Chuyên đề : Khao sat ham số

MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH YẾU LÀM TỐT BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ I.. Tuy nhiên, để làm tốt bài toán này đòi hỏi tính nghiêm túc trong việc thực hiện các bước khảo sát và nắm v

MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH YẾU LÀM TỐT BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Làm thế nào để học tốt môn toán ? Đó là băn khoăn chung của học sinh, càng là

sự lo lắng của học sinh có học lực trung bình, yếu đang học lớp 12 Để giải quyết câu hỏi này, ngoài việc đòi hỏi nơi các em sự cần cù, nỗ lực phấn đấu; còn cần phải có phương pháp học tập, phải căn cứ vào tính đặc thù từng môn học để có phương pháp

cụ thể Phương pháp học tập tốt , là phương pháp mà có thể bỏ ít công sức nhưng kết qủa đạt cao Nhà sinh lý học người Pháp Penna đã nói : “Phương pháp học tốt giúp ta phát huy được tài năng vốn có, phương pháp học dở sẽ cản trở phát triển tài năng”

Do đó , học tập một cách khoa học, có phương pháp là vô cùng quan trọng

Bài toán : “ Khảo sát hàm số ’’ thường có trong các đề kiểm tra học kỳ, đề thi tốt nghiệp THPT, đề tuyển sinh vào các trường đại học, cao đẳng và trung cấp chuyên nghiệp hàng năm Đây cũng là bài dễ có điểm đối với thí sinh kể cả đối với học sinh trung bình yếu Tuy nhiên, để làm tốt bài toán này đòi hỏi tính nghiêm túc trong việc thực hiện các bước khảo sát và nắm vững một số tính chất đặc thù của từng dạng hàm

số Là một giáo viên dạy môn toán nhiều năm tại trường THPT Thanh Bình, bản thân tôi được nhà trường phân công giảng dạy một số lớp mà các năm trước có kết quả thấp, thậm chí có năm nhà trường lựa ra một lớp gồm toàn học sinh có học lực yếu và phân công tôi vừa làm công tác chủ nhiệm vừa trực tiếp giảng dạy môn toán ( lớp 12

12 A năm học 2003 – 2004 ).Từ thực tế giảng dạy, tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm về việc hướng dẫn học sinh làm tốt bài toán: “Khảo sát hàm số ” Trong phạm

vi chuyên đề này, tôi xin phép chỉ nêu những kinh nghiệm đã áp dụng với đối tượng học sinh lớp 12 có học lực trung bình yếu Tôi chọn chuyên đề này với mong muốn được cùng chia sẻ cùng đồng nghiệp, đồng môn ; để góp phần cùng cộng đồng trách nhiệm, chung sức để tìm ra biện pháp từng bước nâng cao chất lượng dạy và học môn toán tại các trường vùng sâu, vùng xa như trường THPT Thanh Bình Đó là lý do tôi chọn đề tài MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH YẾU LÀM TỐT BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ

II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI.

1 Thuận lợi

-Qua thực tiển giảng dạy toán nhiều năm, tôi đã kinh qua việc giảng dạy nhiều đối tượng học sinh với lực học chênh lệch nhau khá lớn, được giao nhiệm vụ bồi dưỡng đội tuyển thi học sinh giỏi toán 10, 11, 12, đồng thời có năm được phân công phụ đạo học sinh yếu nên ít nhiều tôi đã tích lũy được một số kinh nghiệm cho bản thân trong việc hướng dẫn học sinh làm tốt bài khảo sát hàm số

-Việc được góp ý sau những lần dự giờ, được trao đổi chuyên môn với đồng nghiệp

đã giúp tôi ngày càng tích lũy, học hỏi được một số kinh nghiệm trong việc giảng dạy

về khảo sát hàm số

- Qua việc tôi điều động chấm thi tốt nghiệp THPT hàng năm , tôi đã ít nhiều có được cách nhìn khái quát về những ưu, khuyết trong việc học sinh thực hiện bài toán khảo sát hàm số

2 Khó khăn

- Trong việc phân công giảng dạy, tôi thường được nhận lớp 12 trong khi các em này

thường học toán lớp 10 và 11 với những giáo viên khác nên việc để các em tiếp thu về phương pháp giảng dạy của bản thân phải tốn nhiều thời gian

- Lực học của học sinh trong một lớp thường có sự chênh lệch lớn nên việc thực hiện giảng dạy toán trên lớp cũng gặp khó khăn trong việc làm sao cho mọi đối tượng học sinh trong lớp đều nắm vững phương pháp qua tiết dạy

- Không ít học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của bài toán khảo sát hàm

số, cụ thể chưa nắm bắt được các thao tác, những kiến thức cần thiết phục vụ cho bài toán khảo sát hàm số

3 Số liệu thống kê.

Qua thống kê sơ bộ điểm môn toán của 2 lớp 12 A12; 12 A13 năm học 2005 – 2006, lớp 12 A10 năm học 2006 – 2007, cụ thể là kết qủa 2 bài kiểm tra kiểm tra ( một bài kiểm tra một tiết và một bài kiểm tra học kỳ I ), kết qủa như sau :

+ Bài kiểm tra một tiết, trong 134 bài kiểm tra có :

 21 bài điểm 6, 7 tỷ lệ 15,7 %

 29 bài điểm 5 tỷ lệ 21,6 %

 75 bài điểm dưới 5 tỷ lệ 56,0%

+ Bài kiểm tra học kỳ I trong 134 bài kiểm tra có :

 7 bài diểm 8 tỷ lệ 5,2 %

 19 bài điểm 6, 7 tỷ lệ 14,2 %

 47 bài điểm 5 tỷ lệ 35,1 %

 61 bài điểm dưới 5 tỷ lệ 45,5 %

Trong các lớp tôi được nhà trường phân công giảng dạy có đến 60 % học sinh

có kết quả môn Toán cuối năm học 2004 – 2005 xếp loại yếu Qua tìm hiểu, tôi cảm nhận được rằng trong số những em có học lực yếu cũng có những em có kỹ năng tính toán tương đối tốt nhưng khả năng vận dụng các bước khảo sát với từng dạng hàm só còn qúa hạn chế

III NỘI DUNG ĐỀ TÀI.

1 Cơ sở lý luận.

Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinh được tiến hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó Chẳng hạn, quy trình bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm :

Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán

Bước 2 : Xây dựng thuật giải

Bước 3 : Thực hiện thuật giải

Bước 4 : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

Quy trình dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề gồm các bước:

Bước 1 : Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề

• Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề từ một tình huống được gợi ý

• Giải thích và chính xác hoá tình huống để hiểu đúng vấn đề được đặt ra

• Phát biểu vấn đề và đặt mục đích giải quyết vấn đề đó

Bước 2 : Tìm giải pháp để giải quyết vấn đề

Bước 3 : Trình bày giải pháp

Bước 4 : Nghiên cứu sâu giải pháp nhằm tìm hiểu các khả năng ứng dụng kết quả

Trong sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhất giải tích 12 của tác giả Ngô Thúc Lanh ( chủ biên ) NXB Giáo dục – 2000 đã trình bày rất cụ thể về quy trình dạy và học bài toán Khảo sát hàm số qua sơ đồ khảo sát :

Bước 1 : Tìm tập xác định của hàm số

Xét tính chẵn , lẻ, tính tuần hoàn ( nếu có )

Bước 2 : Khảo sát sự biến thiên của hàm số

a Xét chiều biến thiên của hàm số

• Tính đạo hàm

• Tìm các điểm tới hạn

• Xét dấu của đạo hàm

• Suy ra chiều biến thiên của hàm số

b Tìm các điểm cực trị

c Tìm các giới hạn của hàm số

Tìm các đường tiệm cận ( nếu có )

d Xét tính lồi, lõm và tìm điểm uốn của đồ thị hàm số

• Tìm đạo hàm cấp 2

• Xét dấu đạo hàm cấp 2

• Xác định khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị

e Lập bảng biến thiên

Bước 3 : Vẽ đồ thị

Tuy nhiên qua thực tế , việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vào bài toán khảo sát hàm số thật không hề đơn giản đối với học sinh, đặc biệt đối với học sinh có học lực yếu Do vậy, để giúp các em dể dàng thực hiện tốt bài toán khảo sát hàm số, tôi đã sắp xếp lại và phân chia cụ thể các bước trong sơ đồ khảo sát

2 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài

Trước đây, yêu cầu của bài toán ghi rất cụ thể : “Khảo sát sự biến thiên và đồ thị của hàm số ” hay “ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ” nhưng từ năm 2000, yêu cầu bài toán nêu rất gọn : “ Khảo sát hàm số ” điều này khiến không ít học sinh bỡ ngỡ Các em cứ nghĩ chỉ yêu cầu khảo sát hàm số chứ không yêu cầu vẽ đồ thị, không những thế, đề toán thì muôn hình vạn trạng, có những đề bài rắc rối, xem xong thì hoa

cả mắt Tục ngữ có câu : “Mỗi chìa khoá chỉ mở được một ổ khoá Tuy ta không thể tạo ra được chìa khóa vạn năng, nhưng nếu nắm vững nguyên lí làm chìa khoá thì sẽ

có thể làm ra chìa khóa cho ổ khoá nào đó” Giải toán thực chất là một quá trình tư duy toán học Nếu so sánh việc giải bài tập như việc mở ổ khoá thì phương pháp tư duy chính là nguyên lí làm chìa khoá Do vậy cần hướng dẫn cho học sinh suy luận từ

“cái đã biết” tìm “ cái suy ra” để cuối cùng tìm được “cái cần tìm”

Với việc khảo sát một số hàm số quy định trong chương trình :

• Hàm số bậc ba : y=ax3 +bx2 +cx+d (a ≠ 0 )

• Hàm số trùng phương : y =ax4 +bx2 +c (a ≠ 0 )

• Hàm số nhất biến : y cx ax d b

+

+

= (c≠ ; ad−bc≠ 0 )

• Hàm số hữu tỷ :

' '

2

b x a

c bx ax y

+

+ +

= (aa' ≠ 0 )

Tôi đã chuẩn bị 4 sơ đồ khảo sát đều gồm 5 bước khá chi tiết, với những việc làm cụ thể Tôi phân công mỗi tổ thực hiện vẽ một bảng vào giấy cứng khổ lớn để phục vụ cho các tiết học và làm bài tập về khảo sát hàm số và ôn tập, ôn thi tốt nghiệp vào cuối năm học

Ngoài việc nắm vững sơ đồ khảo sát, tôi đã phân tích cho học sinh biết ý nghĩa của từng bước đi, mối quan hệ giữa các bước khi giải bài toán khảo sát hàm số:

 Tìm tập xác định của hàm số

Đây là bước thứ nhất trong việc khảo sát hàm số, vì nếu hàm số không xác định trên một tập số nào đó thí hàm số có tồn tại đâu mà khảo sát Việc xét tính chẵn

lẻ và tính tuần hoàn ( nếu có ) giúp cho việc vẽ đồ thị thuận lợi hơn

 Xét sự biến thiên của hàm số

Phải tính đạo hàm và tìm điểm tới hạn, nghĩa là tìm y' và giải phương trình

0

' =

y , tìm các điểm thuộc tập xác định của hàm số mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại Việc xác định dấu đạo hàm trong mỗi khoảng thường được tiến hành dựa vào định lý về dấu nhị thức bậc nhất ( lớn cùng - nhỏ trái ) hoặc tam thức bậc hai ( trong trái , ngoài cùng ) Nếu biểu thức của đạo hàm phức tạp thì có thể tính giá trị của đạo hàm tại một điểm đặc biệt của khoảng, dấu của giá trị đó là dấu của đạo hàm trên toàn khoảng, từ đó suy ra được chiều biến thiên của hàm số trên khoảng ấy

 Tính các điểm cực trị

Vì mọi điểm cực trị đều là điểm tới hạn của hàm số, do vậy trước hết phải tìm giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn x0 đồng thời dựa vào dấu của y' để kết luận :

• y' đổi dấu từ dương sang âm khi qua x0, ta nói : Hàm số đạt cực đại tại 0

x và f( )x0 là giá trị cực đại

• y' đổi dấu từ âm sang dương khi qua x0, ta nói: Hàm số đạt cực tiểu tại 0

x và f( )x0 là giá trị cực tiểu

Trong phần này cần nhắc học sinh nắm bắt nội dung định lý Fecma : “ Nếu hàm số f (x) có đạo hàm tại điểm x0 và nếu nó đạt cực trị tại điểm đó thì

0 )

(

' x0 =

f ” Định lý Fecma cho ta hai thông tin cần thiết :

o Tại điểm cực trị (x0;f(x0)) của đồ thị, tiếp tuyến song song với trục hoành

o Mọi điểm cực trị đều là điểm tới hạn nhưng một điểm tới hạn không nhất thiết là điểm cực trị ( ví dụ điểm x0 = 0 đối với hàm số f(x) =x3) Nhằm giúp học sinh tìm giá trị cực trị của hàm số hữu tỷ một cách nhanh chóng cả trong trường hợp nghiệm của phương trình f' (x) = 0 là số vô tỷ, giáo viên cần giới thiệu với học sinh công thức tìm giá trị cực trị của hàm số hữu tỷ

) (

) (

x v

x u

y = ( nếu hàm số đạt cực trị tại x0 với v' (x0) ≠ 0 thì giá trị cực trị của hàm

số là

) (

) ( ) (

0 ' 0 ' 0

x v

x u x

f = ) Để nhớ công thức này, tôi hướng dẫn học sinh : tìm đạo

hàm: tử riêng, mẫu riêng và thay x bằng x0 với x0 là điểm cực trị

 Tìm các giới hạn của hàm số

• Đối với hàm số y=ax3 +bx2 +cx+d và y=ax4 +bx2 +c :

khi x→ ∞ thì y→ ∞ ( đồ thị của các hàm số này không có tiệm cận ).

• Đối với hàm số y cx ax d b

+

+

= thì y a c

∞

→

lim , hàm số có tiệm cận ngang y =a c

−

→

y

c

d x

lim

, hàm số có tiệm cận đứng x= −d c

• Đối với hàm số

' '

2

b x a

c bx ax y

+

+ +

∞

→ y

x

lim , hàm số có tiệm cận xiên

−

→

y

a

b x

' ' lim

, hàm số có tiệm cận đứng x = −a b''

 Xét khoảng lồi, lõm và xác định điểm uốn của đồ thị

Đối với hàm số y =ax3 +bx2 +cx+d và y=ax4 +bx2 +c thì cần tính đạo hàm cấp hai y ', giải phương trình y ' = 0 và lập bảng xét dấu y ' để xác định các khoảng lồi, lõm và điểm uốn nếu có Đối với hàm số y=ax3 +bx2 +cx+d , đồ thị hàm số này luôn có 1 điểm uốn ( kể cả trong trường hợp hàm số không có cực trị ),đối với hàm số y =ax4 +bx2 +c, đồ thị hàm số có thể có 1 điểm uốn hoặc có 2 điểm uốn

 Lập bảng biến thiên

Được gọi là bảng tổng hợp các kết qủa đã khảo sát Bảng biến thiên gồm 3 dòng : Dòng thứ nhất ta ghi tập xác định và các điểm tới hạn của hàm số, dòng thứ hai ghi dấu của đạo hàm y' , dòng thứ ba ghi chiều biến thiên của hàm số thông qua các mũi tên đi lên hoặc đi xuống theo hướng từ trái sang phải Đối với hàm có mẫu cần xác định rõ điểm x0 làm hàm số và đạo hàm không xác định

 Vẽ đồ thị hàm số

Bước cuối cùng trong bài toán khảo sát hàm số là thể hiện tất cả các kết quả vừa khảo sát bằng hình vẽ, gọi là vẽ đồ thị của hàm số Phần lớn học sinh lúng túng trong vẽ đồ thị và không thấy được tầm quan trọng của đồ thị trong bài toán khảo sát hàm số Do vậy, để giúp học sinh nhận thức đúng và biểu diễn một cách chính xác đồ thị hàm số, truớc khi vẽ đồ thị cần chính xác hoá một số điểm sau :

• Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ ( Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung ta cho x = 0 tìm y , tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành ta cho y = 0 tìm x ) Trong trường hợp phương trình hoành độ giao điểm của

đồ thị hàm số với trục hoành là phương trình dạng phức tạp, khi đó tập trung khai thác tính chất đối xứng:

o Đồ thị hàm bậc ba y =ax3 +bx2 +cx+d nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

o Đồ thị hàm số y=ax4 +bx2 +c nhận trục tung làm trục đối xứng

o Đồ thị các hàm số y cx ax d b

+

+

= và

' '

2

b x a

c bx ax y

+

+ +

đường tiệm cận làm tâm đối xứng

• Nếu cần thiết thì hướng dẫn học sinh tìm thêm một số điểm đặc biệt thích hợp (một số điểm với các tọa độ tự chọn )

MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ :

1 Khảo sát hàm số y=x3 − 3x2 + 2 (C) (đề tuyển sinh ĐH khối B năm 2003)

2 Khảo sát hàm số y= −x4 + 2x2 + 3 (C) (đề thi tốt nghiệp THPT 2002)

3 Khảo sát hàm số

1

1 3

−

−

−

=

x

x

y (C) ( đề tuyển sinh ĐH-CĐ khối D năm 2002)

4 Khảo sát hàm số = −21

x

x

y (C) (đề thi HK II năm 2005)

Tập xác định : D = R

x

x

y' = 3 2 − 6 ; 





=

=

⇔

=

−

⇔

=

2

0 0

6 3 0

x

x x

x y

6

6

'' = x−

y ; y'' = 0 ⇔ 6x− 6 = 0 ⇔x= 1

Bảng xét dấu y ' :

Giới hạn : = −∞

−∞

→ y

+∞

→ y

xlim

Bảng biến thiên :

Đồ thị cắt trục hoành tại các điểm ( 1 ; 0 ) ; (1 - 3 ; 0 ) ; ( 1 + 3 ; 0 )và cắt trục tung tại điểm ( 0 2 )

Tập xác định : D = R ; Hàm số chẵn

) 1 (

4 4

4

' = − x3 + x= x −x2 +

y ; y'= 0⇔ 4x( −x2+ )1= 0⇔ x x== ±01

Đồ thị

x

'

0 Điểm uốn I( 1; 0 )

+ –

'

y

x

y

∞

−

∞

−

∞

+

∞ +

2

-2

CĐ

CT

2

-2

2

3

1 −

y

x

0

) 1 3 ( 4 4 12

'' = − x2 + = − x2 +













=

−

=

⇔

= +

−

⇔

=

3 3 3

3 0

1 3 0 '' 2

x

x x

y

Bảng xét dấu y '

Giới hạn : = −∞

−∞

→ y

Lim

x ; = +∞

+∞

→ y

Lim

x

Bảng biến thiên :

Đồ thị :

x

x

y (C) ( Đề tuyển sinh ĐH-CĐ khối D năm 2002)

+ 0 – 0 + Lõm Lồi Lõm

Đồ thị

x

'

Điểm uốn Điểm uốn

x

'

y

y

∞

−

∞

−

1

CT

4

- Hàm số đã cho là hàm số chẵn, do đó đồ thị (C) của hàm số đối xứng qua trục tung

- Đồ thị (C) cắt trục Oy tại điểm và cắt trục hoành tại 2 điểm

0

3

3

3

−

3 3

∞

−

∞ +

3

Tập xác định : D = \R { } 1

(x ) x D

−

1

4

Giới hạn và tiệm cận :

+∞

=

−

→ y

Lim

x 1 ; + = −∞

→ y

Lim

x 1 ⇒đường thẳng x= 1 là tiệm cận đứng

3

−

=

−∞

→ y

Lim

+∞

→ y

Lim

x ⇒đường thẳng y = − 3 là tiệm cận ngang Bảng biến thiên :

Đồ thị :

Giao của đồ thị (C) với các trục : x= 0 ⇒y= 1 ; y= 0 ⇒x= −31

x

x

− + +

=

x

x (C) (đề thi HK II năm 2005)

x

'

y

y

∞

−

∞

−

∞

+

∞ +

1

+

– 3

– 3

+

1 3

1

−

0 – 3

1

Tập xác định : D = \R { } 1

2

2 2

'

) 1 (

2 )

1 (

1 1

−

−

=

−

−

=

x

x x x

y







=

=

=

=

⇔

=

−

⇔

=

4 )2(

,2

0 )0(

,0 0 2

0 2

'

f x

f x x x

y

Giới hạn và tiệm cận : = −∞

−

−∞

→ 1

2

x

x Lim

−

+∞

→ 1

2

x

x Lim

x

= ∞ ⇒

−

→ 1

2

1 x

x Lim

x Tiệm cận đứng : x= 1

1

1 )

1 ( )

−

= +

−

∞

→

∞

→ f x x Lim x

Lim

x

Bảng biến thiên :

Đồ thị :

IV KẾT QỦA

0

4

∞

−

∞

∞

+

∞ +

∞ +

1

x

'

y

y

0

1 2

1

4

–1

I

x

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

y