CHUYÊN đề NGUYÊN hàm TÍCH PHÂN ôn THI đại học

CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC A.. NGUYÊN HÀM Tích phân bất định 1... 5 3 1 Xác định bậc của tử thức và mẫu thức nếu : Tử ≥ mẫu  Ta thực hiện phép chia đa thức Tử < mẫu  Ta th

CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC

A NGUYÊN HÀM ( Tích phân bất định )

1. Khái niệm

Định nghĩa Cho hàm số f x( ) xác định trên K (K là đoạn, khoảng, nửa khoảng).

Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K, nếu F x'( )= f x( ),

với mọi x K∈

Định lý Giả sử F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên khoảng K Khi đó

a Với mỗi hằng số C, hàm số G x( )=F x( )+C cũng là một nguyên hàm của f x( )

b Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của f x( ) thì tồn tại hằng số C sao choG(x) = F(x) + C

c Họ tất cả các nguyên hàm của f x( ) là ∫ f x dx F x( ) = ( )+C, trong đó F x( ) là mộtnguyên hàm của f x( ), C là hằng số bất kỳ

1

≠ +

∫cos sin

C x xdx= − +

∫sin cos

C x dx

( 0)ln

1

≠ +

+

= +

a b ax dx

C e

a dx

e ax+b = ax+b +

a dx b

a dx b

ax+ = − + +

(ax b)dx=a (ax+b)+C+

du= +

∫

( 1)1

1

≠ + +

C e du

u u

C u udu= +

∫cos sin

C u udu= − +

∫sin cos

C u du

1 Định nghĩa Cho hàm f x( ) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K.

Nếu F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) thì hiệu số F b( )−F a( )được gọi là tích phân

1 Nếu hàm số y= f x( ) liên tục trên [ ]a b; thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị hàm số y= f x( ), trục hoành và hai đường thẳng x a x b= , = là ( )

b

S=∫ f x dx

2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y= f x( ), y g x= ( ) và hai đường

Hàm số y= f x( ) liên tục và không âm trên [ ]a b; Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số y= f x( ), trục hoành và hai đường thẳng x a x b= , = quay quanh trục hoành tạo nên một

khối tròn xoay Thể tích V được tính bởi công thức 2( )

5 3 1

Xác định bậc của tử thức và mẫu thức nếu :

Tử ≥ mẫu  Ta thực hiện phép chia đa thức

Tử < mẫu  Ta thực hiện phép phân tích mẫu thức

Gọi hệ số α , β ( nếu cần ) rồi quy đồng mẫu thức thực hiện phép

Đồng nhất hệ số tìm α , β

Tách biểu thức thành các dạng cơ bản có trong bản nguyên hàm

hoặc sử dụng các phép đổi biến số để thực hiện tiếp yêu cầu

Ví dụ minh họa

( 1)(2 1)

x

x

99 1

101 0

5( 4)

1( 1)

( 1)

1(1 )

.(1 )

11

11

++ =

11

11

2 2 1

1 11

−

=+

∫ Đặt t x= +1x ⇒ I ln4

5

=

4 2 1

11

1

++ =

0 1

=+

t a

c t

ππ

Đặt x a= cos 2t

(x a b x− )( − ) Đặt x a= + −(b a)sin2t

Ví dụ minh họa

∫ = t t dt

t

1 2 0

2 2 4 2 2

.3

1.3

11

02( 1)=

4 1

2 ( 1)

2 ( 1)( 1)

3 0

dt dt t dt

t t

t t

t t

2 3

111

−

=+

4 1

32

2 2

Câu 55. x x dx

1

2

2 0

1 2 1− −

0

3 1(cos sin )cos

Đặt

Trong các lần tích phân từng phần

ta phải thống nhất được cách đặt Chú ý

sincos

2 3

142sin

Câu 69. I x dx

x

3 2 0

4sin 4sin (1 cos )

4sin 4sin cos 4sin 2sin2

3 0

dx x

x x

dx

cos.2sin

8cos.cos.sin

1

=+ .

Câu 74.

dx I

21

sin cos2

1

ln28

Câu 79.

dx I

3

2 4 4

2 2

3 1

2∫ − = e1 1

2 − .

Câu 83. I 2sinx sin2x 1dx

26

1

2 13

sinsin 3cos

2 3

sin 1 coscos

6

2 0

sin(sin cos )

7sin 5cos(sin cos )

3sin 2cos(sin cos )

3 3 0

cos sincos sin

0

1 tan (cos )cos (sin )

0

1 tan (sin )cos (cos )

0

1 tan (sin )cos (cos )

cos (sin ) cos (cos )

sincos 3 sin

π

+

15 2

3 2 3

( sin )sinsin sin

3 sin

π π

u x

du dx dx

1

1 3

3 2

3

2 4 4

sin5sin cos 2cos

sinsin3

1 1

tancos 1 cos

cos2(cos sin 3)

32

−

=∫ = − .

sin4cos tan 1

2 0

π −π

= ∫

• Ta có: 6 2

2 0

tan 1(tan 1)

2 0

0

tancos 2

ln

10

8 4

1sin .cos

π

x x

π

π

Đặt t=tanx ⇒I t dt ( )

3 3

8 4

cos cos sin

.sin

1 cos

π

=+

cosI

1ln( 15 4) ln( 3 2)2

π

π

1 0

4

ln 34

tancos 1 cos

cos

1

2 1 3

Đặt t= 2tanu ⇒ u

u

1 arctan

2 2

2 0

arctan2

Câu 1.

x x

1

++

∫ Đặt t xe= x+1⇒I =xe x+ −1 lnxe x+ +1 C

dx I

3ln2

2 3

e dx I

31

=

t

1 3 0

3 3

1

−+

( 2)

1

++ +

∫ = 2 t t dt

t t

1

2 0

2 11

2

1

+ ++ +

Câu 12. = ∫3 −

16 ln

3

8 ln

Câu 14.

x x

t t

3 2 2 1

8 3

x dx

112

1

2ln( 1)

21

2 0

1.ln 

ln( 1)

1 2 1

1

+ +

.2

TÍCH PHÂN TỔ HỢP NHIỀU HÀM SỐ

BÀI ĐỌC THÊM

=+

2

6 6

sin

π

π π π

14

1( 1)

x

2

3 3 1

2 0

.1

=+

⇒I1 ln9udu u2 2 2

ln3

ln 9 ln 3ln9

0

29

+

x x

2

coscos

ln(5− )

dx dv

• Ta có: I xdx

x x

2 3 1

cossin

π

π

= ∫

2

12sin

2 sin

π π

π π

sincos

I =∫2 ++

0

22sin1

)sin(

(cos cos sin )

1 cos

π

=+

2 3

u x

du dx dx

x

2 tancos

 =  = −

2 2 2

x

2 2

2 0

π π

cos(1 sin2 )

= ∫

• Đặt t=cosx ⇒dt= −sinxdx⇒I t dt t dt

1

1 2

1 1

11

Câu 77. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và

f x( )+ − =f x( ) 2 2cos2+ x , với mọi x∈R

Tính: I f x dx

3 2

3 2

sin1

+ +

++

cos

2

cos sincos1sin cos

2

0 0

π π

ππ

−+ .

Chân thành cảm ơn các các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.