Chuyên đề 4

B Phương pháp giải toán: Bài23: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:... Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số cắt hai trục toạ độ Ox; Oy tại 2 điểm phân biệt A&B sao cho

-Chuyên đề 4: Hàm số và các vấn đề liên quan

• Vấn đề 1: Tính đơn điệu của hàm số

A) Tóm tắt lý thuyết: f có đạo hàm trên (a;b)

- f đơn điệu trên (a;b) và liên tục trên đoạn [ ]a b; hoặc các nữa khoảng

[a b; ) ; (a b; ] thì f đơn điệu trên các tập tương ứng

- f , g liên tục & đơn điệu ngược nhau ( hoặc1hàm đơn điệu, 1 hàm hằng)trên K mà phương trình f(x)=g(x) có nghiệm trên K thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất trên K

- f liên tục trên [ ]a b; , có f a f b( ) ( ) 0 < thì pt f x( ) 0 = có ít nhất một

nghiệm thuộc khoảng ( )a b;

- f đơn điệu trên K thì với ∀u v K; ∈ :

B) Phương pháp giải toán:

Bài1: Tìm các khoàng đơn điệu của mỗi hàm số sau:

1 )

1

i y x

dat cuc tri tai x

'( ) 0 '( )

B) Phương pháp giải toán:

Bài 6 : Tìm cực trị của mỗi hàm số sau:

Bài 10:Tìm a; b để các cực trị của hàm số 5 2 3 2 2

cực đại và cực tiểu và khoảng cách giữa 2 điểm đó bằng 20

Bài14:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số:

( Không cần lập BBT).

- Cách2: Đánh giá

( thường dùngsinu ≤ 1;cosu ≤ 1;A2 ≥ 0;Cauchy Bunhia, ; )

- Cách3: Dùng điều kiện phương trình có nghiệm như sau:

y thuộc MGT của hàm số  pt ẩn x: f(x) = y có nghiệm thuộc D Từ đótìm được điều kiện của y, suy ra ymax , ymin

B) Phương pháp giải toán:

Bài17:( Nhiều biến)

-a) Tìm gtnn của M =x3 +y3 +xy với x+y =1.

d) Tìm gtnn của P= +x 2y+ + 1 2x my+ − 1theo tham số m.

Bài 18:( Dùng đk để phương trình có nghiệm)

d) Cho tam giác nhọn ABC Tìm gtnn của P= tan tan tanA B C

e) Cho x2 + 4y2 = 1 Tìm GTLN & GTNN của A= −x y

Bài20: ( Các bài toán thực tế)

a) Trong tất cả các hình chữ nhật nội tiếp trong hình tròn bán kính R, hỏi hcn có kích thước thế nào thì diện tích của nó nhỏ nhất?

b) Một tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng 2cm; chiều dài 4cm

Cắt bỏ 4 góc 4 hình vuông bằng nhau để gấp lại thành một cái hộp khôngnắp Tìm cạnh hình vuông bị cắt để thể tích cái hộp lớn nhất

c) Cho tam giác đều ABC cạnh a; dựng hình chữ nhật MNPQ có M; N trên cạnh BC, P&Q lần lượt nằm trên cạnh AC&AB Xác định vị trí của điểm M để cho diện tích hcn MNPQ lớn nhất

d) Trong tất cả các hình trụ nội tiếp trong hình cầu bán kính R; hỏi hình trụ có kích thước thế nào thì thể tích của nó lớn nhất?

e) Cho khối chóp S.ABCD có SA= x; các cạnh còn lại đều có độ dài bằng 1 Tính VS.ABCD theo x, xác định điều kiện của x để bài toán có nghĩa Định x để VS.ABCD lớn nhất.

-f) Định m để đường thẳng d: y = mx+m cắt đường tròn (C):

(x− 2) + + (y 1) = 1 tại 2 điểm phân biệt A&B sao cho diện tích của tam giác IAB lớn nhất, với I là tâm của đương tròn

g) Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính R

- Chứng minh thể tích của khối chóp là:

2 2

R x V

- Đường thẳng d có phương trình x x= 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm

số y= f x( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả:

- Đường thẳng d có phương trình y= y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm

số y= f x( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả:

- Đường thẳng d có phương trình y ax b a= + ( ≠ 0) là tiệm cận xiên của đồ

thị hàm số y= f x( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả:

Chú ý:- TCN là trường hợp đặc biệt của TCX khi a= 0, nên khi x→ +∞

hoặc x→ −∞mà đồ thị có TCX thì không có TCN & ngược lại.

-Nếu hàm phân thức có bậc tử lớn hơn bậc mẫu một đơn vị thì thực hiện phép chia tứ cho mẫu để tìm tiệm cận xiên

B) Phương pháp giải toán:

Bài23: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:

1

x

d y x

1 )

+

= + sao cho tổng

=

− Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị

hàm số cắt hai trục toạ độ Ox; Oy tại 2 điểm phân biệt A&B sao cho diệntích tam giác OAB bằng 8 (đvdt )

Bài28: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) của hàm số

- Chiều biến thiên: Tính y’; tìm nghiệm của y’(nếu có); xét dấu y’ để suy

ra các khoảng đơn điệu của hàm số

B) Phương pháp giải toán:

-Bài29: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

x

h y x

+

= +

2 3 3 )

)

1

x

m y x

=

−

• Vấn đề 6: Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

Baì toán 1: Tìm điểm cố định của họ đường cong.

A) Tóm tắt lý thuyết:

Cho họ đường cong (C m)có phương trình: y= f x m( ; ) (1).

Điểm cố định của họ đường cong (C m)là điểm trong mặt phẳng mà mọi đường cong (C m) đều đi qua Để tìm điểm cố định (nếu có) ta làm như sau:

- Từ pt (1), lấy m làm thừa số chung, ta có (1)A m B + = 0.

- Điểm cố định là điểm có toạ độ thoả hệ:  =B A=00 Giải hệ ta tìm được điểm cố định của họ (C m)

B) Phương pháp giải toán:

Bài30:Tìm điểm cố định của họ đường thẳng (dm): mx y m+ + − = 1 0

Bài31: Cho họ đường cong:(C m) :y=x3 − 3mx2 + 3x+ 3m− 4

Chứng minh mọi đường cong của họ đều đi qua một điểm cố định trên

Ox, từ đó tìm điều kiện của tham số m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

− đều đi qua 2

điểm cố định A; B và khi có thêm điều kiện m≠ 0thì tích các hệ số góc của các tiếp tuyến tại A&B là một hằng số

 nên ( )C2 được suy ra từ ( )C như sau:

.Giữ nguyên phần đồ thị của (C) ở trên Ox

.Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) nằm phía dưới Ox qua Ox

- Vì y= f x( ) là hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung Khi x≥ 0

thì y= f x( ) = f x( ) tức là ở bên phải trục tung đồ thị ( )C3 trùng với đồ thị (C) Từ đó lấy đối xứng phần đồ thị của (C3) ở bên phải trục tung qua trục tung ta có toàn bộ đồ thị (C3)

B) Phương pháp giải toán:

a)Vẽ đồ thị ( )C của hàm số: y 2x 11

B) Phương pháp giải toán:

Bài39: Bìện luận theo tham số msố điểm chung của đường thẳng

b) Chọn m để pt x4 − 2x2 − = 3 mcó 6 nghiệm phân biệt.

b)Biện luận theo tham số h số no thuộc khoảng ( − π π ; )của phương trình

cos2t +2 (1-h) cost + 3- 2h = 0

Bài 40:Bluận theo m số no pt: x2 − + =x 4 m x − 1

Baì toán 4: Sự tiếp xúc giữa hai đồ thị

A) Tóm tắt lý thuyết: Cho y= f x C( ) ( ) &y=g x C( ) ( ').

- ( ) & ( ')C C tiếp xúc nhau tại M x y0 ( ; ) 0 0  x0là nghiệm của hệ:

B) Phương pháp giải toán:

Baì 41:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để parabol ( ) :P y=x2 +m

tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số y=x4 − 2x2 − 3

Baì 42: m? (d m) y m x= ( − 3) tiếp xúc với ( ) : y 1 3 3

3

Baì 43: m? (Cm): y=x3 − 3x2 + 3mx+ 3m+ 4 tiếp xúc với Ox

Baì 44: CMR với ∀ ∈m Rthì tiệm cận xiên ( hay ngang) của họ (Cm)

− luôn tiếp xúc với một parabol cố định Tìm

phương trình của parabol đó

Baì 45: CMR mọi đường cong của họ (Cm): y=x3 − 3mx2 + +x 1 đều tiếp xúc nhau tại một điểm Tìm phương trình tiếp tuyến chung của chúng

-Baì toán 5: Viết pttt với đồ thị (C) của hàm số y=f(x)

A) Tóm tắt lý thuyết: Cần phân biệt 2 trường hợp:

- TH1: Viết pttt với (C) tại điểm M x y0 ( 0; 0 ) ( ) ∈ C .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Viết pttt với (C ) tại điểm uốn.Tìm giao điểm của tt này với Oy

c) Viết pt các tiếp tuyến của (C ) biết tt qua A(0;4)

d) Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó kẻ được đến (C) đúng 3 tiếp tuyến

Bài 47: Tìm trên đt y= 2 những điểm mà từ đó kẻ được đến đồ thị (C)

-của hàm số y=x3 − 3x2 + 2 hai tiếp tuyến vuông góc

Bài 48: Cho hàm số y= − (x 1) ( 2 x+ 1) (C) 2 và parabol (P): y= 2x2 +b.Tìm b

để hai đường cong trên tiếp xúc nhau Viết pttt chung tại tiếp điểm.Bài 49: Cho y x2 1 ( )C

a) Viết pttt (d) tại điểm M0 có hoành độ x0 bất kỳ nằm trên (C)

b) Tiếp tuyến (d) cắt hai tiệm cận tại A&B Chứng minh M0 là trung điểm của đoạn thẳng AB

g) Tìm tất cả những điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được đến (C) đúng 3 tt’(2tt’ 1tt’) * Gọi m là tung độ điểm cần tìm, ta có kết quả:

h, Tìm trên đt y = - 1 những điểm mà từ đó kẻ được đến (C) đúng 3 tt’(2tt’

1tt’) * Gọi m là tung độ điểm cần tìm, ta có kết quả:

1 1

5

5 3

3

m m

k) Xét điểm M0 có hoành độ x0 thuộc (C)

+Tiếp tuyến với (C) tại M0cắt tại (C) tại N.Tìm toạ độ của N theo x0

a, ( ) ∆ qua A (-1;-1) & có h/s góc k.Bluận theo k số điểm chung của ( ) ∆

& (C) *0 < ≠k 9 : 3diem chung k; = 9 : 2diem chung k; < 0 :1diem chung.

b, k? ( ) ∆ cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A (-1;-1);B;C sao cho:

+Các tt’tại B&C vuông góc nhau * 6 35

3

+BC= 2 * k=1

c m? (Cm): y = x3-2x2-2mx+5-m cắt(C) tại 2 điểm phân biệt

+ Nằm về bên phải oy *1 < <m 2

(1 + 1 −m m;6 + + 2 2(m− 1) 1 −m)

b m? hàm số:

+Đạt CĐ tại x = 1 *m= − 3.

+Đạt CT tại x = 2 *m= 0. c m?h/số có cực trị thoả

+2 điểm cực trị nằm về 2 phía Oy *m< 0.

+ 2điểm cực trị nằm về 1 phía Oy *0 < <m 1.

+2 điểm cực trị nằm về 2 phía của đ/t x = 1 *m< 1.

+2 điểm cực trị nằm về 2 phía trục Ox(tức Cm cắt ox tại 3 điểm p/biệt hay pt y = 0 có 3 nghiệm p/biệt ) *− ≠ < 3 m 0.

-+2 điểm cực trị nằm về 2 phía của đ/thẳng x – y = 0 *m< 0.

+ Khoảng cách gữa 2 điểm cực trị = 2 5

+ Tiếp xúc với Ox * m= 0;m= − 3.

+ Có với Ox 3 điểm chung ( 2 đ /chung ,1 đ /chung) *

b.m? để (Cm)

+ Cắt ox tại 3 điểm p/biệt có hoành độ âm

+ Có với Ox đúng 1 điểm & điểm đó có hoành độ dương

+Cắt Ox tai 3 điểm p/biệt có hoành độ lập thành csc

+Cắt đt y = mx+ m tai 3 điểm p/biệt có hoành độ lập thành 1csc

c m? (Cm) cắt đ/thẳng (d) y = 2x + 2 tại 3 điểm p/biệt

M (-1;0) & N;P Sao cho

+ NP = 1

+ Các tt’tại N&Pvuông góc nhau

d m? để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm có hoành độ x = 1vuông góc với đt

x + 6y – 6 = 0

5 Đối xứng

a m? ( Cm) nhận điểm I (1;-4) làm tâm đ/xứng

b m? (Cm) có cặp điểm đối xứng qua gốc toạ độ 0

c m? (Cm) có cặp điểm đối xứng qua I(0;-3)

-c Viết p/t tiếp tuyến với (C)biết tiếp tuyến // đt y = 24x

d m? pt x4 − 2x2 − 1= m có 6 nghiệm p/biệt

e Tìm trên Oy những điểm mà từ đó kẻ được đến (C) đúng 3 tt’

j Bluận theo vị trí của điểm M trên Oy số t/tuyến kẻ được từ M đến (C)

g Bluận theo k số điểm chung của (C)và họ đ/cong(P) : y = kx2 -1Bài 60: Cho họ đường cong (Cm) : y = -x4 + 2mx2 -2m + 1

a Tìm các điểm cố định của họ ( Cm)

b Biện luận theo m số cực trị của họ (Cm)

c Tìm tập hợp các điểm cực đại của (Cm)

d Xác định m sao cho (Cm) cắt Ox tai 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một csc Xác định cặp số cong này

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Các vấn đề về tiếp tuyến

a Viết pt tiếp tuyến tại giao điểm của (C)với Ox

b Viết pt tiếp tuyến // đt 1 10

9

y= x+

c Tìm điều kiện của tham số k đề (C)có 2tiếp tuyến cùng có h/s góc bằng k

d Tìm các tiếp tuyến qua A(0;5)

e Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua giao điểm

2 tiệm cận

f) m? y= 2x +m là tiếp tuyến của (C)

g Tiếp tuyến tại điểm M bất kì thuộc (C) cắt 2 tiệm cận tại

A&B.Chứng minh rằng M là trung điểm của AB và diện tích tam giác IAB không đổi ( I là giao điểm 2 tiệm cận)

h Tìm trên oy tất cả những điểm mà từ đó có thể kẻ được đến (C) đúng 1tiếp tuyến ,2tt’ ; 2 tiếp tuyến vuông góc

3.Sự tương giao

a.Gọi ( ) ∆ là đ/thẳng qua 0(0;0)& có h/s góc k Tìm k để :

-+( ) ∆ cắt (c) tại 2 điểm phân biệt

+( ) ∆ cắt(c) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc 1 nhánh

+( ) ∆ cắt(c) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh khác nhau

+( ) ∆ cắt(c) tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho AB = 10

+( ) ∆ cắt(c) tại 2 điểm phân biệt AB sao cho

+( ) ∆ cắt(c) tại A,B Sao cho O là trung điểm AB

b Gọi (dm) :y = x + m Biệm luận theo m số điểm chung của (dm) & (C) Khi (dm) cắt (C) tại 2 điểm phận biệt M&N Tìm quỉ tích các trung điểm I của MN

c P (-2;3) thuộc (c) Tìm Q thuộc (C) sao cho tam giác OPQvuông tại O

4 Khoảng cách

a Chứng minhtích các k/cách từ 1 điểm M thuộc (C) đến 2 tiệm cận là

1 hàm số

b.Tìm M thuộc (C) có tổng các k/cách đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất (có tổng các k/cách đến 2 tiệm cận 17?

f Tìm 2 điểm thuộc 2 nhánh của (c)sao cho k/cách của chúng là nhỏ nhất

5.Biện luận theo tham số m số nghiệm của p/trình

a.2x+ = 1 m x+ 1 b .2 1

1

x m

Bài 55: Cho h/sốmx m x m+ −11

-+ − ( Hm)

a CMR với m≠ 1, mọi đ/cong (Hm) đều đi qua 1 điểm cố định và tai điểm đó mọi đường cong đều có chung 1 tiếp tuyến

b m? h/s đồng biến trên khoảng (0; +∞)

c Tìm quỉ tích giao điểm I của 2 tiệm cận khi m thay đổi

a Viết p/t tiếp tuyến tại giao điểm của (C)với Oy

b Viết p/t các tiếp tuyến qua A ( 0;-4) Tính góc giữa 2 tiếp tuyến

c Viết p/trình tiếp tuyến //đt 3 1

4

y= x+

d.Viết p/t tiếp tuyến vuông góc tiệm cận xiên

e CM trên (C) có vô số cặp điểm mà tiếp tuyến tại các cặp điểm đó song song nhạu

f m? đt 3

4

y= x m+ là tiếp tuyến của (C)

g Tìm trên oy tất cả những điểm mà từ đó kẻ được đến (c) :

+ Đúng 2 tiếp tuyến ( 1tt’ ; 0tt’ )

+ Được 2tiếp tuyến vuông góc

h.Tiếp tuyến tại điểm M bất kì thuộc (C) cắt 2 tiệm cận tại Avà B CM Mlà trung điểm của AB và d/tích tam giác IAB không đổi ( I là giao điểm 2 tiệm cận )

e Tìm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến Ox gấp 2 lần k/cách

từ M đến Oy

f Tìm trên mỗi nhánh của (C)1 điểm sao cho k/cách giữa 2 điểm đó là

bé nhất

5 Biện luận số nghiệm bằng đồ thị

Biện luận theo m số nghiệm của mỗi p/trình sau:

a Tìm các cặp điểm trên (C) đối xứng qua A(0;-2)

b Tìm các cặp điểm trên (C) đối xứng qua đường thẳng (d):

:y = x – 2

c Gọi (C’)là hình đối xứng của (c)qua đ/thẳng y = 2 Tìm h/số có đồ thị là (C’ )

d CM (C) nhận giao điểm 2 t/c làm tâm đối xứng

e Tìm những điểm trên (c) có toạ độ là những số nguyên

Bài57: Cho họ đường cong (Cm) : 2 1

1.Đơn điệu

a m? h/số đồng biến trên các khoảng xác định

b m? h/số có cực trị đồng thời thoả 1 trong các đ/kiện sau

+ khoảng cách giữa 2 điểm cực trị = -m k/cách từ điểm CĐ đến TCX bằng 2 2

+ 2 điểm cực trị nằm về 2 phía (1phía) so với oy ( với đt

3.Tiệm cận : T/cận xiên là 1 đ/thẳng phụ thuộc h/số m nên có thể gặp các

câu hỏi tương tự như đ/thẳng qua 2 điểm cực trị

4 Tiếp tuyến : Tìm tất cả các giá trị của tham số m để :

a Từ 0(o;o)kẻ được đến (c)đúng 2 tiếp tuyến

b (Cm) cắt ox tại 2 điểm phân biệtA&Bsao cho các tiếp tuyến tại A&Bvuông góc nhau

5 Tương giao Tìm tất cả các giá trị của tham số m để:

a (Cm) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương (âm, cùng dấu…)

b (Cm) & đ/thẳng y = m cắt nhau tại 2 điểm p/biệt A,B sao cho AB = 10

6 Đối xứng: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để trên (Cm) tương xứng có cặp điểm đối xứng quaO (0;0)

-“ Làm biếng thì dễ trở thành khó;

siêng năng thì khó trở thành dễ ” -*** -