PHƯƠNG PHÁP CHỌN BIỂU THỨC PHỤ TRONG CHỨNGMINH BẤT ĐẲNG THỨC.. Chứng minh rằng:.. Chứng minh rằng:... Xin phát biểu và chứng minh công thức tổng quát hơn như sau.. Ch
Trang 1PHƯƠNG PHÁP CHỌN BIỂU THỨC PHỤ TRONG CHỨNG
MINH BẤT ĐẲNG THỨC.
(ĐOÀN CÁT NHƠN, GV Trường THCS Nhơn Lô ̣c, An Nhơn, Bình Đi ̣nh)
Bài toán gốc : Cho các số dương a, b có tích bằng 1 Tìm giá tri ̣ nhỏ nhất của biểu
thức A = 21+ +21
+ a
b b
a
.
Lời giải:
Cho ̣n biểu thức phu ̣ là ; 41
4
+ b a
và áp du ̣ng BĐT Cô-si cho hai số dương ta được:
1 2
1 4
2 3 2
1 4
) ( 3 2
1 4 4
1 1
; 4
1
1
2 2
=
−
≥
−
+
=
−
+
− +
≥
⇒
≥
+ + +
≥
+
+
+
b a b
a b a A b
a a
b a
b
b
a
Min A = 1 khi a = b = 1
Từ bài toán trên ta ma ̣nh da ̣n đề xuất bài toán tổng quát:
Bài toán 1: (Tổng quát bài toán gốc)
Cho a, b, c là các số dương có tích bằng 1 Chứng minh rằng:
.
*
; 1 1
+
+
b b
(1)
Lời giải:
1 1
1 2 1
1 1
1 1
1 1
1 1
+
+ +
−
≥
+
+ +
− +
+ + +
+
= +
+ +
=
a
a a
b a a
b b
a a
b b
a A
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1
+ Với n ≥ 2 Áp du ̣ng bất đẳng thức Cô-si cho n số dương ta được:
1 2
3 2 4
2 ).
1
2
(
2
3 2 4
) )(
1 2 ( 2
) 2 ( 2 2
1 4 2
) (
2 2
1
2
1 4
1 1
; 2 2
1
2
1 4
1
1
=
−
−
−
≥
⇒
−
− +
−
=
−
−
− +
− +
≥
⇒
≥ + + + + + +
≥ + + +
+
+
+
n n
A
n b a n n
b a b
a
n
A
nb a
a
b na b
b
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1
* Chú ý ta có kết quả ma ̣nh hơn: Cho a, b là các số dương thỏa ab ≥ 1 Chứng minh rằng:
2
*,
; 1 1
+
+
b
b
(1*)
Có thể mở rô ̣ng bài toán gốc trên kia cho 3 số ha ̣ng là a, b, c được không? Ta tiếp tu ̣c xét bài toán mở rô ̣ng:
Bài toán 2: Cho a, b, c là các số dương thỏa abc ≥ 1 Chứng minh rằng:
2
3 1 1 1
2 2 2
≥ +
+ +
+
c c
b b
Lời giải:
Cho ̣n biểu thức phu ̣ là ; 41
4
+ b a
4
1
;c+
và áp du ̣ng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta đươ ̣c:
Trang 23 4
3 4
3 3 4
3 4
) (
3 4
3 4
4
1 1
; 4
1 1
; 4
1
1
2 2
2
=
−
≥
− + +
=
− + +
− +
+
≥
⇒
≥
+ + +
≥
+ + +
≥
+
+
+
c b a c
b a c b
a
A
c
a a
c b
c c
b a
b
b
a
(doa+b+c≥ 3)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Tổng quát bài toán 2 ta có bài toán sau:
Bài toán 3: (Tổng quát bài toán 2)
Cho a, b, c là các số dương thỏa abc ≥ 1 Chứng minh rằng:
2 ,
; 2
3 1 1
+
+ +
+
c c
b b
(2)
Lời giải:
Áp du ̣ng bất đẳng thức Cô-si cho n số dương ta được:
2
3 2
) 2 ( 3 4
3 4
3 ).
1
2
(
2
) 2 ( 3 4
3 4
) )(
1 2 ( 2
) 2 ( 3 4
3 4
2
) (
2 2
1
2
1 4
1 1
; 2 2
1
2
1 4
1 1
; 2 2
1
2
1 4
1
1
=
−
−
−
−
≥
⇒
−
−
− + +
−
=
−
−
− + +
− + +
≥
⇒
≥ + + + + + +
≥ + + + + + +
≥ + + +
+
+
+
n n
A
n c
b a n n
c b a c b
a
n
A
nc a
a
c nb c
c
b na b
b
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Nhâ ̣n xét thấy nếu thay số 1 ở "bài toán 2" bởi a, b, c thì kết quả vẫn không thay đổi
Vâ ̣y ta có bài toán sau:
Bài toán 4: Cho a, b, c là các số dương thỏa abc ≥ 1 Chứng minh rằng:
2
3 2 2 2
≥ +
+ +
+
c a c
b c b
a
.
Ta chứng minh hoàn toàn tương tự với viê ̣c cho ̣n biểu thức phu ̣ là ; 4
4
a c c
4
;a+b
và áp du ̣ng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương Theo lời giải của "bài toán 3" ta có bài toán tổng quát cho bài toán 4 như sau:
Bài toán 5: (Tổng quát bài toán 4)
Cho a, b, c là các số dương thỏa abc ≥ 1 Chứng minh rằng:
*
; 2
3
Ν
∈
≥ +
+ +
+
c a c
b c b
(3 )
* Chú ý: Trong trường hợp n = 1 thì (3) là trường hợp đă ̣c biê ̣t của bất đẳng thức Nasơbit
Bài toán 6: Cho a, b, c là các số dương thỏa abc ≥ 1 Chứng minh rằng:
3 3 2 3 2 3 2
≥ +
+ + +
+ + +
+
b a
a c a c
c b c b
b
Lời giải:
Đă ̣t A =b a c c b a+a c+b
+
+ +
2 2 2
; B =
b a
a a c
c c b
b
+
+ +
+ +
3 3 3
Áp du ̣ng lời giải ở "bài toán 4" với viê ̣c cho ̣n biểu thức phu ̣ tương tự ta được:
3 2
3
;
2
A Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Theo cách giải ở "bài toán 3" ta cũng có bài toán tổng quát cho bài toán 6
Bài toán 7: (Tổng quát bài toán 6)
Trang 3Cho a, b, c là các số dương thỏa abc ≥ 1 Chứng minh rằng:
*
; 3
1 1
1
Ν
∈
≥ +
+ + +
+ + +
n b
a
a c a c
c b c b
b
(4)
Bài toán 8: (Olympic Toán Quốc Tế)
Cho a, b, c là các số dương có tích bằng 1 Chứng minh rằng:
2
3 ) (
1 )
(
1 )
(
1
3 3
+
+ +
+ +c b c a c a b b
a
Lời giải:
Cho ̣n biểu thức phu ̣ là ; ( 4 )
4
) (b c b c a
4
) (
;c a+b
và áp du ̣ng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta đươ ̣c:
2
3 2
3 2
2 2
1 1
1
.
1 4
) ( ) (
1
;
1 4
) ( ) (
1
;
1 4
) (
)
(
1
3 2 2 2
3 3
3
=
≥ + +
= + +
− + +
= + +
−
+ +
≥
⇒
≥ + + +
≥ + + +
≥ + +
+
c b a ca bc ab ca bc ab abc
ca bc ab ca bc ab c b
a
VT
c
b a c b a c b
a c b a c b a
c b
a
c
b
a
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Vấn đề hơ ̣p logic tiếp theo là ta có thể khái quát bất đẳng thức trên kia được không? Câu trả lời là được Xin phát biểu và chứng minh công thức tổng quát hơn như sau
Bài toán 9: (Tổng quát bài toán 8)
Cho a, b, c là các số dương có tích bằng 1 Chứng minh rằng:
3 ,
; 2
3 ) (
1 )
(
1 ) (
1
≥ Ν
∈
≥ +
+ +
+
b
Lời giải:
Áp du ̣ng bất đẳng thức Cô-si cho n - 1 số dương ta được:
2
3 4
) ( 2
1 )
(
1 2
1 2
1
2
1 4
) (
)
(
+
⇒
−
≥ + + + + +
+
n c b a a
n c b a a
n c
b a
c
b
2
3 4
) ( 2
1 )
(
+
n a c b b
n a c
b n
.
2
3 4
) ( 2
1 )
(
+
n b a c c
n b a
2
) 3 ( 3
2
2 2
) 3 (
3
2
1 1 1 1 2
+ +
−
c b a
n
VT
2
3 2
) 3 ( 3 2
) 2 (
3
=
−
−
−
VT (doab+bc+ca≥3)Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 Từ lời giải ở hai bài tâ ̣p 8 và bài tâ ̣p 9 ta đề xuất bài tâ ̣p tương tự sau
Bài toán 10: Cho a, b, c là các số dương có tích bằng 1 Chứng minh rằng:
2
9 1 1 1 ) ( ) ( ) (
2 2
2
≥ + + + +
+ +
+
c a
b c
b c
a b a
Lời giải:
b c a
c a
b c
b c
a b
a
+
+ +
+ +
=
) ( ) ( ) (
2 2
2
Cho ̣n biểu thức phu ̣ là ; ( 4 )
4
) (a c c b a
4
) (
;a c+b
và áp du ̣ng BĐT Cô-si cho hai số dương ta đươ ̣c:
Trang 4c b a ca bc ab b c a
c a
b c
b c
a
b
a
c b c a b c a
c b a b c a b c
b a c a
b
c
a
b
a
+ +
≥ + + + +
+ +
+
+
⇒
≥ + + +
≥ + + +
≥ + +
+
2 )
( ) ( )
(
4
) ( ) (
; 4
) ( ) (
; 4
) (
)
(
2 2
2
2 2
2
2
9 2
3 3
2 + ≥ + =
+ +
+
+
≥a b c ab bc ca
VT
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Áp du ̣ng phương pháp trên hãy giải các bài tâ ̣p sau:
Bài toán 11: Cho a, b, c là các số dương thỏa abc ≥ 1 Chứng minh rằng:
2 ,
; 1 1 1
+ +
+ + +
+ +
c a
c
b c
b
(6)
Bài toán 12: Cho a, b, c là các số dương có tích bằng 1 Chứng minh rằng:
2 ,
; 2
9 1 1 1 ) ( ) ( )
+
+ +
+
c a
b c
b c
a b
(7)
Bài toán 13: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa abc ≥ 1 Chứng
minh rằng:
3 3 3
3
≥
− +
+
− +
+
−
c b a c
b a c b
a
Bài toán 14: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa abc ≥ 1 Chứng
minh rằng:
2 ,
;
3 ∈ Ν ≥
≥
− +
+
− +
+
−
c b a c
b a c b
(8) Các bất đẳng thứ (8) đã được phát hiê ̣n trong quá trình tìm hiểu lời giải của bài toán gốc Hi vo ̣ng ba ̣n đo ̣c có những bất đẳng thức khác mà tôi chưa tìm ra
Bài 1(66) Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho (6 12 n + 2008 2009?)M
Lời giải:
Giả sử tồn tại n ∈ Ζ + thỏa mãn: (6 12 n + 2008 2009)M
Do 2009 41M nên suy ra(6 12 n + 2008 41)M Mà 2008 ≡ − 1(mod 41) nên 612n ≡ 1(mod 41) (1).
Mặt khác (6, 41) = 1 và 41 là số nguyên tố nên theo Định lí nhỏ Fermat ta có 640 ≡ 1(mod 41) (2).
Từ (1) và (2) suy ra 12n = 40.k ; k ∈ Ν * ⇒ 12 5nM Điều này không xảy ra với mọi số nguyên dương n Vậy không tồn tại số nguyên dương n thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 2(66) Giải phương trình (x 2 − ) ( 2x 3 + + 2x 2 − ) = 2x 1 − (1).
Lời giải:
Điều kiện: x ≥ 1.
Do x ≥ 1 nên 2x – 1 > 0, suy ra x > 2.
PT (1) ⇔(x 2 − ) ( 2x 3 + + 2x 2 2 − − =) 3 (2).
+ Với 2 < x < 3 ta có:
0 x 2 1
< − <
+ − < + + − − <
+ Với x = 3 thỏa mãn PT (2).
+ Với x > 3 ta có:
Trang 5x 2 1
2x 3 2x 2 2 3
− >
⇒(x 2 − ) ( 2x 3 + + 2x 2 2 − − >) 3 PT (2) vô nghiệm.
Tóm lại PT (1) có nghiệm duy nhất x = 3.
Bài 3(66) Giải phương trình 4x 4 + + x 2 3x 4 3 16x 12x + = 3 3 + (1).
Lời giải:
Điều kiện: x ≥ 0.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho ba số không âm ta được:
3
3 2.2.(4x 3x) 4x 3x 4 + ≤ + + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4x 3 + 3x = 2 (*).
4x − 4x + x ≤ ⇒ 0 x 2x 1 − ≤ 0
x 0
x 2
=
=
Kết hợp với (*) ta được x = 1
2 ( thỏa mãn PT (1)).
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 1
2.
Bài 6(66) Lời giải:
A
IOI = 90 (gt) nên 5 điểm B, I, O, C, I A cùng nằm trên đường tròn đường kính II A Từ
đó Từ đó có:
BOC BI C 180 + = ⇒ 2A BI C 180 + = (1).
A BIC BI C 180 90 BI C 180 A 2BI C 180
2
A
A BI C 60 = = Vậy ·BAC 60 = 0
IA
A