hang dang thuc

Hằng đẳng thức: Dang 1: CM đẳng thức.1 CMR tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là một số chính phơng.. 1 CMR tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là một số chính phơng... 1 CMR tí

Hằng đẳng thức: Dang 1: CM đẳng thức.

1) CMR tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là một số chính phơng 2) Cho a+b+c=0 CMR: a3+b3+c3=3abc 3) Cho: a2+b2+c2=ab+bc+ca CMR: a=b=c 4) CMR nếu a3+b3+c3=3abc thì a+b+c=0 hoặc a=b=c 5)CMR:2(a-b)(c-b)+2(b-a)(c-a)+2(b-c)(a-c)=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)26)CMR:4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+y2z20 với mọi

x, y, z

7) Cho x2+y2=1 CMR biểu thức: A= 2 (x6+y6)-3(x4+y4) không phụ thuộc vào x, y 8)CMR với mọi giá trị của x

ta có:

a) –x2+4x-5< 0 b) x4+3x2+3> 0 c) (x2+2x+3) (x2+2x+4)+3> 0 d) ) (4x2-3x) (4+3x-4x2)-6< 0 9) Cho

x2=y2+4z2 CMR: (5x-3y+8z)(5x-3y-8z)= (3x-5y)2 10) CMR: nếu x+y+z= -3 thì (x+1)3+(y+1)3+

(z+1)3=3(x+1)(y+1)(z+1)

11) CMR nếu x là tổng của 2 số chính phơng thì 2x cũng là tổng của 2 số chính phơng 12) Cho x+y=a,

x2+y2=b, x3+y3=c CMR: a3-3ab+2c=0.13) CMR: 1991 1996 1989- 1993 1988 1995= 2005 2010 2003-

2007 2002 2009

14) CMR nếu: (x2+y2+z2) (a2+b2+c2)=(ax+by+cz)2 thì: x y z

ab  c

15) CMR nếu a+b+c=0 thì: a) a3+a2c-abc+b2c+b3=0 b) (a2+b2+c2)2=2(a4+b4+c4)

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức:

1) Cho x+y=2, x2+y2=10 Tính x3+y3

2) Cho a-b=m; ab=n Tính theo m, n giá trị của biểu thức sau: A= (a+b)2 ; B= a2+b2; C= a3-b3

3) Cho a+b=p; a-b=q Tính theo p, q giá trị của biểu thức sau: A= ab ; B= a3+b3

4a) Cho x-y=7 Tính giá trị của biểu thức : A= x(x+2)+y(y-2)-2xy+37

b) Cho x+2y=5 Tính giá trị của biểu thức : B= x2+4y2-2x+10+4xy-4y

5) Cho các biểu thức: P= (a+1)2+(b+1)2+(c+1)2+2(ab+bc+ca); Q= (a+b+c+1)2 Tính P-Q

6) Cho x-y=7 Tính giá trị của các biểu thức: M= x3-3xy(x-y)-y3-x2+2xy-y2; N= x2(x+1)-y2 (y-1)+xy-3xy(x-y+1)-95

7) Cho x+y=5 Tính giá trị của biểu thức: P= 3x2-2x+3y2-2y+6xy-100;Q= x3+y3-2x2-2y2+3xy(x+y)-4xy+3(x+y) +10

8) Cho x2+x+1=a Tính: B= x4+2x3+5x2+4x+4 theo a

9a) Cho x+y=3 và x2+y2=5 Tính x3+y3; b) Cho x-y=5 và x2+y2=15 Tính x3-y3

Hằng đẳng thức: Dang 1: CM đẳng thức

1) CMR tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là một số chính phơng 2) Cho a+b+c=0 CMR:

a3+b3+c3=3abc

3) CMR nếu a3+b3+c3=3abc thì a+b+c=0 hoặc a=b=c 4) Cho: a2+b2+c2=ab+bc+ca CMR: a=b=c

5)CMR:2(a-b)(c-b)+2(b-a)(c-a)+2(b-c)(a-c)=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)26)CMR:4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+y2z20 với mọi

x, y, z

7) Cho x2+y2=1 CMR biểu thức: A= 2 (x6+y6)-3(x4+y4) không phụ thuộc vào x, y 8)CMR với mọi giá trị của x

ta có:

a) –x2+4x-5< 0 b) x4+3x2+3> 0 c) (x2+2x+3) (x2+2x+4)+3> 0 d) ) (4x2-3x) (4+3x-4x2)-6< 0 9) Cho

x2=y2+4z2 CMR: (5x-3y+8z)(5x-3y-8z)= (3x-5y)2 10) CMR: nếu x+y+z= -3 thì (x+1)3+(y+1)3+

(z+1)3=3(x+1)(y+1)(z+1)

11) CMR nếu x là tổng của 2 số chính phơng thì 2x cũng là tổng của 2 số chính phơng 12) Cho x+y=a,

x2+y2=b, x3+y3=c CMR: a3-3ab+2c=0 13) CMR: 1991 1996 1989- 1993 1988 1995= 2005 2010 2003-

2007 2002 2009

14) CMR nếu: (x2+y2+z2) (a2+b2+c2)=(ax+by+cz)2 thì: x y z

ab  c

15) CMR nếu a+b+c=0 thì: a) a3+a2c-abc+b2c+b3=0 b) (a2+b2+c2)2=2(a4+b4+c4)

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức:

1) Cho x+y=2, x2+y2=10 Tính x3+y3

2) Cho a-b=m; ab=n Tính theo m, n giá trị của biểu thức sau: A= (a+b)2 ; B= a2+b2; C= a3-b3

3) Cho a+b=p; a-b=q Tính theo p, q giá trị của biểu thức sau: A= ab ; B= a3+b3

4a) Cho x-y=7 Tính giá trị của biểu thức : A= x(x+2)+y(y-2)-2xy+37

b) Cho x+2y=5 Tính giá trị của biểu thức : B= x2+4y2-2x+10+4xy-4y

5) Cho các biểu thức: P= (a+1)2+(b+1)2+(c+1)2+2(ab+bc+ca); Q= (a+b+c+1)2 Tính P-Q

6) Cho x-y=7 Tính giá trị của các biểu thức: M= x3-3xy(x-y)-y3-x2+2xy-y2; N= x2(x+1)-y2 (y-1)+xy-3xy(x-y+1)-95

7) Cho x+y=5 Tính giá trị của biểu thức: P= 3x -2x+3y -2y+6xy-100; Q= x+y-2x-2y

+3xy(x+y)-4xy+3(x+y)+10

8) Cho x2+x+1=a Tính: B= x4+2x3+5x2+4x+4 theo a

9a) Cho x+y=3 và x2+y2=5 Tính x3+y3; b) Cho x-y=5 và x2+y2=15 Tính x3-y3

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức:

1) Cho x+y=2, x2+y2=10 Tính x3+y3

2) Cho a-b=m; ab=n Tính theo m, n giá trị của biểu thức sau: A= (a+b)2 ; B= a2+b2; C= a3-b3

3) Cho a+b=p; a-b=q Tính theo p, q giá trị của biểu thức sau: A= ab ; B= a3+b3

4a) Cho x-y=7 Tính giá trị của biểu thức : A= x(x+2)+y(y-2)-2xy+37

b) Cho x+2y=5 Tính giá trị của biểu thức : B= x2+4y2-2x+10+4xy-4y

5) Cho các biểu thức: P= (a+1)2+(b+1)2+(c+1)2+2(ab+bc+ca); Q= (a+b+c+1)2 Tính P-Q

6) Cho x-y=7 Tính giá trị của các biểu thức: M= x3-3xy(x-y)-y3-x2+2xy-y2; N= x2(x+1)-y2 (y-1)+xy-3xy(x-y+1)-95

7) Cho x+y=5 Tính giá trị của biểu thức: P= 3x2-2x+3y2-2y+6xy-100; Q= x3+y3-2x2-2y2

+3xy(x+y)-4xy+3(x+y)+10

8) Cho x2+x+1=a Tính: B= x4+2x3+5x2+4x+4 theo a

9a) Cho x+y=3 và x2+y2=5 Tính x3+y3; b) Cho x-y=5 và x2+y2=15 Tính x3-y3

Hằng đẳng thức: Dang 1: CM đẳng thức

1) CMR tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là một số chính phơng 2) Cho a+b+c=0 CMR:

a3+b3+c3=3abc

3) CMR nếu a3+b3+c3=3abc thì a+b+c=0 hoặc a=b=c 4) Cho: a2+b2+c2=ab+bc+ca CMR: a=b=c

5)CMR: 2(a-b)(c-b)+2(b-a)(c-a)+2(b-c)(a-c)=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)26)CMR:4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+y2z20 với mọi

x, y, z

7) Cho x2+y2=1 CMR biểu thức: A= 2 (x6+y6)-3(x4+y4) không phụ thuộc vào x, y 8) CMR với mọi giá trị của x

ta có:

a) –x2+4x-5< 0 b) x4+3x2+3> 0 c) (x2+2x+3) (x2+2x+4)+3> 0 d) ) (4x2-3x) (4+3x-4x2)-6< 0 9) Cho

x2=y2+4z2 CMR: (5x-3y+8z)(5x-3y-8z)= (3x-5y)2 10) MR: nếu x+y+z= -3 thì (x+1)3+(y+1)3+(z+1)3=3(x+1) (y+1)(z+1)

11) CMR nếu x là tổng của 2 số chính phơng thì 2x cũng là tổng của 2 số chính phơng 12) Cho x+y=a,

x2+y2=b, x3+y3=c CMR: a3-3ab+2c=0 13) CMR: 1991 1996 1989- 1993 1988 1995= 2005 2010 2003-

2007 2002 2009

14) CMR nếu: (x2+y2+z2) (a2+b2+c2)=(ax+by+cz)2 thì: x y z

ab  c

15) CMR nếu a+b+c=0 thì: a) a3+a2c-abc+b2c+b3=0 b) (a2+b2+c2)2=2(a4+b4+c4)

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức:

1) Cho x+y=2, x2+y2=10 Tính x3+y3

2) Cho a-b=m; ab=n Tính theo m, n giá trị của biểu thức sau: A= (a+b)2 ; B= a2+b2; C= a3-b3

3) Cho a+b=p; a-b=q Tính theo p, q giá trị của biểu thức sau: A= ab ; B= a3+b3

4a) Cho x-y=7 Tính giá trị của biểu thức : A= x(x+2)+y(y-2)-2xy+37

b) Cho x+2y=5 Tính giá trị của biểu thức : B= x2+4y2-2x+10+4xy-4y

5) Cho các biểu thức: P= (a+1)2+(b+1)2+(c+1)2+2(ab+bc+ca); Q= (a+b+c+1)2 Tính P-Q

6) Cho x-y=7 Tính giá trị của các biểu thức: M= x3-3xy(x-y)-y3-x2+2xy-y2; N= x2(x+1)-y2 (y-1)+xy-3xy(x-y+1)-95

7) Cho x+y=5 Tính giá trị của biểu thức: P= 3x2-2x+3y2-2y+6xy-100; Q= x3+y3-2x2-2y2

+3xy(x+y)-4xy+3(x+y)+10

8) Cho x2+x+1=a Tính: B= x4+2x3+5x2+4x+4 theo a

9a) Cho x+y=3 và x2+y2=5 Tính x3+y3; b) Cho x-y=5 và x2+y2=15 Tính x3-y3

ằng đẳng thức: Dang 1: CM đẳng thức

1) CMR tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là một số chính phơng 2) Cho a+b+c=0 CMR:

a3+b3+c3=3abc

3) CMR nếu a3+b3+c3=3abc thì a+b+c=0 hoặc a=b=c 4) Cho: a2+b2+c2=ab+bc+ca CMR: a=b=c

5)CMR:2(a-b)(c-b)+2(b-a)(c-a)+2(b-c)(a-c)=(a-b)+(b-c) +(c-a)6)CMR:4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+yz 0 với mọi

x, y, z

7) Cho x2+y2=1 CMR biểu thức: A= 2 (x6+y6)-3(x4+y4) không phụ thuộc vào x, y 8) CMR với mọi giá trị của x

ta có:

a) –x2+4x-5< 0 b) x4+3x2+3> 0 c) (x2+2x+3) (x2+2x+4)+3> 0 d) ) (4x2-3x) (4+3x-4x2)-6< 0 9) Cho

x2=y2+4z2 CMR: (5x-3y+8z)(5x-3y-8z)= (3x-5y)2 10) CMR: nếu x+y+z= -3 thì (x+1)3+(y+1)3+

(z+1)3=3(x+1)(y+1)(z+1)

11) CMR nếu x là tổng của 2 số chính phơng thì 2x cũng là tổng của 2 số chính phơng 12) Cho x+y=a,

x2+y2=b, x3+y3=c CMR: a3-3ab+2c=0 13) CMR: 1991 1996 1989- 1993 1988 1995= 2005 2010 2003-

2007 2002 2009

14) CMR nếu: (x2+y2+z2) (a2+b2+c2)=(ax+by+cz)2 thì: x y z

ab  c

15) CMR nếu a+b+c=0 thì: a) a3+a2c-abc+b2c+b3=0 b) (a2+b2+c2)2=2(a4+b4+c4)

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức:

10) Tính giá trị biểu thức sau: A=(x-1)3-4x(x-1)(x+1)+3(x-1)(x2+x+1)+3(x-1)2 với x=-2/5 11) Cho 3 số tự nhiên liên tiếp Biết rằng tổng của 3 tích của 2 trong 3 số ấy là 242 Tìm các số đó 12) Tìm 2 số tự nhiên lẻ liên tiếp biết rằng hiệu các bình phơng của chúng là 40 13) Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp, biết rằng tích của chúng bằng 24

14) Tính nhanh: a) A=1002-992+982-972+… +2 +22-12 b) B= (502+482+… +2+22)-(492+472+… +2+11)

c) C=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) d)D= -12+22-32+42 -… +2.-992+1002 e) E=(1,2345)4+(0,7655)4

-(1,2345)3(0,7655)2-(1,2345)2(0,7655)3+(4,938)(3,062) 15) So sánh: a) A=332 và B=(3+1)(32+1)(34+1)(38+1) (316+1) b) A=1999.2001 và B= 20002 c) A=3n+1+4.2n-1-81.3n-3-8.2n-2+1 và D=(2n+1)2 +(2n-1)2 -2(4n+1) với n∈Z+ d)A =(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)

và B={[(22)2]2}2 e) A=2004.2006(20052+1) và B=20054 16) Tìm x, biết: a) 9x2-6x-3=0 b)

x3+9x2+27x+19=0

c) x(x-5)(x+5)-(x+2)(x2-2x+4)=3 d) x8+x6-x4-2x3-x2-2x+4=0 17) Tìm x, y, z biết: x2+2x+y2-6y+4z2 -4z+11=0

18) Cho a+b=1 Tính a3+3ab+b3 19) Cho m,n là các số nguyên dơng Hãy so sánh giá trị của 2 biểu thức sau: A=2m3+3n3 và B=4mn2 20) Tìm các số tự nhiên n sao cho: A=n1975+n1973+1 có giá trị là số nguyên tố 21) Tìm tất cả các giá trị của x, y thoả mãn: a) y2+2y+4x-2x+1+2=0 b) 5x2+5y2+8xy-2x+2y+2=0 22) Cho x,

y, z liên hệ bởi x2-y=a, y2-z=b, z2-x=c Tính giá trị của biểu thức sau theo a, b, c: A= x3(z-y2)+y3(x-z2)+z3

(y-x2)+xyz(xyz-1)

23) Tính: (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) 24) Tính: (b-c)3+ (c-a)3+(a-b)3-3(b-c)(c-a)(a-b) 25) Cho x+y+z=a;

x2+y2+z2=b2; x3+y3+z3=c3 Tính x, y, z theo a, b, c 26) Cho a+b+c=0; a2+b2+c2=1 Tính a4+b4+c4

27) Cho x2+y2+z2+t2=1; xy+yz+zt+tx=1 Tìm ( x, y, z, t) 28) Cho a+b+c=0; ab+bc+ca=0 Tính giá trị biểu thức: A= (a-1)2003+b2004+(c+1)2005 29) Cho 1 1 1

0

a b c   Tính: A= 2 2 2

bc ca ab

a b  c

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức:

10) Tính giá trị biểu thức sau: A=(x-1)3-4x(x-1)(x+1)+3(x-1)(x2+x+1)+3(x-1)2 với x=-2/5 11) Cho 3 số tự nhiên liên tiếp Biết rằng tổng của 3 tích của 2 trong 3 số ấy là 242 Tìm các số đó 12) Tìm 2 số tự nhiên lẻ liên

tiếp biết rằng hiệu các bình phơng của chúng là 40 13) Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp, biết rằng tích của chúng bằng 24

14) Tính nhanh: a) A=1002-992+982-972+… +2 +22-12 b) B= (502+482+… +2+22)-(492+472+… +2+11)

c) C=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) d)D= -12+22-32+42 -… +2.-992+1002 e) E=(1,2345)4+(0,7655)4

-(1,2345)3(0,7655)2-(1,2345)2(0,7655)3+(4,938)(3,062) 15) So sánh: a) A=332 và B=(3+1)(32+1)(34+1)(38+1) (316+1) b) A=1999.2001 và B= 20002 c) A=3n+1+4.2n-1-81.3n-3-8.2n-2+1 và D=(2n+1)2 +(2n-1)2 -2(4n+1) với n∈Z+ d)A =(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)

và B={[(22)2]2}2 e) A=2004.2006(20052+1) và B=20054 16) Tìm x, biết: a) 9x2-6x-3=0 b)

x3+9x2+27x+19=0

c) x(x-5)(x+5)-(x+2)(x2-2x+4)=3 d) x8+x6-x4-2x3-x2-2x+4=0 17) Tìm x, y, z biết: x2+2x+y2-6y+4z2 -4z+11=0

18) Cho a+b=1 Tính a3+3ab+b3 19) Cho m,n là các số nguyên dơng Hãy so sánh giá trị của 2 biểu thức sau: A=2m3+3n3 và B=4mn2 20) Tìm các số tự nhiên n sao cho: A=n1975+n1973+1 có giá trị là số nguyên tố 21) Tìm tất cả các giá trị của x, y thoả mãn: a) y2+2y+4x-2x+1+2=0 b) 5x2+5y2+8xy-2x+2y+2=0 22) Cho x,

y, z liên hệ bởi x2-y=a, y2-z=b, z2-x=c Tính giá trị của biểu thức sau theo a, b, c: A= x3(z-y2)+y3(x-z2)+z3

(y-x2)+xyz(xyz-1)

23) Tính: (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) 24) Tính: (b-c)3+ (c-a)3+(a-b)3-3(b-c)(c-a)(a-b) 25) Cho x+y+z=a;

x2+y2+z2=b2; x3+y3+z3=c3 Tính x, y, z theo a, b, c 26) Cho a+b+c=0; a2+b2+c2=1 Tính a4+b4+c4

27) Cho x2+y2+z2+t2=1; xy+yz+zt+tx=1 Tìm ( x, y, z, t) 28) Cho a+b+c=0; ab+bc+ca=0 Tính giá trị biểu thức: A= (a-1)2003+b2004+(c+1)2005 29) Cho 1 1 1

0

a b c   Tính: A= 2 2 2

bc ca ab

a b  c

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức:

10) Tính giá trị biểu thức sau: A=(x-1)3-4x(x-1)(x+1)+3(x-1)(x2+x+1)+3(x-1)2 với x=-2/5 11) Cho 3 số tự nhiên liên tiếp Biết rằng tổng của 3 tích của 2 trong 3 số ấy là 242 Tìm các số đó 12) Tìm 2 số tự nhiên lẻ liên tiếp biết rằng hiệu các bình phơng của chúng là 40 13) Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp, biết rằng tích của chúng bằng 24

14) Tính nhanh: a) A=1002-992+982-972+… +2 +22-12 b) B= (502+482+… +2+22)-(492+472+… +2+11)

c) C=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) d)D= -12+22-32+42 -… +2.-992+1002 e) E=(1,2345)4+(0,7655)4

-(1,2345)3(0,7655)2-(1,2345)2(0,7655)3+(4,938)(3,062) 15) So sánh: a) A=332 và B=(3+1)(32+1)(34+1)(38+1) (316+1) b) A=1999.2001 và B= 20002 c) A=3n+1+4.2n-1-81.3n-3-8.2n-2+1 và D=(2n+1)2 +(2n-1)2 -2(4n+1) với n∈Z+ d)A =(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)

và B={[(22)2]2}2 e) A=2004.2006(20052+1) và B=20054 16) Tìm x, biết: a) 9x2-6x-3=0 b)

x3+9x2+27x+19=0

c) x(x-5)(x+5)-(x+2)(x2-2x+4)=3 d) x8+x6-x4-2x3-x2-2x+4=0 17) Tìm x, y, z biết: x2+2x+y2-6y+4z2 -4z+11=0

18) Cho a+b=1 Tính a3+3ab+b3 19) Cho m,n là các số nguyên dơng Hãy so sánh giá trị của 2 biểu thức sau: A=2m3+3n3 và B=4mn2 20) Tìm các số tự nhiên n sao cho: A=n1975+n1973+1 có giá trị là số nguyên tố 21) Tìm tất cả các giá trị của x, y thoả mãn: a) y2+2y+4x-2x+1+2=0 b) 5x2+5y2+8xy-2x+2y+2=0 22) Cho x,

y, z liên hệ bởi x2-y=a, y2-z=b, z2-x=c Tính giá trị của biểu thức sau theo a, b, c: A= x3(z-y2)+y3(x-z2)+z3

(y-x2)+xyz(xyz-1)

23) Tính: (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) 24) Tính: (b-c)3+ (c-a)3+(a-b)3-3(b-c)(c-a)(a-b) 25) Cho x+y+z=a;

x2+y2+z2=b2; x3+y3+z3=c3 Tính x, y, z theo a, b, c 26) Cho a+b+c=0; a2+b2+c2=1 Tính a4+b4+c4

27) Cho x2+y2+z2+t2=1; xy+yz+zt+tx=1 Tìm ( x, y, z, t) 28) Cho a+b+c=0; ab+bc+ca=0 Tính giá trị biểu thức: A= (a-1)2003+b2004+(c+1)2005 29) Cho 1 1 1

0

a b c   Tính: A= 2 2 2

bc ca ab

a b  c

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức:

10) Tính giá trị biểu thức sau: A=(x-1)3-4x(x-1)(x+1)+3(x-1)(x2+x+1)+3(x-1)2 với x=-2/5 11) Cho 3 số tự nhiên liên tiếp Biết rằng tổng của 3 tích của 2 trong 3 số ấy là 242 Tìm các số đó 12) Tìm 2 số tự nhiên lẻ liên tiếp biết rằng hiệu các bình phơng của chúng là 40 13) Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp, biết rằng tích của chúng bằng 24

14) Tính nhanh: a) A=1002-992+982-972+… +2 +22-12 b) B= (502+482+… +2+22)-(492+472+… +2+11)

c) C=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) d)D= -12+22-32+42 -… +2.-992+1002 e) E=(1,2345)4+(0,7655)4

-(1,2345)3(0,7655)2-(1,2345)2(0,7655)3+(4,938)(3,062) 15) So sánh: a) A=332 và B=(3+1)(32+1)(34+1)(38+1) (316+1) b) A=1999.2001 và B= 20002 c) A=3n+1+4.2n-1-81.3n-3-8.2n-2+1 và D=(2n+1)2 +(2n-1)2 -2(4n+1) với n∈Z+ d)A =(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)

và B={[(22)2]2}2 e) A=2004.2006(20052+1) và B=20054 16) Tìm x, biết: a) 9x2-6x-3=0 b)

x3+9x2+27x+19=0

c) x(x-5)(x+5)-(x+2)(x2-2x+4)=3 d) x8+x6-x4-2x3-x2-2x+4=0 17) Tìm x, y, z biết: x2+2x+y2-6y+4z2 -4z+11=0

18) Cho a+b=1 Tính a +3ab+b 19) Cho m,n là các số nguyên dơng Hãy so sánh giá trị của 2 biểu thức sau: A=2m3+3n3 và B=4mn2 20) Tìm các số tự nhiên n sao cho: A=n1975+n1973+1 có giá trị là số nguyên tố 21) Tìm tất cả các giá trị của x, y thoả mãn: a) y2+2y+4x-2x+1+2=0 b) 5x2+5y2+8xy-2x+2y+2=0 22) Cho x,

y, z liên hệ bởi x2-y=a, y2-z=b, z2-x=c Tính giá trị của biểu thức sau theo a, b, c: A= x3(z-y2)+y3(x-z2)+z3

(y-x2)+xyz(xyz-1)

23) Tính: (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) 24) Tính: (b-c)3+ (c-a)3+(a-b)3-3(b-c)(c-a)(a-b) 25) Cho x+y+z=a;

x2+y2+z2=b2; x3+y3+z3=c3 Tính x, y, z theo a, b, c 26) Cho a+b+c=0; a2+b2+c2=1 Tính a4+b4+c4

27) Cho x2+y2+z2+t2=1; xy+yz+zt+tx=1 Tìm ( x, y, z, t) 28) Cho a+b+c=0; ab+bc+ca=0 Tính giá trị biểu thức: A= (a-1)2003+b2004+(c+1)2005 29) Cho 1 1 1

0

a b c   Tính: A= 2 2 2

bc ca ab

a b  c

Dạng 3: CM chia hết và tìm số d

1)CM 10

11  1 100 2)2147 1 343 3)Tìm số d khi chia 19631964 cho 7 4) CM với n > 1 thì A =nn–n2+n-1

n 12



5)CMR: x2000 +x2002+1 x2 x 1 6)Tìm ĐK của các số hữu tỉ sao cho Đẳng thức:ax19+bx94+cx1994

x2 x 1



7)CMR: 2139+392145 8)CMR:n ∈N thì 3n+2+42n+1 13 9)Tìm số d khi chia 222555 cho 7 10)CMR

7

7

7  7 10 11)Cho x, y, z là các số nguyên ≠0 CMR nêu a = x2-yz; b=y2-xz; c=z2-xy thì ax + by +cz  a+b+c

12)Cho x, y, z là các số nguyên đôi 1 khác nhau: CMR x y 5y z 5z x 55x y y z z x       

13)CM tổng các lập phơng của 3 số nguyên liên tiếp thì9 14)Xác định số hỡ tỉ a để đa thức:

A x ax  ax x

15)CMR x∈Zthì B n n 3 2 7236 105n 16)a)CMR: a=BSb+r thì an=BSb +nn(a,r∈Z b)Tìm số d trong phép chia 19931992 cho9 c) Tìm số d trong phép chia 19931992 cho15 17)Tìm số tận cùng của các số:A=19921993; B=19931992

18)CMR: A=x9999+ x8888+… +2 + x1111+1 B x 9x8  x 1 19)CMR: A= 22225555+ 555522227

20)CMR: A=202n+162n-32n-1323 21)CMR: n2(n2-1) 12

Dạng 3: CM chia hết và tìm số d

1)CM 1110 1 100 2)2147 1 343 3)Tìm số d khi chia 19631964 cho 7 4) CM với n > 1 thì A =nn–n2+n-1

n 12



5)CMR: x2000 +x2002+1 x2 x 1 6)Tìm ĐK của các số hữu tỉ sao cho Đẳng thức:ax19+bx94+cx1994

x2 x 1



7)CMR: 2139+392145 8)CMR:n ∈N thì 3n+2+42n+1 13 9)Tìm số d khi chia 222555 cho 7 10)CMR

7

7

7  7 10 11)Cho x, y, z là các số nguyên ≠0 CMR nêu a = x2-yz; b=y2-xz; c=z2-xy thì ax + by +cz  a+b+c

12)Cho x, y, z là các số nguyên đôi 1 khác nhau: CMR x y 5y z 5z x 55x y y z z x       

13)CM tổng các lập phơng của 3 số nguyên liên tiếp thì9 14)Xác định số hỡ tỉ a để đa thức:

A x ax  ax x

15)CMR x∈Zthì 3 2 2

7 36 105

B n n   n 16)a)CMR: a=BSb+r thì an=BSb +nn(a,r∈Z b)Tìm số d trong phép chia 19931992 cho9 c) Tìm số d trong phép chia 19931992 cho15 17)Tìm số tận cùng của các số:A=19921993; B=19931992

18)CMR: A=x9999+ x8888+… +2 + x1111+1 9 8

1

B x x   x

 19)CMR: A= 22225555+ 555522227 20)CMR: A=202n+162n-32n-1323 21)CMR: n2(n2-1) 12

Dạng 4:Tìm Min, Max

1)tìm min:A= 2001x2+ 2002x+2003 2)Tìm MaxA=-(x-1)2+2(∣x-1∣+1) 3)tìm min A = x2+2x+5 4)tìm Max A=x-x2

5)Tìm gtrị nhỏ nhất của: a)A=x2+5x+8 b)B=x(x-6) c)C=x2+3x+7 d)D=(x-2)(x-5)(x2-7x-10)

6)Tìm gtrị lớn nhất của đẳng thức:A=5-8x-x2 B=-3x(x+3)-7 C=11-10x-x2 D=∣x-4∣(2-∣x-4∣)

7)Tìm x, y sao cho:a)A=2x2+9x2-6xy-6x-12y+2004 có gtrị nhỏ nhất b)B=-x2+2xy-4y2+2x+10y-8 có gtrị lớn nhất

8)Tìm Min của: A=(x2-3x+1) (x2-3x-1) B=(x-)(x+5)(x2+4x+5) 9)Tìm Max C=-4-x2+6x D=∣x-3∣(2-∣x-3∣) E=-x2-4x-y2+2y 10)Tìm Max A=x2-x+1 B=(x-2)(x-4)+3 C=2x2-4xy+4y2+2x+5

Dạng 4:Tìm Min, Max

1)tìm min:A= 2001x2+ 2002x+2003 2)Tìm MaxA=-(x-1)2+2(∣x-1∣+1) 3)tìm min A = x2+2x+5 4)tìm Max A=x-x2

5)Tìm gtrị nhỏ nhất của: a)A=x2+5x+8 b)B=x(x-6) c)C=x2+3x+7 d)D=(x-2)(x-5)(x2-7x-10)

6)Tìm gtrị lớn nhất của đẳng thức:A=5-8x-x2 B=-3x(x+3)-7 C=11-10x-x2 D=∣x-4∣(2-∣x-4∣)

7)Tìm x, y sao cho:a)A=2x2+9x2-6xy-6x-12y+2004 có gtrị nhỏ nhất b)B=-x2+2xy-4y2+2x+10y-8 có gtrị lớn nhất

8)Tìm Min của: A=(x2-3x+1) (x2-3x-1) B=(x-)(x+5)(x2+4x+5) 9)Tìm Max C=-4-x2+6x D=∣x-3∣(2-∣x-3∣) E=-x2-4x-y2+2y 10)Tìm Max A=x2-x+1 B=(x-2)(x-4)+3 C=2x2-4xy+4y2+2x+5

Dạng 4:Tìm Min, Max

1)tìm min:A= 2001x2+ 2002x+2003 2)Tìm MaxA=-(x-1)2+2(∣x-1∣+1) 3)tìm min A = x2+2x+5 4)tìm Max A=x-x2

5)Tìm gtrị nhỏ nhất của: a)A=x2+5x+8 b)B=x(x-6) c)C=x2+3x+7 d)D=(x-2)(x-5)(x2-7x-10)

6)Tìm gtrị lớn nhất của đẳng thức:A=5-8x-x2 B=-3x(x+3)-7 C=11-10x-x2 D=∣x-4∣(2-∣x-4∣)

7)Tìm x, y sao cho:a)A=2x2+9x2-6xy-6x-12y+2004 có gtrị nhỏ nhất b)B=-x2+2xy-4y2+2x+10y-8 có gtrị lớn nhất

8)Tìm Min của: A=(x2-3x+1) (x2-3x-1) B=(x-)(x+5)(x2+4x+5) 9)Tìm Max C=-4-x2+6x D=∣x-3∣(2-∣x-3∣) E=-x2-4x-y2+2y 10)Tìm Max A=x2-x+1 B=(x-2)(x-4)+3 C=2x2-4xy+4y2+2x+5

Dạng 4:Tìm Min, Max

1)tìm min: A= 2001x2+ 2002x+2003 2)Tìm MaxA=-(x-1)2+2(∣x-1∣+1)

3)tìm min A = x2+2x+5 4)tìm Max A=x-x2

5)Tìm gtrị nhỏ nhất của: a)A=x2+5x+8 b)B=x(x-6) c)C=x2+3x+7 d)D=(x-2)(x-5)(x2-7x-10)

6)Tìm gtrị lớn nhất của đẳng thức:A=5-8x-x2 B=-3x(x+3)-7 C=11-10x-x2 D=∣x-4∣(2-∣x-4∣)

7)Tìm x, y sao cho: a)A=2x2+9x2-6xy-6x-12y+2004 có gtrị nhỏ nhất

b)B=-x2+2xy-4y2+2x+10y-8 có gtrị lớn nhất

8)Tìm Min của: A=(x2-3x+1) (x2-3x-1) B=(x-)(x+5)(x2+4x+5) 9)Tìm Max C=-4-x2+6x D=∣x-3∣(2-∣x-3∣) E=-x2-4x-y2+2y 10)Tìm Max A=x2-x+1 B=(x-2)(x-4)+3 C=2x2-4xy+4y2+2x+5

Dạng 4:Tìm Min, Max 1)tìm min:A= 2001x2+ 2002x+2003 2)Tìm MaxA=-(x-1)2+2(∣x-1∣+1) 3)tìm min A = x2+2x+5 4)tìm Max A=x-x2

5)Tìm gtrị nhỏ nhất của: a)A=x2+5x+8 b)B=x(x-6) c)C=x2+3x+7 d)D=(x-2)(x-5)(x2-7x-10)

6)Tìm gtrị lớn nhất của đẳng thức:A=5-8x-x2 B=-3x(x+3)-7 C=11-10x-x2 D=∣x-4∣(2-∣x-4∣)

7)Tìm x, y sao cho: a)A=2x2+9x2-6xy-6x-12y+2004 có gtrị nhỏ nhất

b)B=-x2+2xy-4y2+2x+10y-8 có gtrị lớn nhất

8)Tìm Min của: A=(x2-3x+1) (x2-3x-1) B=(x-)(x+5)(x2+4x+5) 9)Tìm Max C=-4-x2+6x D=∣x-3∣(2-∣x-3∣) E=-x2-4x-y2+2y 10)Tìm Max A=x2-x+1 B=(x-2)(x-4)+3 C=2x2-4xy+4y2+2x+5

Qui nạp: 1) CMR tổng các lập phơng của 3 số nguyên dơng liên tiếp thì chia hết cho 9 2) CMR: Với mọi n

Z+ thì: a) Sn=(n+1)(n+2)… +2… +2(n+n) chia hết cho 2n b) 32n+1+40n-6764 c) 33n+2+5.23n+1

19 d) 2n+2.3n+5n-4 25

e) n4+6n3+11n2+6n24 f) 7n+2+82n+1

57 3) CMR: Với mọi nZ+ thì số gồm 3n chữ số 13 4) CMR: Với mọi nZ+ thì: a) Sn= 1.2+2.3+… +2 + n(n+1)=  1  2

3

n n n

b) Sn= 12+22+… +2… +2 +n2= ( 1)(2 1)

6

n n n

c) Sn= 1.4+2.7+… +2 +n(3n+1)=n(n+1)2 d)Sn=

n

n

   f) Sn=



g) Sn=-1+3-5+7-… +2.+(-1)n(2n-1)=(-1)n.n h) Sn=1.1!+2.2!+… +2+n.n!=(n+1)!-1

5) CMR với mọi số nguyên dơng n3 thì 2n>2n+1 6) CMR: Với mọi nZ+ ta có: a)

n n   n 

b) Sn=1+1 1 1 1

n

 c) Sn=

n n   n   d) n

2>n+5 (n3) Bất đẳng thức: 1) CM BĐT:a) a2+b2+c2ab+bc+ca b)a3+b3ab(a+b)

Phơng trình bậc nhất 1 ẩn 1)Các cặp pt sau có tơng đơng không?a) (x-1)2+2=(x-2)2 và 2x3-x2+2x-1=0 b) x2   và x 1 3 x  1

c)2x+7=10 và x2-2x+11=x2-4x+14 d) x+1=0 và x3+1=0 2) CMR các pt sau vô nghiệm: a)

2x2+5x+10=x2+5x-11 b) 2x2-6x+7=0 c) x23x20  x 3  3) a)Tìm giá trị của m để pt : (3x+5)0

(11+3m)-7(x+2)=115 có nghiệm x=1

b) Tìm giá trị của n để pt: 2(x+n)(x+2)-3(x-1)(x2+1)=15 có nghiệm x=-1 c)Tìm giá trị của p để pt: 2

3

p x +x2-x+2p=x3+3x-2 có 1 nghiệm bằng nửa nghiệm của pt: x(x-2)+12=(x+1)(x+2) 4)Với các giá trị nào của m thì các cặp pt sau tơng đơng: a)mx+3=2x và (x-1)(x+1)-x(x+2)=3 b)5x+m=4x+(1-m) và 2 2

3 5

x

x



 c)(m+1)x-8=2x+m và mx-3x=2 (m3) 5) Tìm các giá trị của m để cho: a)Pt 2mx=1

6

3m x có nghiệm bằng -5 b) Pt 6x-5m=3+3mx có nghiệm số gấp 3 nghiệm số của pt (x+1)(x-1)-(x+2)2=3 6)a) Giải pt (a-1)x+3(a-1)=0(ẩn x)

Có nhận xét gì về số nghiệm của pt khi a=1 b) Cũng hỏi tơng tự với pt (a-1)x-2a-2=1 7) Cho pt:

(1)

x x x m

   (m là hằng số) Tìm giá trị của m để pt (1) có nghiệm

1)Các cặp pt sau có tơng đơng không?a) (x-1)2+2=(x-2)2 và 2x3-x2+2x-1=0 b) x2   và x 1 3 x  1

c)2x+7=10 và x2-2x+11=x2-4x+14 d) x+1=0 và x3+1=0 2) CMR các pt sau vô nghiệm: a) 2x2+5x+10=x2

+5x-11 b) 2x2-6x+7=0 c) x23x20  x 3  3) a)Tìm giá trị của m để pt : (3x+5)(11+3m)-7(x+2)=115 có 0 nghiệm x=1 b) Tìm giá trị của n để pt: 2(x+n)(x+2)-3(x-1)(x2+1)=15 có nghiệm x=-1 c)Tìm giá trị của p để pt: 2

3

p x

+x2-x+2p=x3+3x-2 có 1 nghiệm bằng nửa nghiệm của pt: x(x-2)+12=(x+1)(x+2) 4)Với các giá trị nào của m thì các cặp pt sau tơng đơng: a)mx+3=2x và (x-1)(x+1)-x(x+2)=3 b)5x+m=4x+(1-m) và 2 2

3 5

x

x



 c)(m+1)x-8=2x+m và mx-3x=2 (m3) 5) Tìm các giá trị của m để cho: a)Pt 2mx=1

6

3m x có nghiệm bằng -5 b) Pt 6x-5m=3+3mx có nghiệm số gấp 3 nghiệm số của pt (x+1)(x-1)-(x+2)2=3 6)a) Giải pt (a-1)x+3(a-1)=0(ẩn x) Có nhận xét gì về số nghiệm của pt khi a=1 b) Cũng hỏi tơng tự với pt (a-1)x-2a-2=1 7) Cho pt:

(1)

x x x m

   (m là hằng số) Tìm giá trị của m để pt (1) có nghiệm

1)Các cặp pt sau có tơng đơng không?a) (x-1)2+2=(x-2)2 và 2x3-x2+2x-1=0 b) x2   và x 1 3 x  1

c)2x+7=10 và x2-2x+11=x2-4x+14 d) x+1=0 và x3+1=0 2) CMR các pt sau vô nghiệm: a) 2x2+5x+10=x2

+5x-11 b) 2x2-6x+7=0 c) x23x20  x 3  3) a)Tìm giá trị của m để pt : (3x+5)(11+3m)-7(x+2)=115 có 0 nghiệm x=1 b) Tìm giá trị của n để pt: 2(x+n)(x+2)-3(x-1)(x2+1)=15 có nghiệm x=-1 c)Tìm giá trị của p để pt: 2

3

p x

+x2-x+2p=x3+3x-2 có 1 nghiệm bằng nửa nghiệm của pt: x(x-2)+12=(x+1)(x+2) 4)Với các giá trị nào của m thì các cặp pt sau tơng đơng: a)mx+3=2x và (x-1)(x+1)-x(x+2)=3 b)5x+m=4x+(1-m) và 2 2

3 5

x

x



 c)(m+1)x-8=2x+m và mx-3x=2 (m3) 5) Tìm các giá trị của m để cho: a)Pt 2mx=1

6

3m x có nghiệm bằng

-5 b) Pt 6x 5m=3+3mx có nghiệm số gấp 3 nghiệm số của pt (x+1)(x-1)-(x+2)2=3 6)a) Giải pt (a-1)x+3(a-1)=0(ẩn x) Có nhận xét gì về số nghiệm của pt khi a=1 b) Cũng hỏi tơng tự với pt (a-1)x-2a-2=1 7) Cho pt:

(1)

x x x m

   (m là hằng số) Tìm giá trị của m để pt (1) có nghiệm

x x x x x x

Chia đa thức:

Định lí BơDu: Số d trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x-a đúng bằng f(a).

Hệ quả: Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x-a Đặc biệt: Nếu tổng các hệ số của đa thức f(x)=0 thì 1

là nghiệm và f(x) chia hết cho x-1 Nếu f(x) có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ só bậc lẻ thì -1 là nghiệm và f(x) chia hết cho x+1

âp dụng hệ quả của đ/lí Bơ du vào việc phân tích đa thức thành nhân tử Nếu f(x) có nghiệm x=a thì khi phân tích f(x) thành nhân tử , tích sẽ chứa nhân tử x-a

Cách nhẩm nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỷ của f(x) với hệ số nguyên: Nếu f(x) có nghiệm nguyên thì nghiệm là

ớc của số hạng tự do Nếu f(x) có nghiệm hữu tỷ thì nghiệm có dạng p/q (p, q)=1 trong đó p là ớc của số hạng tự

do q là ớc dơng của hệ só cao nhất

Bài tập: 1) Tìm nN để -7xn+1y6

4x5yn 2) CMR giá trị của A0 x y,  A= 0