1 CD1 khao sat ham so

Dạng : Định giá trị tham số để hàm số đơn điệu trên tập hợp X cho trước.Chú ý quan trọng: Trong điều kiện trên dấu bằng xảy ra khi phương trình 'y = có hữu hạn 0 nghiệm, nếu phương trình

Chủ đề 1 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Nội dung 1: Tính đơn điệu của hàm số

A Tóm tắt lí thuyết

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1) Định lý 1: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên K

a) Nếu hàm số f (x) đồng biến trên K thì f '(x) 0 với mọi x K

b) Nếu hàm số f (x) nghịch biến trên K thì f '(x) 0 với mọi x K

 [ f(x) đồng biến trên K]  [ f '(x) 0 với mọi x K ]

 [ f(x) nghịch biến trên K]  [ f '(x) 0 với mọi x K ]

 [ f '(x) 0 với mọi x K ]  [ f(x) không đổi trên K]

2) Định lý 2: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên K

a) Nếu f ' x  0 với mọi x K thì hàm số f (x) đồng biến trên K

b) Nếu f ' x  0 với mọi x K thì hàm số f (x) nghịch biến trên K

c) Nếu f ' x  0 với mọi x K thì hàm số f (x) không đổi trên K

 [ f '(x) 0 với mọi x K ]  [ f(x) đồng biến trên K]

 [ f '(x) 0 với mọi x K ]  [ f(x) nghịch biến trên K]

3) Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên K

a) Nếu f ' x 0 với mọi x K và f ' x  0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K

Dạng : Định giá trị tham số để hàm số đơn điệu trên tập hợp X cho trước.

Chú ý quan trọng: Trong điều kiện trên dấu bằng xảy ra khi phương trình 'y = có hữu hạn 0

nghiệm, nếu phương trình 'y = có vô hạn nghiệm thì trong điều kiện sẽ không có dấu bằng.0

♦ Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm là  3 m0.r

Ví dụ 2 Cho hàm số y x 3 3mx23(m2 1)x 2m Tìm 3 m để hàm số nghịch biến trên khoảng  1;2

Do đó: ' 0y   x 1;2  x1  1 2 x2  1

2

12

x x

Bài tập tương tự hoctoancapba.com

Cho hàm số y2x3 3 2 m1x26m m 1x1 Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 2;.Đáp số: m£1

Ví dụ 3 Cho hàm số y x 3 3x2 mx Tìm 2 m để hàm số đồng biến trên khoảng 0; 

x 0 1 +¥

'( )

f x - 0 +( )

♣ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định Û ' 0y  ,  x D (không có dấu bằng)

 Dấu của 'y là dấu của biểu thức m2 7m 8

♣ Hàm số đồng biến trên khoảng (3;+¥ ) Û ' 0y  ,  x 3; (không có dấu bằng)

ì - < <

ïï

íï £ïî

Û - < £8 m 3

♦ Vậy giá trị m cần tìm là - < £8 m 3.r

C Bài tậpBài 1: Cho hàm số 1 (1 ) 2(2 ) 2(2 ) 53 2

mx y

x m Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

mx y

x m Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng 1;

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x Khi đó nếu f có đạo hàm tại 0 x thì 0 f x'( )0 = 0

2) Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị) Quy tắc 1

Giả sử hàm số y= f x( ) liên tục trên khoảng (a b chứa điểm ; ) x và có đạo hàm trên các khoảng 0 (a; x0) và(x b Khi đó0; )

a) Nếu '( )f x < với mọi 0 xÎ (a x; 0) và '( )f x > với mọi 0 xÎ (x ; b0 )

thì hàm số ( )f x đạt cực tiểu tại điểm x 0

b) Nếu '( )f x > với mọi 0 xÎ (a x; 0) và '( )f x < với mọi 0 xÎ (x ; b0 )

thì hàm số ( )f x đạt cực đại tại điểm x 0

3) Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị) Quy tắc 2

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a b chứa điểm ; ) x , 0 f x'( )0 = và f có đạo hàm cấp hai khác 0không tại điểm x Khi đó0

a) Nếu f x''( )0 < thì hàm số ( )0 f x đạt cực đại tại điểm x 0

b) Nếu f x''( )0 > thì hàm số ( )0 f x đạt cực tiểu tại điểm x 0

 f ' x 4ax32bx 0  có ba nghiệm phân biệt.

B Phương pháp giải toánDạng 1: Định giá trị tham số để hàm số bậc ba (trùng phương) có 2 cực trị (có 3 cực trị).

1 PHƯƠNG PHÁP

B1 Tập xác định: D=?

B2 Tính ' ?y =

B3 Lập luận:

ìï - ¹ïí

ì ¹ïïíï- < <

♣ Hàm số có ba điểm cực trị Û y  có ba nghiệm phân biệt' 0

Û (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0

2

0' 2 ( 9) 0

9 0

m

m m m

ì ¹ïï

ïï D =- - >

íï

ïï - ¹ïî

Û

03

3

m m m m

ì ¹ïï

ïï é

<-ïï ê

í ê

ï < <ëïï

ï ¹ïïî

m m

é ê

é ê

a) Điều kiện cần: Hàm số có cực trị tại x0 Þ y x'( )0 = 0 Þ Giá trị của tham số m.

b) Điều kiện đủ: Thay giá trị tham số vào 'y thử lại Khi thử lại có thể dùng quy tắc 1 hoặc

b) Điều kiện đủ:

♣ Với m=1, ta có: y'=x2+4x+ , ' 04 y = Û x=- 2 Bảng biến thiên

x

é ê

=-= Û ê =-=-ë Bảng biến thiên

♦ Hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương

Û 'y = có hai nghiệm dương phân biệt0

Û

2

' (2 1) 3(2 ) 02

032(2 1)

03

m P

m S

ïïïî Û

42

12

m m

ìïï <- Ú >

ïïïïï

íï = ïî

ê =ê

íï D = + + >

ïî Û

(3)

m

m m

x x

m

-ïï + =ïïï

ïïïî Theo đề bài : x1+2x2= (4)1

Từ (2) và (4) suy ra

1 2

2

m x

m m x

m

-ïï =ïïï

íï - +

ï =ïïïî

(**)

♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị m cần tìm là 2

3

m= và m=2 r

Ví dụ 4 Cho hàm số y x 3 3mx1 (1), với m là tham số thực Cho điểm (2;3)A Tìm m để đồ thị hàm

số (1) có hai cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A

ê =ê

(**)

♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị m cần tìm là 1

2

m= r

Ví dụ 5 Cho hàm số y x 4 2mx22m m 4 (1), với m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có

ba điểm cực trị , ,A B C đồng thời các điểm , , A B C tạo thành một tam giác vuông.

Suy ra: uuurAB= -( m;- m2);uuurAC=( m;- m2)

♦ Tam giác ABC vuông Û Tam giác ABC vuông tại A

- + = Û ê =ë (**)

♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị m cần tìm là m=1.r

C Bài tập

Bài 7: Cho hàm số y x33x2 3(m21)x 3m2 1 Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm

cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O

Đáp số: 1

2

Bài 8: Cho hàm số y x4 2mx2 m2  2 Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị và các điểm cực trị của đồ

thị hàm số là ba đỉnh của một tam giác vuông

Bài 11: Cho hàm số y x 33x2m Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị ,A B sao cho

A Tóm tắt lí thuyết & phương pháp giải toán

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1) ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm số y f x   xác định trên tập hợp D

 Số M được gọi là GTLN của hàm số y f x   trên tập D nếu các điều sau được thỏa mãn

 

 

i) f x M x Dii) x D : f x M

 Đối với GTLN và GTNN đối với hàm nhiều biến cũng có định nghĩa tương tự

2) CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN a) Phương pháp 1 : Sử dụng bất đẳng thức

(hay phương pháp dùng định nghĩa).

Dấu "=" xảy ra khi a b

 Với ba số a, b, c không âm a, b,c 0  ta luôn có: a b c 3 3

abc a b c 3 abc3

4

a b

a b  abab  3) 2 2 2 2 2 ( )2

2

a b

b) Phương pháp 2 : Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình

(hay phương pháp miền giá trị).

Cơ sở lý thuyết của phương pháp: Cho hàm số xác định bởi biểu thức dạng y f x  

 Tập xác định của hàm số được định nghĩa là :

Ví dụ 1 : Tìm GTLN và GTNN của hàm số

2 2

x x 2y

+ Trường hợp 1: Với y = thì (2) có nghiệm 1 x =0

+ Trường hợp 2: Với y ¹ thì (2) có nghiệm 1 Û D ³ 0

♥ Xem (1) là phương trình theo ẩn x ta có:

 1  2y y cos x 1 sin x   Û ycosx- sinx= -1 2y (2) (dạng a cos x b sin x c  )

c) Phương pháp 3 : Sử dụng đạo hàm (hay phương pháp giải tích).

 Điều kiện tồn tại GTLN và GTNN:

Định lý: Hàm số liên tục trên một đoạn a; b thì đạt được GTLN và GTNN trên đoạn đó.

 Phương pháp chung: Muốn tìm GTLN và GTNN của hàm số y f x   trên miền D, ta lập BẢNG BIẾN THIÊN của hàm số trên D rồi dựa vào BBT suy ra kết quả.

 Phương pháp riêng:

Trong nhiều trường hợp, có thể tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn mà không cần

lập bảng biến thiên của nó Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn a b và có đạo hàm trên ; khoảng a b , có thể trừ một số hữu hạn điểm Nếu '( ) 0;  f x  chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc

a b thì ta có quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm f trên đoạn ;  a b như sau:; 

Quy tắc

1) Tìm các điểm x x1, , ,2 x thuộc m a b mà tại đó hàm số f có đạo hàm bằng ;  0 hoặc không cóđạo hàm

2) Tính f x( ), ( ), , ( ), ( ), ( )1 f x2 f x m f a f b

3) So sánh các giá trị tìm được.

 Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của f trên đoạn a b ; 

 Số nhỏ nhất trong các giá trị đó là GTNN của f trên đoạn a b ; 

4'

ii ĐỔI BIẾN (ĐẶT ẨN PHỤ)

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2sin2x- cosx+ 1

Bài giải

♥ Tập xác định: D = ¡

♥ Đặt t=cosx với t éÎ -ë û , hàm số trở thành: 1;1ù y=- 2t2- + t 3

x

y  x  x trên đoạn 4,0 5) y x 2





 trên đoạn 1; 2 7)

Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

1) y sin2x x  trên đoạn ;

2

ln x y

x

 trên đoạn 1;e3

Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

1) y x 2lnx trên đoạn 1;e 2)  2 1

1

x y x





 trên đoạn 1; 2 3) y x2 3 xlnx trên đoạn 1; 2 4)  y x 2 ln(1 2x) trên đoạn 2;0

Bài 4: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

y= x - -x x x 9) y x24x21 x23x10 (Khối D-2010)

-Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

sin cos 2

y x x

Nội dung 4: Sự tương giao của hai đồ thị

A Tóm tắt lí thuyết

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

Bài toán tổng quát

Trong mp(Oxy) Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số : 1

2

(C ) : y f(x)(C ) : y g(x)

Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2)

Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thị (C 1 ) và (C 2 ).

Chú ý 1 :

* (1) vô nghiệm  (C1) và (C2) không có điểm điểm chung

* (1) có n nghiệm  (C1) và (C2) có n điểm chung

Chú ý 2 :

* Nghiệm x 0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C1) và (C2)

Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hoặc y0 = g(x0)

B Phương pháp giải toán

Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị 1

2

( ) : ( )( ) : ( )

O

)(C1

)(C2

)(C1

)(C2

)(C1

+ = +

- (1) Điều kiện: 1

x x

é =êê

ê ê

x 1 có đồ thị là (C) Tìm m để đường thẳng (d): yx m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

-=- +

- (1) Điều kiện: x¹ 1

♦ Khi đó: (1) Û 2x- = - +1 ( x m x)( - 1)

Û x2- (m- 1)x m+ - = (2)1 0 ♦ (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt Û (1) có hai nghiệm phân biệt

Û (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1

♦ ( )C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt m Û (1) có ba nghiệm phân biệt

Û (2) có hai nghiệm phân biệt khác - 2

m m m

ìïï

ï ¹ïïïïï- < <

íïïï

ïï ¹ ïïïî

ì ¹ïïïí

ì ¹ïïïí

♦ ( )C cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt m Û (1) có bốn nghiệm phân biệt

Û (2) có hai nghiệm dương phân biệt

Û

2 2

44

50

43

m m

ìïï <- Ú ïï

>-ïïï ¹íïïï

ï ïïïî

Û

450

m m

ìïï ïí

>-ïï ¹ïî

♦ Vậy giá trị m cần tìm là

450

m m

ìïï ïí

>-ïï ¹ïî

.r

Dạng 3: Tìm tham số để hai đồ thị 1

2

( ) : ( )( ) : ( )

· Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị.

· Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C1) và (C2)

Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hoặc y0 = g(x0)

2 CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1 Cho hàm số 1

2

mx y x

-=+ có đồ thị là ( )C Tìm m để đường thẳng (d): m y=2x- cắt đồ thị 1 ( )C m

tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho AB= 10

- = + (1) Điều kiện: x¹ - 2

-♦ Khi đó: (1) Û mx- =1 (2x- 1)(x+ 2)

Û 2x2- (m- 3)x- = (2)1 0 ♦ (d) cắt ( )C tại hai điểm phân biệt , m A B Û (1) có hai nghiệm phân biệt

Û (2) có hai nghiệm phân biệt khác - 2

Û ( 3) 2 8 0

m m

ï D = -ë - û+ >

íï + - - ¹ ïî

Û 1

2

m¹ - (*) Đặt A x( 1; 2x1- 1 ;) (B x2; 2x2- 1) với x x là hai nghiệm của phương trình (2).1, 2

Theo định lý Viet ta có:

1 2

3212

íï

ï ïïïî

♦ ( )C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt m Û (1) có ba nghiệm phân biệt

Û (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

Û 9 4( 2) 0

2 0

m m

m m

ìïï <

ïí

ïï ¹ïî

ì + =ïï

íï = ïî

Û m=3 [thỏa mãn (*)]

♦ Vậy giá trị m cần tìm là m=3.r

Ví dụ 3 Cho hàm số y=x4- (3m+4)x2+m2 có đồ thị là ( )C Tìm m để đồ thị m ( )C cắt trục hoành tại m

bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng

Bài giải

♦ Phương trình hoành độ giao điểm: 4 2 2

x - m+ x +m = (1) Đặt t=x2 (t³ 0) , phương trình (1) trở thành:

t2- (3m+4)t m+ 2= (2) 0 ♦ (C) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt Û (1) có bốn nghiệm phân biệt

Û (2) có hai nghiệm dương phân biệt

Û

2 2

44

50

43

m m

ìïï <- Ú ïï

>-ïïï ¹íïïï

ï ïïïî

Û

450

m m

ìïï ïí

>-ïï ¹ïî

Từ (3) và (4) ta suy ra được

1 2

109(3 4)10

m t

m t

ïï =ïïï

ï =ïïïî

♦ Vậy giá trị m cần tìm là

121219

m m

é =êê

ê ê

=-.r

C Bài tậpBài 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường cong (C): 2

x 1 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y=- 3x m+ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt

Đáp số:

940

x 1 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng yx m cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho AB  26

Đáp số: m 2 m8

Bài 12*: Cho hàm số  



x 3y

x 2 có đồ thị là (C) Chứng minh rằng đường thẳng  

1

2 luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt ,A B Xác định m sao cho độ dài đoạn AB là nhỏ nhất.

Đáp số: m 2

Bài 13*: Cho hàm số  



2x 4y

x 1 có đồ thị là (C) Chứng minh rằng đường thẳng y 2x m luôn cắt (C) tạihai điểm phân biệt ,A B Xác định m sao cho độ dài đoạn AB là nhỏ nhất.

Đáp số: m 4

Bài 14*: Cho hàm số 2 3

1

x y x

Bài 17*: Cho hàm số y x 3 3x 2 có đồ thị là (C) Tìm viết phương trình đường thẳng ( ) đi qua điểm

A(2;0) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tam giác OBC có diện tích bằng 2 3 ( với O là gốctoạ độ )

Bài 18*: Cho hàm số  



x y x

2 1

1 có đồ thị  C .

Tìm các giá trị mđể đường thẳng  d1 :y3x m cắt đồ thị  C tại A và B sao cho trọng tâm của tamgiác OAB thuộc đường thẳng  d2 : x 2y 2 0 ( O là gốc toạ độ )

Bài 19*: Cho hàm số y x 4 2 2 m1x25m1 Tìm m để đồ thị hàm số  1 cắt Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 3.

Bài 20*: Cho hàm số yx32m1x2  m1 (1) Tìm m để đường thẳng y=2mx m- - cắt đồ thị 1hàm số  1 tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng

Nội dung 5: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

A Tóm tắt lí thuyết & phương pháp giải toán

Trong đó : x0 : hoành độ tiếp điểm

y0: tung độ tiếp điểm và y0 = f(x0)

k : hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức : k = f'(x0)

Ví dụ: Cho hàm số 2 3

1

x y

=

(1) Điều kiện: x¹ 1

Khi đó: (1)Û - 2x+ = -3 (x 3)(x- 1)

Û x2- 2x= 0 Û é =êx x 02

ê =ë

Suy ra tọa độ các giao điểm là A(0; 3 ,- ) (B 2; 1- )

♦ Ta có: ( )2

1'

1

y x

-=- ♣ Phương trình tiếp tuyến tại A là y+ =3 y'(0)(x- 0)Û y=- - x 3

♣ Phương trình tiếp tuyến tại B là y+ =1 y'(2)(x- 2) Û y=- + x 1

♦ Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là y=- - và x 3 y=- + r x 1

2 Dạng 2:

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Gọi M x y( ; ) ( )0 0  C là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)

Bước 2: Tìm x0 bằng cách giải phương trình : f x'( )0 k, từ đó suy ra y0 f x( )0 =?

Bước 3: Thay các yếu tố tìm được vào pt: y - y 0 = k ( x - x 0 ) ta sẽ được pttt cần tìm.

Ví dụ: Cho hàm số 2 1

2

x y x

2

y x

-=-

Hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 5 Û y x'( )0 =- 5

x

Û 0

0

13

x x

é =ê

ê =ë

Cho hàm số 2 1

1

x y

Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau:

Định lý 1: Nếu đường thẳng () có phương trình dạng : y = ax + b thì hệ số góc của () là:

Ví dụ 1: Cho hàm số y= -x3 3x2+ có đồ thị là 2 ( )C Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp

tuyến song song với đường thẳng ( ) :D y=9x+ 2

Bài giải

♦ Ta có: y' 3= x2- 6x

♦ Do tiếp tuyến song song với đường thẳng ( )D nên hệ số góc của tiếp tuyến là k=9

♦ Gọi M x y( ; ) ( )0 0  C là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)

Hệ số góc của tiếp tuyến k=9 Û y x'( )0 = 9

x x

é ê

=-ê =ë

♣ Với x0=- 1 Þ y0=- : 2 M1( 1; 2)- - Þ pttt: y=9 x 7+

(C): y=f(x)



x y

a

k 1/

O

b ax