Tính các cạnh của tam giác MCK Bài 5: 1,5 điểm Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB, sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích
Trang 1PHÒNG GD&ĐT CƯ JÚT
TRƯỜNG THCS PHẠM VĂN ĐỒNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2012 - 2013
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề ( Đề thi có 01 trang)
Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức
1 x
−
1
4 a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi x 17 12 2= −
c) So sánh A với A
Bài 2: (4,0 điểm) Thu gọn các biểu thức
a) A= 8 2 10 2 5+ + + 8 2 10 2 5− +
6 11
6 1 6 2 3 6
Bài 3: (3,0 điểm)
a) Giải phương trình x2−3x 2+ + x 3+ = x 2− + x2+2x 3−
6 5
x + x− Tính f(a),với a = 33+ 17 +33− 17
Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho
1
3
MC
MA = Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C , cắt tia BM tại K , kẻ BE ⊥ CK
a) Chứng minh tứ giác ABEC là hình vuông
AB = BM + BK
c) Biết BM = 6cm Tính các cạnh của tam giác MCK
Bài 5: (1,5 điểm) Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB,
sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC.Tính ·BPE.
Bài 6: (1,5 điểm) Cho hai số dương a và b thỏa mãn a b = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
a b a b+ +
+
Hết
-Họ tên thí sinh:………
Số báo danh : ………
Chữ ký giám thị 1:………
Chữ ký giám thị 2:………
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2012-2013
MÔN TOÁN LỚP 9
Bài 1 (4 điểm)
a) Rút gọn biểu thức (2 điểm)
( ) ( ( )( )( ) ) ( ( )( )( ) )
2 x 1
:
−
( ) ( ) 1( x x)( x 1( )x)
2 x 1
: 2 x 1 :
−
x( 1x 1) (: 1 x 1)(1 x x) 1 x xx
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0,25
b) Tính giá trị của A khi x 17 12 2= − (1 điểm).
0.5 0.5
c) So sánh A với A(1 điểm).
Biến đổi A 1 x x x 1 1
Chứng minh được x 1 2
x
+ > với mọi 1
4
x
0.25 0.25
0.5
Bài 2 (4 điểm)
a) A= 8 2 10 2 5+ + + 8 2 10 2 5− +
Trang 3( )
2
2
2
8 2 10 2 5 2 64 4 10 2 5 8 2 10 2 5
16 2 64 40 8 5
16 2 24 8 5
16 2 2 5 2
12 4 5
10 2
10 2
A
A
= +
0.5 0.25 0.25
0.5
0.25 0.25
6 11
6 1 6 2 3 6
2
15 6 1 4 6 2 12 3 6
6 11
3 6 1 2 6 2 4 3 6 6 11
3 6 3 2 6 4 12 4 6 6 11
6 11 6 11
6 11 115
0.5
0.5 0.5 0.25 0.25
Bài 3 (3điểm) Giải phương trình
a) x2−3x 2+ + x 3+ = x 2− + x2+2x 3−
⇔ (x 1 x 2− ) ( − ) + x 3+ = x 2− + (x 1 x 3 1− ) ( + ) ( )
Điều kiện
x 3 0
x 2
x 2 0
+ ≥
− ≥
( )1 ⇔ x 2 x 1 1− ( − − −) x 3 x 1 1+ ( − − =) 0
x = 2 thoả mãn điều kiện xác định Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
0.5
0.25
0.5 0.5 0.25
b)Từ a= 33+ 17 +33− 17
Trang 4( )
3
3 3
6 3 3 17 3 17 3 17 3 17
6 6
6 6 0
a a
0.25 0.25
0.25
0.25
Bài 4 (8 điểm)
K
C
E
N
B
A
0.5
a) Ta có ∠ = ∠ = ∠ =A C E 900
AB=AC( Do∆ABC vuông cân tại A)
Nên : Tứ giác ABEC là hình vuông
0.5 0.25
b) Kẻ đường thẳng vuông góc với BM tại B cắt EC tại N
Xét∆ABM và ∆EBN ta có :
∠A= ∠E = 900
AB = BE(cạnh hình vuông ABEC)
∠ABM = ∠EBN( cùng phụ ∠EBM)
Trang 5Vậy ∆ABM = ∆EBN (g.c.g)
⇒BM = BN
Áp dụng hệ thức lượng vào ∆vuông BNK ta có :
0.75 0.25 0.5
0.5
3
MC
Đặt MC = x ⇒MA = 3x ; AB = 4x
Áp dụng định lý pi ta go vào tam giác vuông ABM
( ) ( )2 2
2
6
25 36
5
Vì CK //AB nên ∆MCK đồng dạng ∆MAB
1 3
2( ); : 3 1 ( )
0.75
0.75 0.25 0.25 0.5
0.25 Bài 5 (1,5 điểm )
0.25
Kẻ EF ⊥ AC tại F, DG ⊥BC tại G
Theo giả thiết S(ADPE) =S(BPC)
⇒S(ACE) =S(BCD)
Mà AC=BC⇒ EF =DG và µA C= µ
Do đó ∆AEC = ∆CDB c g c( − − ⇒) DBC· =·ECA
60
BPE PBC PCB PCD PCB
0.5
0.5 0,25
Bài 5 (1,5 điểm)
Vì ab=1,a>0,b>0 và theo BĐT Côsi ta có :
Trang 62
2
2
2
1( )
1( ) 2
B
a b a b
a b
a b
a b ab
a b
a b
a b
= + +
+ +
+
+
+
+
=
+
0.25 0.5 0.5
0.25
Chú ý: 1 Nếu thí sinh làm bài bằng cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương đương.
2 Điểm toàn bài không được làm tròn.