y

• Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung

• Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung