Chuyên đề III phương trình, bất pt, hệ pt

---*Lời dặn: Để học tốt chuyên đề này học sinh cần nắm vững các phép biến đổi tương đương các phương trình, bất phương trình chứa căn ở dạng cơ bản, làm nhiều bài tập để nhận dạng nhanh

2) Định lý về dấu của tam thức bậc hai:Xét tam thức bậc hai: f x ( ) = ax2+ + bx c a ( ≠ 0).

Miền xác định: D R = Để xét dấu f(x) trên R ta dùng định lý sau:

• ∆ < ⇔ 0 f x ( )cùng dấu với a ( tức a.f(x) > 0) với ∀ ∈ x R

• ∆ = ⇔ 0 f x ( )cùng dấu với a ( tức a.f(x) > 0) với

2

b x a

∀ ≠ −

• ∆ > ⇔ 0 Trong trái ; ngoài cùng

Lưu ý: Hai trường hợp đầu ghi gộp lại là: ∆ ≤ ⇔ 0 a f x ( ) 0 ; ≥ ∀ ∈ x R

- Cách dùng sơ đồ Hóc-ne để phân tích 1 đa thức có nghiệm thành tích:

Ví dụ: Đa thức f x ( ) 2 = x3− 5 x2+ 3 có nghiệm x0 = 1 nên nó được phân tích thành tích dạng:

-Vậy f x ( ) ( = − x 1)(2 x2− 3 x − 3)

Chú ý: Có thể dùng sơ đồ Hóc-ne cho đa thức bậc n tuỳ ý ( n Z ∈ +)

- Đối với phương trình trùng phương : ax4+ bx2+ = c 0 ( a ≠ 0) (1) ta đặt t = x2 ≥ 0 cóphương trình bậc hai at2 + + = bt c 0 (2) Từ đó dựa vào phương trình (2) để giải và biện luậnphương trình(1)

- Đối với phương trình phản thương ax4+ bx2+ ± + = cx bx a 0 ( a ≠ 0) (1) ta chia 2 vếcho x2 ≠ 0 rồi đặt ẩn phụ để giải

B) PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

Bài1:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x2+mx+ =1 0(1) có hai nghiệm phânbiệt x x1; 2 thoả:

a)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (1) có nghiệm ** 5 − ≤ ≤ − m 1

b) Khi pt (1) có 2 nghiệm x1& x2 Tìm maxA với A = x x1 2− 2( x1+ x2) ** maxA=9/2

Bài3 : Cho pt bậc 3: x3− 3 x2+ 3 mx + 3 m + = 4 0(1)

a) Phương trình (1) có 1 nghiệm không phụ thuộc m, hãy tìm nghiệm đó

b) m ? để phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt ** -4/3<m<0

Bài4 : Cho đa thức f x ( ) = a x 2+ + bx c (a;b;c có thể chứa tham số)

1) Tìm điều kiện của a và ∆ để:

1 log + x + ≥ 1 log mx + 4 x m + thoả mãn với mọi x thuộc R

c) Đồ thị hàm số : y = x3− 3 m x2+ + x 1có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đường thẳng x=1

Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN.

-*Lời dặn: Để học tốt chuyên đề này học sinh cần nắm vững các phép biến đổi tương đương các

phương trình, bất phương trình chứa căn ở dạng cơ bản, làm nhiều bài tập để nhận dạng nhanh mộtbài toán, nắm vững cách giải từng dạng

A)LÝ THUYẾT: Các phép biến đổi tương đương các pt, bpt cơ bản:

* Phương trình có nhiều căn bậc hai: Đặt điều kiện cho mỗi căn có nghĩa, biến đổi để hai

vế không âm, bình phương hai vế Nếu bình phương mà chưa đảm bảo điều kiện 2 vế không

âm thì tìm nghiệm xong phải thử lại

* 3 A +3 B =3C: Lập phương 2 vế, không có điều kiện

*

2

0 0

B A

B A

đó bước biến đổi để xuất hiện dạng cơ bản

-Thường xuyên lưu ý đã có vế nào ≥ 0 ( hay ≤ 0)chưa để việc biến đổi cũng như đặt điều kiệnbớt phức tạp

-Khi nâng hai vế của một phương trình hay một bất phương trình lên bậc chẵn cần kiểm tra xem 2

vế đã không âm chưa Nếu chưa cần đặt điều kiện để hai vế không âm, nếu không đảm bảo 2 vếkhông âm mà bình phương thì tìm nghiệm xong phải thử lại

-Gặp các bài có chứa nhóm A ± B ; A ± B ; ta thường nhân với lượng liên hiệp tươngứng là A m B ; A m B ;

-Gặp những bài không biến đổi đưa về dạng cơ bản được ta thường dùng phương pháp đặt ẩn phụ,biến đổi thành tích, thành tổng các bình phương, đánh giá hai vế, dùng tính đơn điệu của hàm số,…-Khi giải pt, bpt học sinh thường gặp các sai lầm:

+ Ước lược nhân tử chung ở 2 vế : A B A C = ⇔ = B C(Sai ở chỗ thiếu trường hợp

0

A = ); A B > A C ⇔ > B C(Sai ở chỗ không phân biệt 2 trường hợp A > 0, A < 0)

+ Nhân chéo:A C A B C

-B > ⇔ > (Sai ở chỗ không phân biệt 2 trường hợp

+Vân vân …

B)PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

LOẠI 1: CÓ SẴN DẠNG CƠ BẢN HOẶC BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ DẠNG CƠ BẢN

Bài1: Giải các pt, bpt sau:

3

x = b) 2 x − + − + = 1 x2 3 x 1 0( D − 2006) *x = 1

1 1

LOẠI 2: BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH.

Lưu ý: Với điều kiện A, B có nghĩa, ta có:

0 0

A B

A B

A B

Tương tự cho trường hợp A B < 0; A B ≤ 0

Để đưa về dạng tích ta thường gặp các trường hợp sau:

1) Đặt thừa số chung, chú ý sử dụng các hằng đẳng thức để đưa về dạng tích

Bài2: Giải các pt, bpt sau:

• Dạng: Nhân với lượng liên hiệp để đưa về dạng tích.

Bài8 : Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) 2 x − − 1 x + > − 2 x 2 * 7 4 2 − < < x 2.*b)

n) 3 x2− 5 x + − 1 x2− = 2 3( x2− − − x 1) x2− + 3 x 4 * x = 2

LOẠI 3: ĐẬT ẨN PHỤ

• Dang 1: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình, bpt 1 ẩn.

Bài9: Giải các phương trình, bất phương trình sau:

LOẠI 4: TRONG CĂN BẬC HAI CÓ DẠNG BÌNH PHƯƠNG, SỬ DỤNG A2 = A

Bài 13: Giải các phương trình, bất phương trình sau:

5

x = −

LOẠI 7: NHỮNG BÀI TOÁN CÓ THAM SỐ.

-a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x2− 2 mx + = − 1 m 2 có nghiệmb)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình:mx − x − ≤ − 3 m 1 có nghiệm.c)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình: 2 x2+ mx − = + 3 x 1 có hai nghiệm phân biệt

d)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình: 2 x2− mx − x2− = 4 0 có nghiệm

A

( x + 1) + ≤ m x x + + 2 4 (1) (K 2002).

- Giải khi m=1 **0 ≤ ≤ x 2 1 −

-Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bpt (1) thoả với ∀ ∈ x [ ] 0;1 * m ≤ 3.

f) Ch/m pt:x2+ 2 x − = 8 m x ( − 2) luôn có 2 nghiệm thực phân biệt với mọi giá trị dương của tham số m (KB2007)

g) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm:

h) m? có nghiệm: m ( 1 + x2 − 1 − x2 + = 2) 2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2

* 2 1 − ≤ ≤ m 1

C) BÀI TẬP TỰ LUYỆN CÓ HƯỚNG DẪN HOẶC ĐÁP SỐ:

Bài1:Giải các phương trình, bất phương trình sau:

x x

≤ −



 ≥



⇔ 1 − + − − = x x 2 2 ( ) − x đơn giản 2 vế cho − > x 0

( chú ý : a ≤ 0; b ≤ ⇒ 0 ab = − a − b ) giải bpt này ta được x = 9/8(loại)

x x

2 2

-PHƯƠNG TRÌNH, BẤT -PHƯƠNG TRÌNH MŨ& LOGARIT

A)Lý thuyết :

− = 7)n aM = aM n 8)a0 = 1; a1= aII)Hàm số mũ:

*LOGARIT: Nhắc lại: loga Nchỉ có nghĩa khi 0 < ≠ a 1

1) Công thức logarit Với điều kiện 2 vế đều có nghĩa, ta có :

3)loga M logaM loga N

B)PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

Dạng1: Có sẵn dạng cơ bản hoặc biến đổi đưa về dạng cơ bản:

a x a

1 1

3 3

2 3 1

2

x x x

=c)( 7 3 5 + )x− 16 7 3 5 ( − )x = 8.2x * 7 3 5

l) log (2 ) 2 log 6 2 log (4 2 2)

Dạng 4: Sử dụng tính đơn điệu, đánh giá:

Bài6: Giải các phương trình, bất phương trình sau:

Dạng 5: Những bài toán có tham số:

Bài7:Cho phương trình log23x + log23 x + − 1 2 m − = 1 0(1)

ĐK: x > 0

log (1 log ) 2 log )

4 3

c) ( x − 1) log 3 log (5 + 5 xx+1+ = 3) log (11.35 x− 9).

d)log (4 x + 1)2+ = 2 log 2 4 − + x log (48 + x )3

(1) có nghiệm ⇔ (2)có nghiệm t > ⇔ ≤ 0 m m axg t ( ) = − ⇒ 1 chọnm ≤ − 1.

Bài4: Tìm a để bpt: log x a + > log x (1) có nghiệm

-•

I) Hệ có chứa phương trình bậc nhất:

2) Cách giải: Thường dùng phương pháp thế: Từ (1) rút 1 biến theo biến

còn lại, thay vào (2) có phương trình (*), từ đó giải tìm được x;y.

Chú í: Số nghiệm của pt (*) bằng số nghiệm của hệ.

 trong đó khi hoán vị x; y thì từng phương trình của

hệ không thay đổi.

2)Cách giải:

- Đặt S = + x y P x y ; = ⇒ hệ 2 ẩn S; P; giải hệ tìm S; P (chỉ chọn cặp S P thỏa 2

2 2

- Khi x ≠ 0 , đặt y = tx, thay vào hệ, chia 2 phương trình (vế theo vế), ta có

pt ẩn k, giải tìm k, có k thay vào (1) hoặc (2) ⇒ x, y.

3)Bài tập:

Bài7: Giải hệ:

Bài 10: Tùy theo m tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1

P = mx y + + + + x

VI)Hệ có chứa mũ, logarit, căn:

1)Dạng: Là những hệ có ít nhất một phương trình có chứa mũ hoặc logarit.

2)Cách giải: Thường biến đổi để tìm mối quan hệ trực tiếp giữa x&y, thay

vào pt còn lại, có hệ 2 ẩn không còn chứa mũ, logarit.

3)Bài tập:

Bài11: Giải các hệ phương trình sau:

VIII) Hệ sử dụng phương pháp “ Sống chung với lũ”:

XII) Hệ biến đổi để có một phương trình đồng bậc:

XIII) Hệ dùng phương pháp đánh giá:

2 2

3

2 2

IX) Các dạng hệ khác: Tùy theo đặc điểm của từng hệ, phương pháp

thường dùng là biến đổi để đặt ẩn phụ, đưa về dạng tích, dùng tính đơn điệu, bất đẳng thức để đánh giá, …

Bài 8:

a)

2 2

Điều kiện cần

Đồ thị

Đánh giá, c/m VN

Đơn điệu

Có 1 pt bậc nhất

ẩn phụ

Hệ mũ, log, căn,

-l)

2

3 2

− = 7)n aM = aM n 8)a0 = 1; a1= aII)Hàm số mũ: -Dạng: y a = x(0 < < a 1) -Mxđ:D R = ; Mgt: T = (0; +∞ )

*LOGARIT: Nhắc lại: loga Nchỉ có nghĩa khi 0 < ≠ a 1

1) Công thức logarit Với điều kiện 2 vế đều có nghĩa, ta có :

3)loga M logaM loga N

Các bpt có dấu ≥hoặc các dạng ngược lại cũng dựa vào a > 1hoặc 0 < < a 1để xét

B)PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

Dạng1: Có sẵn dạng cơ bản hoặc biến đổi đưa về dạng cơ bản:

Bài1:Tìm miền xác định của hàm số: 2 1 1

a x a

3 3

2 3 1

2

x x x

=c)( 7 3 5 + )x− 16 7 3 5 ( − )x = 8.2x * 7 3 5

2

Dạng 4: Sử dụng tính đơn điệu, đánh giá:

Bài6: Giải các phương trình, bất phương trình sau:

Dạng 5: Sử dụng phương pháp logarit hóa.

Bài 7: Giải các phương trình, bất phương trnhf sau:

a)

Dạng 6: Những bài toán có tham số:

Bài7:Cho phương trình log23x + log23 x + − 1 2 m − = 1 0(1)( KA− 2002)

có 2 nghiệm x1& x2thỏa x1 < < 1 x2< 2 *− < < 2 m 0

Bài11:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình:

(e)⇔ − log(2x− 1) log 2(22 x− > − ⇔ 1) 2 log (22 x− 1) 1 log (2   + 2 x− 1)   < 2

t = − ⇒ t t + < ⇔ − < < t hay

log (1 log ) 2 log )

4 3

− − + − = (g) : Cách giải giống như bài 3đ.Đáp số x = 1

h) log (3 x − + − ≤ 1) x 5 0(h) Đặt f(x)=VT (h) thì f liên tục và tăng lên (1; +∞ ) có

Hướng dẫn:

a) Chia 2 vế cho 9x; đặt ẩn phụ : t = (5 / 3) x

(1) có nghiệm ⇔ (2)có nghiệm t > ⇔ ≤ 0 m m axg t ( ) = − ⇒ 1 chọnm ≤ − 1.

Bài4: Tìm a để bpt: log2x a + > log2x (1) có nghiệm