Chuyên đề Khỏa sát hàm số

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số Để xét chiều biến thiên của hàm số y = fx, ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác định của hàm số.. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ

BÀI 1: ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ

1 Đinh nghĩa:

Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x1, x2∈ K, x1 < x2⇒ f(x1) < f(x2)

Hàm số f nghịch biến trên K ⇔ (∀x1, x2∈ K, x1 < x2⇒ f(x1) > f(x2)

2 Điều kiện cần:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I

b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I

3 Điều kiện đủ:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.b) Nếu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I.c) Nếu f′(x) = 0, ∀x ∈ I thì f không đổi trên I

Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số

Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:

– Tìm tập xác định của hàm số.

– Tính y′ Tìm các điểm mà tại đó y′ = 0 hoặc y′ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y′ (bảng biến thiên) Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

VD: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

963

0

x

x x

x y

• y'=3x2 −6x+3Cho y'=0⇔3x2 −6x+3=0⇒ x=1

• BBT

• Vậy: hàm số luơn đồng biến trên D c) y =x4 −2x2 −1

• D=R

x

x x

x y

−

⇔

=

21

00

264

0

x

x x

x y

• BBT

• Vậy: hàm số tăng : ; )

2

1(− +∞

Hàm số giảm: )

2

1

;(−∞−e)

2' 2 <

2'

Cho y'=0⇔ x2 −2x=0⇒x x==20

• BBT

• Vậy: hàm số giảm: (0;1)và (1;2) Hàm số tăng: (−∞;0)và )

;2( +∞

−

−

=Cho y'=0⇔ x=0

• BBT

• Vậy: hàm số giảm: (0;2) Hàm số tăng: (−2;0)h) y=x 4−x

• D∈(−∞;4]

•

x

x x

x x

384

24

'

3

80

380'= ⇔ − x= ⇒ x= <

Hàm số giảm: ;4)

38(

x y

y

x

= −

−n) 2 2 26

−

=

2 2

11

=

− + f) y x= + +3 2 2−xg) y = 2x− −1 3−x h) y x= 2−x2 i) y= 2x x− 2

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến

trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

Cho hàm số y f x m= ( , ), m là tham số, có tập xác định D.

• Hàm số f đồng biến trên D ⇔ y′≥ 0, ∀x ∈ D.

• Hàm số f nghịch biến trên D ⇔ y′≤ 0, ∀x ∈ D.

Từ đó suy ra điều kiện của m.

00

a b c

00

a b c

3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x( )=ax2+bx c+ :

• Nếu ∆ < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.

• Nếu ∆ = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =

2

b a

với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.

4) So sánh các nghiệm x 1 , x 2 của tam thức bậc hai g x( )=ax2+bx c+ với số 0:

5) Để hàm số y ax= 3+bx2+ +cx d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x 1 ; x 2 ) bằng

d thì ta thực hiện các bước sau:

• Tính y′.

• Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:

00

• Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.

• Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

0'0

0'0

'

m a

−

⇔

0

0)2(314

4 2

m

m m m

4'

m x

40

m

m m

y

• Vậy: với m m><−22 thì hs luôn đồng biến trên D.

VD2: Định m để hàm số luôn nghịch biến:

x m

mx x y

−

++

• D=R \ m{ }

2 2

)(

32

'

m x

m mx x

y

+

+++

0'0

0)1(

af af

+

<

−+

−

⇔

0)16

3

(

3

0)16

0)2(

0'

0'

S af

−

>

++

≤++

⇔

22

3

)1(

2

0)62

(

3

017

7

017

m m

3

m

m

22

• y'=3x2 +6x+m

31

44

31

4

03

−

=+ d) 2 2 3

a) y= − +5x cot(x−1) b) y=cosx x− c) y=sinx−cosx−2 2x

Bài 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của nó:

Bài 4. Tìm m để hàm số:

a) y x= 3+3x2+mx m+ nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1

y= − x + m− x + m+ x− đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4

Bài 5. Tìm m để hàm số:

a) 3 ( 1) 2 ( 1) 1

3

x

y= + m+ x − m+ x+ đồng biến trên khoảng (1; +∞)

b) y x= 3−3(2m+1)x2+(12m+5)x+2 đồng biến trên khoảng (2; +∞)

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

• Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ≥, ≤ ) Xét hàm số y = f(x) trên tập xác định do đề bài chỉ định.

• Xét dấu f′ (x) Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến.

• Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận.

Chú ý:

1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f′ (x) thì ta đặt h(x) = f′ (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h′ (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.

2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b).

Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).

VD 1: chứng minh sinx<x,∀x>0

0sin − <

⇔ x x Đặt f(x)=sinx−x

• f'(x)=cosx−1<0,(∀x>0) ⇒ f(x)<0⇒sinx−x<0,(∀x>0) đpcm.

VD 2: chứng minh , 0

6sinx>x− x3 ∀x>

06sin

)(

3

x x x x

•

21cos)

06sin

0)(0)

c) xsinx cosx 1, với 0 x

2+ > < <

Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

b) Xét hàm số f x( ) 3= x−4x3

f(x) đồng biến trong khoảng 1 1;

I Khái niệm cực trị của hàm số

Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D ⊂ R) và x0∈ D

a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x0∈ (a; b) sao cho

f(x) < f(x0), với ∀x ∈ (a; b) \ {x0}

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f

b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x0∈ (a; b) sao cho

f(x) > f(x0), với ∀x ∈ (a; b) \ {x0}

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f

c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f

II Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f′ (x0) = 0

Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị

1 Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x0}

a) Nếu f′ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0

b) Nếu f′ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0

2 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f′ (x0) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0

a) Nếu f′′ (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0

b) Nếu f′′ (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0.

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số

Qui tắc 1: Dùng định lí 1.

• Tìm f′ (x).

• Tìm các điểm x i (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

• Xét dấu f′ (x) Nếu f′ (x) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i

Qui tắc 2: Dùng định lí 2.

• Tính f′ (x).

• Giải phương trình f′ (x) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2, …).

• Tính f′′ (x) và f′′ (x i ) (i = 1, 2, …).

Nếu f′′ (x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i

Nếu f′′ (x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i

VD 1: tìm cực trị của hàm số sau: y=x3 −3x2 −9x+5

9630

x

x x

x y

3

(

''

y hs đạt cực tiểu tại x=-1

 Vậy với dấu hiệu II ta sẽ bỏ qua bước BBT ( thường dùng cho nhưng bài lượng giác)

 Qua ví dụ này ta thấy rằng bài tốn cực trị các bước làm như đơn điệu chỉ thêm vào phần giá trị của y VẬY các em lấy VD của phần bài 1 tập tìm cực trị nhé

y e= + e−d) y x= 2−5x+ +5 2lnx e) y x= −4sin2x f) y x= −ln(1+x2)

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

1 Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f′ (x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 không có đạo hàm.

2 Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f′ (x) đổi dấu khi x đi qua x 0

− Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách:

0 0

0

( )( )

0)('

A y

A y

0)('

A y A y

VD1: CMR hs sau luôn có cực đại, cực tiểu:

m x m m

• D=R \ m{ }

2 2

2

4 2

2 2

)(

12

)(

)1(

)1(2

'

m x

m mx x

m x

m m

m mx x

y

−

−+

20

963

20

)2(39

20

'

2

m m

m

m m

m

m m

=

x

mx x

22

y

hs không có cực trị ⇔ y'=0vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

30

21

0)1('

• Vậy: m=−3 thì hs đạt cực đại tại x =1

VD5: Tìm a, b để hs y=ax3 +bx2 +x đạt cực đại tại x =1 và cực tiểu tại x = 2

• y'=3ax2 +2bx+1

• y ''=6ax+2b

hs đạt cực đại tại x =1 và cực tiểu tại x = 2

)2(''

0)2('

0)1(''

b

a y

y y

b thì hs đạt cực đại tại x =1 và cực tiểu tại x = 2.

VD6: Cho hs y =x3 −3x2 +3mx+1 Gọi M(x1;y1),N(x2;y2)là hai điểm cực trị

2 1 2

1−y = x − x + m− x − x + m = = x −x x x −

 Các em nè, qua VD trên ta thấy rằng ứng dụng Vi-ét là rất lớn, ngoài ra còn dạng so sánh α nữa Vì vậy nếu các em hiểu sâu so sánh α thì mọi đề thi đại học được giải quyết rất nhanh

 Thầy xin nhắc lại kiến thức Vi-ét và so sánh α một lần nữa

 Vi-ét:

a

b x x

a

c x x

P= 1 2 =

P S x

x x

1

2 2

;

P

S x

2 1

11

2 2 1

2 2 2 2

2

P

P S x

x x

)3( 2

3 2

2

0)(

0

2 1

S

af x

2

0)(

0

2 1

S

af x

0)(

2

αβ

α

af

af x

αβ

α

2

0)(0

0)(

2 1

S af

af x

x

VD7: Choy =x3−3mx2 +3(m2 −1)x−m3 Tìm m để hàm số có cực trị trái dấu nhau

• D=R

• y'=3x2 −6mx+3(m2 −1)

∆' 9m2 9m2 9 0 hs sau luụn cú cực đại, cực tiểu tại x1, x2

• Hàm số cú cực trị trỏi dấu nhau ⇔ x1 <0 x< 2

11

0)1(90)0(

3 < ⇒ 2 − < ⇒− < <

• Vậy −1<m<1 thỡ hàm số cú cực trị trỏi dấu nhau

VD8: Cho hàm số y =x3 −3(m+1)x2 +9x−m Xỏc định m để hàm số đó cho đạt cực trị tại

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 ⇔phơng trình y'=0 có hai nghiệm pb là x1, x2

⇔ Pt x2 −2(m+1)x+3=0 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2

=

∆

⇔

31

310

3)1(

Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là −3≤m<−1− 3 và −1+ 3<m≤1.

VD9: Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 -3m – 1 Tỡm cỏc giỏ trị của m để hàm số cú cực đại, cực tiểu Với giỏ trị nào của m thỡ đồ thị hàm số cú điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = 0

• y’ = - 3x2 + 6mx ; y’ = 0 ⇔ x = 0 v x = 2m

Hàm số cú cực đại , cực tiểu ⇔ phương trỡnh y’ = 0 cú hai nghiệm phõn biệt ⇔ m ≠ 0

Hai điểm cực trị là A(0; - 3m - 1) ; B(2m; 4m3 – 3m – 1)

Trung điểm I của đoạn thẳng AB là I(m ; 2m3 – 3m – 1)

Vectơ uuurAB=(2 ; 4m m3); Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là ur=(8; 1)−

Hai điểm cực đại , cực tiểu A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d ⇔ I AB∈d⊥d

Để hàm số cú cực trị thỡ PT y,=0 cú 2 nghiệm phõn biệt

⇔x2−2mx m+ 2− =1 0 cú 2 nhiệm phõn biệt

⇔ ∆ = > ∀1 0, m

Cực đại của đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m) và cực tiểu của đồ thị hàm số là 2m)

B(m+1;-2-Theo giả thiết ta có 2 6 1 0

• Vậy có 2 giá trị của m là m= − −3 2 2 và m= − +3 2 2

VD11: Cho hs y=2x3 +3(m−1)x2 +6(m−2)x−1 Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu

3( − 2 − 2 + −

=

x

mx x

a) Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu

b) Tìm m để hs có cực đại, cực tiểu sao cho y CĐ −y CT =4

22

Thế vào (2), ta được: 3m 4 2 m 3(m 2) (m 0)

VD15: Cho hàm số 4 2

y kx= + −(k 1)x + −1 2k Xác định các giá trị của tham số k để đồ thị hàm số chỉ có một điểm cực trị

a) y=(m+2)x3+3x2+mx−5 có cực đại, cực tiểu.

b) y x= 3−3(m−1)x2+(2m2−3m+2)x m m− ( −1) có cực đại, cực tiểu

c) y x= 3−3mx2+(m2−1)x+2 đạt cực đại tại x = 2

d) y= −mx4+2(m−2)x2+ −m 5 có một cực đại 1

2

x=e) y x2 2mx 2

− có một giá trị cực đại bằng 0.

Bài 3. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị:

Bài 4. Tìm a, b, c, d để hàm số:

a) y ax= 3+bx2+ +cx d đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng 4

27 tại x =

13b) y ax= 4+bx2+c có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x = 3 c) 2

+ đạt cực đại bằng 5 tại x = 1.

Bài 5. Tìm m để hàm số :

a) y x= 3+2(m−1)x2+(m2−4m+1)x−2(m2+1) đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho:

Bài 7. Tìm m để đồ thị hàm số :

a) y= − +x3 mx2−4 có hai điểm cực trị là A, B và 2 900 2

729

m

b) y x= 4−mx2+4x m+ có 3 điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ

O làm trọng tâm

− có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất.

Bài 8. Tìm m để đồ thị hàm số :

a) y=2x3+mx2−12x−13 có hai điểm cực trị cách đều trục tung

b) y x= 3−3mx2+4m3 có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất

c) y x= 3−3mx2+4m3 có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng (d): 3x−2y+ =8 0.

− −

=

−Bài 11 Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số:

a) y=2x3+3(m−1)x2+6(m−2)x−1 có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = –4x + 1

b) y=2x3+3(m−1)x2+6 (1 2 )m − m x có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trên đường thẳng y = –4x

c) y x= 3+mx2+7x+3 có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x – 7

d) y x= 3−3x2+m x m2 + có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (∆): 1 5

a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì max ( )[ ; ]a b f x = f b( ), min ( )[ ; ]a b f x = f a( ).

b) Nếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì max ( )[ ; ]a b f x = f a( ), min ( )[ ; ]a b f x = f b( )

VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên

Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.

• Tính f′ (x).

• Xét dấu f′ (x) và lập bảng biến thiên.

• Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].

9630

x

x x

x y

−

⇔

=

21

00

2640

x

x x

x y

• BBT

 Qua vd trên Max và Min rất để tìm chỉ cần tìm CĐ-CT mà thôi

 Đối với hs có MXĐ trên đoạn thì ta không dùng đến BBT nữa

)1(40

x

x x

x y

.68)3(

;13)2(

;4)1(

;4)1(

−

⇔

=

]2

;1[31

00

1520

50

x x

x x

x x

y

.6)2(

;9)1(

;3)1(

2

−

++

=

x

x x

52'

−

−

=

Cho y'=0⇔x=0

.0)2(

;0)2(

VD7: Tìm GTLN-GTNN của hs:

1sinsin

1sin

+

=

x x

x y

2'

++

−

−

=

t t

t t y

;1[2

00

20

t

t t

t y

.3

2)1(

;0)1(

x y x

−

=+ trên [0; 4]

11

x x y

x x

− +

=+ − trên [0; 1]

d) y=cos2x−2sinx−1 e) y=sin3x+cos3x f) 4 2 21

1

x y

 Ta chưa hết phần Max-Min đâu vì dạng tốn này cịn những ứng dụng từ các cơng cụ khác nữa các

em muốn phần này đầy đủ thì đọc chuyên đề về Bất đẳng thức của thày thì các em sẽ hiểu sâu hơn

 Giới thiệu sơ sơ về BĐT

VD1: Giả sử D={( ; ; ) /x y z x>0,y>0,z>0,x y z+ + =1} Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

các điều kiện sau được thoả mãn:

= = là hàm số phân thức hữu tỷ.

• Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng x x= 0

• Nếu bậc(P(x)) ≤ bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang

• Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên

b) Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các công thức sau:

33

2

−+

x x

• xlim→+∞y=1⇒ y=1 là đường tiệm cận ngang

• xlim→−∞y=−1⇒ y=−1 là đường tiệm cận ngang

x y

x

+

=

−

x y

a) 2

4 5

x y

=

29

x y

4 51

y x

=

−d) 2 22 3 3

11

y x

+ +

=

4 3

41

y x

− +

=

−BÀI 3 Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) y= x2−4x b) 4 2 2

9

x y x

1 Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

• Tìm tập xác định của hàm số

• Xét sự biến thiên của hàm số:

+ Tính y′

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y′ bằng 0 hoặc không xác định

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số

• Vẽ đồ thị của hàm số:

+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương)

– Tính y′′.– Tìm các điểm tại đó y′′ = 0 và xét dấu y′′.+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị

+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua) Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn

+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị

2 Hàm số bậc ba y ax= 3+bx2+ +cx d a( ≠0):

• Tập xác định D = R

• Đồ thị luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

• Các dạng đồ thị:

I

y

x

0 I

y’ = 0 có nghiệm kép

• Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng

• Các dạng đồ thị:

4 Hàm số nhất biến y ax b (c 0,ad bc 0)

I

y

x 0

y

x 0

y

x 0

y

x 0

= − và một tiệm cận xiên Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

• Các dạng đồ thị:

y

y

• y'=3x2 −6x Cho y'=0⇔3x2 −6x=0⇒x x==02

• xlim→−∞y=−∞;xlim→+∞y=+∞

• Vậy: hs tăng (−∞;0)và (2;+∞) Hs giảm (0;2).

Hs đạt cực đại tại (0;2), cực tiểu tại (2;-2)

• y ''=6x−6 Cho

01

0660

x x

2' 2 <

Vậy: hs luôn giảm trên D.và Hs không có cực trị

Đồ thị nhận I(1;1) làm tâm đối xứng

1

2

−+

x

x

y

• D=R\{} 2

2

)1(

2'

x y x

+

=

34

x y

x

−

=

−d) 1 2

1 2

x y

x y x

−

=+

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

+ −

=+

x y

x

=

2 21

y x

−

=+BÀI 6: SỰ TƯƠNG GIAO

1 Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) ta giải

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ

phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm)

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị

2 Đồ thị hàm số bậc ba y ax= 3+bx2+ +cx d a( ≠0) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

⇔ Phương trình ax3+bx2+ + =cx d 0 có 3 nghiệm phân biệt

⇔ Hàm số y ax= 3+bx2+ +cx d có cực đại, cực tiểu và y CĐ CT.y <0.

a) Chứng minh rằng đường thẳng (d): y = 2x + m luơn luơn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N

b) Xác định m để đợ dài MN nhỏ nhất

Giải: Phương trình hoành đợ giao điểm của (d) và (C): x 3 2x m

x 1+ = +

+2

⇔  − = − ≠ ∀



→ phương trình (*) luơn luơn có hai nghiệm phân biệt khác – 1

Vậy (d) luơn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N Gọi x1, x2 lần lượt là hoành đợ của M và N thì x1,

x2 là nghiệm của phương trình (*) Ta có: 1 2 1 2

−

=

x

x m

y cĩ đồ thị là (H , với m là tham số thực m)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=1

2 Tìm m để đường thẳng d:2x+2y−1=0 cắt (H tại hai điểm cùng với gốc tọa độ tạo thành m)một tam giác cĩ diện tích là

+

x

m x

170

)1(22)2.(

2

01617

2

m

m m

m

Ta cĩ

.1617.2

24

)(

.2)(

.2)(

)

1 2

2 1 2

2 1 2

2 1

1

=

h

Suy ra ,

2

18

31617.2

2.22

1.2

1

.2

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

2 Tìm m để đường thẳng (d ): y = x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị sao cho khoảng cách giữa 2 điểm đĩ là nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đĩ

2) Tìm a và b để đường thẳng (d): y ax b= + cắt (C) tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua đường thẳng (∆): x−2y+ =3 0

Giải

2 Phương trình của ( )∆ được viết lại: 1 3

y = x+ Để thoả đề bài, trước hết (d) vuông góc với ( )∆ hay a = −2

Khi đó phương trình hoành độ giao điểm giữa (d) và (C):

1 2

1

x− = − ++ ⇔ 2x2 −(b−3)x−(b+1) 0= (1)Để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔

2

A B I

à ï A B AB

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ

⇔

2

3 ( 3) 3 04

a b

Gäi A x( ; 21 x1+m B x), ( ; 22 x2+m) lµ hai ®iÓm giao gi÷a (d) vµ (C).(x x lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 1; 2(*))

AB =  m+ +  ≥ ∀m AB =2 5⇔ = −m 1VËy víi m = -1 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m

VD6: Cho hàm số y =

1

12

2/ Định k để đường thẳng d: y = kx + 3 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm M, N sao cho tam giác OMN vuông góc tại O ( O là gốc tọa độ)

k kx x

kx x

=

−+

47

00

)1(0

0

k k

k g

k

⇔

=+++

+

⇔

=++

x

k

k x x k

k

k

x x k x

x k

kx kx

x x ON

OM ON

OM

N M

N M

N M N

M N

M N

M

4

15

30

4

6

09)(

3).)(

1(0)3)(

3(

.0

x

+

=

1) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số trên.

2) Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k Tìm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai điểm M,

( 1) 1

x

k x

I x

413

−

=+ (C)

1 Khảo sát hàm số

2 Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 5

Giải

2 Phương trình hoành độ giao điểm: 2x2 + mx + m + 2 = 0 , (x≠ - 1) (1)

d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt ⇔ PT(1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1 ⇔ m2 - 8m - 16 > 0 (2)

Gọi A(x1; 2x1 + m) , B(x2; 2x2 + m Ta có x1, x2 là 2 nghiệm của PT(1)

Theo ĐL Viét ta có

1 2

222

Từ (a) và (b) ta có gía trị cần tìm là: m < -1 hoặc m > 1.

VD11: Cho hàm số 3 2

Vậy m = 11 thỏa yêu cầu

VD12: Cho hàm sốy x= 3−3mx2+2m(m 4)x 9m− + 2−m (C )m Tìm m để đồ thị (Cm) của hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau

m 1

=



⇔  = Điều kiện đủ:

+Với m = 0, ta có: y = x3: đồ thị của hàm số chỉ cắt trục hoành tạ 1 điểm duy nhất → m = 0 không thỏa

+Với m = 1, ta có: 3 2

y 0= ⇔x −3x −6x 8+ ⇔(x 1)(x− −2x 8) 0− =1

Vậy m = 1 thỏa yêu cầu bài toán

VD13: Cho hàm sốy 2x= 3−3x2+1 (C) Tìm điều kiện của a và b để đường thẳng (d): y = ax + b cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, D sao cho AB = BD Khi đó chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn luôn

đi qua một điểm cố định

2x −3x + =1 ax b+ ⇔2x −3x − + − =ax 1 b 0 (*) Giả sử (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, D có hoành độ lần lượt là x , x , x (x1 2 3 1<x2<x )3 là nghiệm của phương trình (*) Khi đó:

3a

m

y= − +x mx −m (C ) Định m để đồ thị (Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt

Giải: Đồ thị (Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt⇔(Cm) có hai cực trị đồng thời hai giá trị cực trị trái dấu Ta có: 2

* Hàm số có hai cực trị⇔ m 0≠

* Hai giá trị cực trị trái dấu 2m ( ) 4 3 2 2

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ

2 Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng :∆ y= − +x 2 tại 3 điểm phân biệt (0; 2)A ; B; C sao cho

tam giác MBCcó diện tích 2 2 , với (3;1).M

Đường thẳng ( )∆ cắt dồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0;2), B, C ⇔

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

%

2(0) 0 3 2 0

h

Mà BC2 =(x2−x1)2 +(y2−y1)2 =2 ( x2+x1)2−4x x1 2=8(m2−3m+2)

Suy ra 8(m2−3m+2)=16⇔ =m 0(thoả mãn) hoặc m=3(thoả mãn)

 Vấn đề điểm cố định ta sẽ nói sâu hơn ở bài sau PH

2 4

x y x

3 1

x y x

− cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

Bài 4. Tìm m để đồ thị các hàm số:

a) y x= 3+3x2+mx+2 ;m y= − +x 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

b) y mx= 3+3mx2− −(1 2 )m x−1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

c) y= −(x 1)(x2−mx m+ 2−3) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

d) y x= 3+2x2−2x+2m−1; y=2x2− +x 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

e) y x= 3+2x2−m x2 +3 ;m y=2x2+1 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

Bài 5. Tìm m để đồ thị các hàm số:

a) y x= 4−2x2−1; y m= cắt nhau tại bốn điểm phân biệt

b) y x= 4−m m( +1)x2+m3 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

c) y x= 4−(2m−3)x2+m2−3m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

− cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B Khi đó tính AB theo m.

Bài 7. Tìm m để đồ thị của các hàm số:

a) y x= 3−3mx2+6mx−8 cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng.b) y x= 3−3x2−9x+1; y=4x m+ cắt nhau tại ba điểm A, B, C với B là trung điểm của đoạn AC.c) y x= 4−(2m+4)x2+m2 cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng d) y x= 3−(m+1)x2−(m−1)x+2m−1 cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số nhân

e) y=3x3+(2m+2)x2+9mx+192 cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số nhân

BÀI 7: BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ

Bài toán: Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) với f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

• Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối

• Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối

• Vẽ đồ thị hàm số tương ứng trong các khoảng của miền xác định

Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y= f x( )

Đồ thị (C′) của hàm số y= f x( ) có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành

+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hoành qua trục hoành

+ Đồ thị (C′) là hợp của hai phần trên

Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số y f x= ( )

Đồ thị (C′) của hàm số y f x= ( ) có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung

+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung

+ Đồ thị (C′) là hợp của hai phần trên

BÀI 8: BIỆN LUẬN NGHIỆM PT BẰNG PP ĐỒ THỊ

• Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x)

Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x)

• Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một trong các dạng sau:

Dạng 1: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m (1)

Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ

giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x)d: y = m

• d là đường thẳng cùng phương với trục hoành

• Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm

của (C) và d Từ đó suy ra số nghiệm của (1)

Dạng 2: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = g(m) (2)

Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k

Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m

Dạng 3: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = kx + m (3)

(k: không đổi)Khi đó (3) có thể xem là phương trình hoành độ

giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x)d: y = kx + m

• Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phương

với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0; m)

• Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, … của (C)

có hệ số góc k

• Dựa vào các tung độ gốc m, b1, b2, … của d, d1, d2, …

để biện luận

Dạng 4: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m(x – x0) + y0 (4)

Khi đó (4) có thể xem là phương trình

hoành độ giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x)d: y = m(x – x0) + y0

• d quay quanh điểm cố định M0(x0; y0)

• Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, …

của (C) đi qua M0

GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an