Giáo án tích phân ôn thi đại học

Phương pháp: Bài giảng trên lớp... Phương pháp: Bài giảng trên lớp.. Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau: x.ln x dx... Phương pháp: Bài giảng trên lớp... Phương pháp: Bài giảng trê

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN

a

x x

u u

ln (0 < a  1)

 cos udu  sin u  C

 sin udu   cos u  C

2

Hệ quả:

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp

1 dx )

1 dx

C a

ln

a m

1 dx

a

n mx n

    cos( ax  b )  C

a

1 dx

) b ax sin(

1 )

( cos

( sin

kf ( ) ( )

b[ f ( x )  g ( x )] dx  b f ( x ) dx  b g ( x ) dx

b f(x)dx

f ( ) ( )

(8) m  f(x)  M ,  x  [a; b]    b  

a

a b M dx x f a

b

B CÁC DẠNG TOÁN

Chủ điểm 1 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

Vấn đề 1: Dùng phép biến đổi sơ cấp và công thức vi phân

Bài 1: Tính các tích phân bất định sau:

3 3

x

2 3

1

x

x x

4

4 5

1 3

3

11)  3x  1   x - x  2  dx 12)         dx

x x

31

cosx 1

2 3

4

3 2

) 1 (

x

x 

x x

x  2  1  3

3

5

4 4

3 3

5 3

4 2

3

9 f(x) =

2 sin

1

ĐS F(x) = tanx - cotx + C

14 f(x) =

x x

x

2 2

cos sin

2 cos

3 ln

2

3 1

Bài 3: Tìm hàm số f(x) biết rằng

2 f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS f(x) = 1

3 2

1 2

2





x x

Bài 4: Tính các tích phân bất định sau:

1

x e x

2 x

dx sin x

π 4 4 0

dx cos x

3

c otx dx sin x

x dx

Vấn đề 2: Phương pháp đổi biến số

A Phương pháp: Bài giảng trên lớp.

B Bài tập tự luyện:

Bài 1: Tính các tích phân sau:

) 2 3

dx

) 1

tan 2

cos

x

e

dx x

x

2 4

4 2

x 1

22

 x dx 1

x

4 x

2

1 2

31

x4

 x x2  1 dx

x xcos sin

etgx

x

x ln x

dx

4) K =

2 4

X 1

A Phương pháp: Bài giảng trên lớp

B Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau:

x.ln x dx

3)

e

2 1

e

ln x

dx (x 1) 

(1 x)  .dx) 4)

2 2 1

ln x dx x



5)

1

2 0

x  1 dx

π 4 3 0

dx cos x

π 2

2 0

x.sin x.cos x dx

π 2

1

cos(lnx) dx

2 2 1

x 0

x 2 0

e dx (x 1)

Vấn đề 4: Tích phân của hàm phân thức hữu tỉ

A Phương pháp: Bài giảng trên lớp

b

b , 1 2

b

b

2 0

2 0

2 1

A Phương pháp: Bài giảng trên lớp

- Nắm một số dạng tiêu biểu sau:

x2

9)   



dx c bx

Tính các tích phân sau đây:

Bài 1:

1) 3 (2x  3) dx2 2)

3

dx (2x  3)

x 1

dx 3x 1

0

x dx

1 x 

1

2 3 0

(1 x ) dx 



10)

2 2

2 2

2 0



1

2 0

17)

1

dx x





1

2 0

Bài 3: 1)

3

dx 2x 1   2x 1 

4

dx 2x 1   2x 1 

Vấn đề 6: Tích phân các hàm số lượng giác

A Phương pháp: Bài giảng trên lớp

- Đổi biến trong tích phân hàm lượng giác

- Nắm một số dạng tiêu biểu sau:



10)  tan(ax   ).tan( ax   ) dx

I   sin x dx ( 8

dx I

sin x.cos x

sin x dx I

sin x.cos x

dx I

sin x.cos x

 

dx I

sin x.cosx

sin x.cos xdx I

14 0

6

dx I

π sin x.cos(x )

2 0

I   cos 2x(sin x  cos x) dx (  0)

I   cos x.cos 2x dx (  π )

Bài 5:

0

4 1

π 4

I (sin x cos x) dx



π 2 2 0

4 0

Vấn đề 1: Tính diện tích hình phẳng

A Phương pháp

 Diện tích hình thang cong S giới hạn bởi các đường:

bởi công thức sau:

S = b  | f(x) | dx

a (1)

 Tổng quát: Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường: x = a ; x = b

(a < b) ; y = f(x) và y = g(x) được cho bởi công thức sau:

S = b  | f(x) - g(x) | dx

Chú ý:  Công thức (2) trở thành công thức (1) nếu g(x) = 0

hàm chứa giá trị tuyệt đối hay dùng đồ thị để phá trị tuyệt đối

S   f  g dx =…

- Nếu miền giới hạn bởi ba đường trở lên thì ta phải vẽ đồ thị để xác định cận

B Bài tập tự luyện

trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2 (S = 4

Bài 4: Tính diện tích giới hạn bởi (C): y = - x3 + 3x2 - 2, (0  x  2)

Bài 12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Bài 13: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Bài 14: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

 Thể tích của vật thể tròn xoay Vox sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi

các đường: x = a ; x = b (a < b) ; y = 0 và y = f(x) quay xung quanh trục

a

 Thể tích của vật thể tròn xoay Voy sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi

a

 Nếu hình phẳng giới hạn bởi (C): y = f(x) và (C’): y = g(x) liên tục trên

Bài 1: Miền D giới hạn bởi các đường y = 0 và y = 2x – x2 Tính thể tích

Bài 2: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox

hình phẳng S giới hạn bởi (C): y = lnx , trục Ox , đường thẳng x = e

Bài 3: Cho hình phẳng D giới hạn bởi y = tgx , x = 0, x = π

a) Tính diện tích của D b) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay D quanh Ox

3 3

Bài 4: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo ra bởi hình phẳng giới hạn bởi

a) Quanh trục Ox (ĐS: 256π

Bài 6: Miền D giới hạn bởi các đường x2 + y – 5 = 0 và x + y - 3 = 0

TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2013

Bài 1 (ĐH A2002) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

y x22x3 y x 3 ĐS : 109

6

S  Bài 2 (ĐH B2002) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

24

2 4

2

2 0

I  x x dx

ĐS : I 1 Bài 6 (ĐH A2004) : Tính tích phân :

2

x I

3

2 2

ln( )

I  x x dx

ĐS : I 3ln 3 2 Bài 9 (ĐH A2005) : Tính tích phân :

I  Bài 10 (ĐH B2005) : Tính tích phân :

1

2 0

e

I 

 Bài 15 (ĐH A2007) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y (e 1)x, y (1 e x x) Error! Reference source not found

ĐS : 1

2

e

S  

Bài 16 (ĐH B2007) : Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường yxlnx, y0 , xeError! Reference

source not found Tính thể

tích của khối tròn xoay tọa thành khi quay hình H quanh trục Ox ĐS :

3(5 2)27

e

V  

Bài 17 (ĐH D2007) : Tính tích phân :

4 6

1

3(2 ) ln

1ln

2 2 2 1

Bài 38 (ĐH D2014) : Tính tích phân I =

π 4 0(x 1) sin 2xdx

Bài 2 Tham khảo 2005



 3

0

2sin



dxxe

tgx

KQ:

1 2

x

I1 

0

2 3

x

Bài 7 CĐ GTVT – 2005

dxxx

I1 

0

2 5



xdxe

KQ:

3 2

3.e 534





Bài 9 CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005

dxxx

3

0

3.1

 

105

sin 2 1



dx x

x

2Bài 11 CĐSP Tp.HCM – 2005

xI

1

KQ: 4615



dxx

x

Bài 15 CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005

2 3



Bài 17 CĐ Công Nghiệp Hà Nội – 2005

dxxx





Bài 18 CĐSP Hà Nội – 2005

dxx

xxx

I2   

0

2

2 3

4

942

dxI

1

2ln1

KQ:

6



Bài 21 CĐSP Hà Nội – 2005

 

 2

0

2004 2004

2004cossin

sin



dxxx

sin4



dxx

Ix ln 1 x dx KQ: ln2 1

2

 (Đổi biến t 1 x  2, từng phần) Bài 29 CĐ Cơ Khí – Luyện Kim – 2006

 

2

2 1

Bài 33 CĐ Tài Chính Kế Toán – 2006

 

3

2 0

9 18Bài 43

Bài 44 2  

0

2cos12



xdxx

1dxxe

I x cosxdx



224

dxI

Bài 71 Tham khảo khối B – 2007

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường  

Bài 72 Tham khảo khối B – 2007

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2

x cosxdx



224

2007 1

(| 2 1| | |)

K x x dx



   đs: 5/2

11 Cho hai hàm số f(x) = 4cosx + 3sinx , g(x) = cosx + 2sinx

a) Tìm các số A , B sao cho g(x) = A.f(x) + B.f ’(x)

b) Tính

/ 4

0

( )( )

g x dx

18

4/ 3 2

3 2

11

11

3 44

cos 2(sin cos 3)

x x

dx T

3 ln

dx D

x dx R

J x x dx



 a) Tính I + J và I – J

( 2 ) x

P x  x e dx đs: e

99

1

2 0