Gọi D và E lần lợt là hình chiếu của điểm H trên AB và AC.. Chứng minh M là trung điểm BH ; N là trung điểm của CH.. d, Tính diện tích tứ giác DENM.
Trang 1Đề THI CHọN HSG môn Toán 9
Bài1(4đ)
a/ Tính 6 2 5 − − 6 2 5 +
b/ Cho a +b +c = 0 , a,b,c ≠ 0 Chứng tỏ rằng
12 12 12
a +b +c = 1 1 1
a b c+ + c/ Hãy chứng tỏ x= 3 5 2 + − 3 5 2 − là nghiệm của phơng trình x3
+3x – 4 = 0
Bài2(4đ)
a/ Rút gọn, tính giá trị biểu thức
2
A
Với x = 2 − 3,y= + 2 3 b/ Giải phơng trình x+ + 9 x− = 7 4
Bài3(5đ)
a/ Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
1 1
B
− +
= + + b/ Trên mặt phẳng toạ độ cho các điểm A(0;4) ; B(3;4) ; C(3;0) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A, C Xác định a để đờng thẳng y =ax chia hình chữ nhật OABC thành hai phần , trong đó diện tích phần chứa điểm A gấp đôi diện tích phần chứa điểm
C
Câu 4 :( 2 đ )
Cho hình chữ nhật ABCD,AB= 2BC.Trên cạnh BC lấy điểm E, tia
AE cắt đường thẳng CD ở F.Chứng minh rằng : 12 12 1 2.
4
Câu 5 (5đ) : Cho tam giác ABC vuông ở A ,đờng cao AH Gọi D và
E lần lợt là hình chiếu của điểm H trên AB và AC Biết BH = 4(cm)
; HC = 9(cm)
a, Tính độ dài đoạn DE
b, Chứng minh rằng AD AB = AE.AC
c, Các đờng thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lợt cắt BC tại M
và N Chứng minh M là trung điểm BH ; N là trung điểm của CH
d, Tính diện tích tứ giác DENM
Trang 2§¸p ¸n thang ®iÓm
Bµi 1:
a/ 6 2 5 − − 6 2 5 + = 5 − 2 5 + 1 − 5 + 2 5 + 1= ( ) (2 )2
1 5 1
= | 5 − 1| - | 5 + 1| = 1 − 5 − 5 − 1 = − 2 5
b) CM 12 12 12
a +b +c = 1 1 1
a b c+ +
Ta cã 12 12 12
+ +
−
+ +
=
−
+ +
abc
c b a c
b a ac
bc ab c
b
1 1 1 1
1 1 2 1 1
Mµ a +b +c = 0 , a,b,c #0 =>
+ +
abc
c b a
VËy 12 12 12
+ +
c b
c) H·y chøng tá x= 3 5 2 + − 3 5 2 − lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x3
+3x – 4 = 0
Tacã : x3 =
2 5 3 2 5 2
5 2
3 = + − + − + + − − −
= 4 – 3 3 5 + 2 3 5 − 2 3 5+2−3 5−2 = 4 - 3 3 ( 5 + 2)( 5 − 2).x
= 4 – 3x
* x3 = 4 – 3x <=> x3 + 3x + 4 = 0
x= + − − lµ nghiÖm cña PT x3 + 3x + 4 = 0
Bµi2(4®)
a/ Rót gän, tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc
2
A
Víi x = 2 − 3,y= + 2 3 Gi¶i : §K : x > 0 , y > 0
Trang 3
2
A
=
+
+ +
+
−
xy
y x y
x y
x xy
y x xy xy
y x
2 1
.
xy xy
y
x −
:
+
+ +
+
2 2
2
y x xy y
x xy
y x
xy xy
y
x −
:
( )
+
+ +
2
2
y x xy
y xy x
xy xy
y
x −
( )
+
+
2 2
y x xy
y x
xy
y
x−
Khi x = 2 − 3,y= + 2 3 th× A = (2 3)(2 3) 2 3 2 3
3 2 3
+
−
+
−
−
=> A2 = 4 – 2 = 2 Do A < 0 => A = - 2 b/ Gi¶i ph¬ng tr×nh x+ + 9 x− = 7 4 (1)
§K: x ≥ 7
(1) => ( x+ + 9 x− 7) 2 = 4 2
<=> 2x + 2 + 2( (x+ 9)(x− 7)) = 16
<=> 2( (x+ 9)(x− 7) ) = 16 – 2( x + 1)
<=> (x+ 9)(x− 7) = 8 – (x + 1) (2)
NÕu 8 – ( x+ 1) < 0 <=> x + 1 > 8 <=>x > 7 th× (2) V« nghiÖm
=> (1) V« nghiÖm
NÕu 8 – ( x+ 1) ≥ 0 <=> x + 1 ≤ 8 <=> x ≤ 7
KÕt hîp víi §K ®Çu bµi => x = 7 Thö x = 7 vµo pt(2) ta cã 0 = 0 VËy x = 7 lµ nghiÖm cña pt (2) lµ nghiÖm cña PT (1)
Bµi3(5®)
1
1 2 3 1
2 4 2 3 3 3
2
2 2
2 2
≤ + +
+
−
= +
+
−
−
− + +
x x
x x
x
x x x
x
GTLN B = 3 khi vµ chØ khi x = -1
1 1 3
1 2 3
1 1 3
1 2 2 1 3
1 3
3 3
3 3 3
2
2 2
2 2
2 2
2
≥ + +
− +
= + +
+
− +
+ +
+ +
= + +
+
−
x x
x x
x
x x x
x
x x x
x
x x
GTNN B =
3
1 khi vµ chØ khi x = 1
Trang 44 A
O C x
3
Đờng thẳng đi qua hai điểm A( 0 ;4) và C( 3; 0) có dạng y = ax +
b
A(0;4) ∈ đờng thẳng y = ax + b ⇔ 4 = a.0 + b ⇔b = 4
B(3;0) ∈ đờng thẳng y = ax + b ⇔ 0 = a.3 + b ⇔3a + 4 = 0
⇔a =
3
4
−
Vậy đờng thẳng đi qua hai điểm A và C là : y =
3
4
− x + 4 Đờng thẳng y = ax là đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và cắt cạnh
BC của hcn OABC tại M(3; y0) (y0 > 0) sao cho chia hình chữ nhật OABC thành hai phần , trong đó diện tích phần chứa điểm A gấp
đôi diện tích phần chứa điểm C nghĩa là SOMC =
3
1
SOABC
⇔ OC CM OA.OC
3
1
2
1
Mà OC = |3| = 3 , CM = | y0| = y0 ( do y0 > 0), OA = | 4| = 4 , OC =
| 3| = 3
Từ (1) tacó
2
1 3.y0 =
3
1 4 3 ⇔y0 =
3 8
Vậy đờng thẳng y =ax đi qua M(3;
3
8 ) ⇔ 3
8 = a.3 ⇔a =
9 8
Câu 4(2đ)
Kẻ AK⊥AF (K CD∈ ) (0,5đ)
ABE
∆ ∼ ADK∆ (g.g) (0,75đ)
F
E
B A
Trang 5Suy ra AE AB 2
AK = AD = (0,25đ)
2
AK = AE (0,5đ)
Áp dụng hệ thức lượng đối với tam giác vuông AKF,ta có :
AD = AK + AF (0,5đ)
AF
4
AB = AE + AF (0,5đ)
Câu 5: (5đ)
Vẽ hình đúng ghi giả thiết và kết luận sạch đẹp (0,5đ)
b.(1đ) Chứng minh đúng hệ thức dựa vào hệ thức lợng trong tam giác vuông (1đ)
c (2đ) Gọi I là giao điểm của AH và DE thì:
⇒∆ MID = ∆ MIH (cạnh huyền – cạnh góc vuông) (0,5đ)
⇒ MD = MH ⇒∆ MDH cân tại M ⇒ MDH = MHD
⇒∆ MBD cân ở M ta có MD = MB
⇒ MB = MH (= MD) vậy M là trung điểm của BH
Chứng ming……….thì N là trung điểm của HC (0,5đ)
d (0,5đ) Từ câu c suy ra:
DM =
2
1
BH =
2
1 4 = 2(cm)
EN =
2
1
HC =
2
1
⇒ S DENM =
2
1 (DM + EN) DE =
2
1 (2 + 4,5) 6 = 19,5 (cm2) (0,25đ)