CHUYÊN Đề 19: PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

CHUYÊN Đề 19: PHƯƠNG TRÌNH & BAT PHUONG TRINH CHUA CAN THUC I.. CAC KIẾN THỨC CƠ BẢN Người ta hay dùng các phương trình và bất phương trình chứa căn thức cơ bản sau day: Fx > gˆx II..

CHUYÊN Đề 19: PHƯƠNG TRÌNH & BAT PHUONG TRINH

CHUA CAN THUC

I CAC KIẾN THỨC CƠ BẢN

Người ta hay dùng các phương trình và bất phương trình chứa căn thức cơ bản sau day:

F(x) > gˆ(x)

II CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Loại 1 Phương trình và bất phương trình chứa căn thức cơ bản

y+1>0 ys 2 y<= 2

4(y+1)=(2-3y)2 |4y+4=4-12y+9y° ley2-16y=0 y = 26

- Nếu x>2, khi đó vx-1-1>0, vậy: (2) y¥x-14+1+Vk-1-1=204k-1 =l©x=2

- Nếu 1< x< 2, khi đó x—1—1<0, vậy:

| 6/ Xét phương trình: Ÿx+ 1 - Ÿx—1 =Ñx2 —1 (1)

x21 Diéu kién la: x`-1>0©

Way (1)©$ by =— feet as ott - ut -1=0 (2)

Dat y = = — , thì (2) có dạng: nn 0=yˆ -y-1=0oy= 1+ v5 (do y > 0)

&slX+1_1+5 _ x+1 _v6 (ở đây k1 SẼ

Giải các bất phương trình sau:

1/ yx? +3x+3 <2x+1 3/ y¥x+3+ 4x +2 -Y2x+4 >0

Biểu diễn trên trục số ta có: ——⁄⁄⁄⁄⁄⁄⁄⁄⁄⁄⁄⁄⁄⁄⁄2—————>

Lại do xˆ -4x +20 >0 YxR (do A'=4-20<0),nên (3)œx+1<0€©x<-l

3/ Xét bất phương trình y2x+4 -2V2-x > ~2—®& ()

Điêu kiện x>1 Đặt y=72-x ey? =2-xex=2-y"

Khi đó (1) có dạng: y+qi-y? >1ofi-y >1-y (2)

3/ Xét bất phương trinh: yx? ~ 8x + 15 + yx? +2x-15 > ¥4x2 -18x +18 (1)

Ta có: (1) © f(x - 3)(x - 5) + Jj(x- 3)(x + 5) > 2x - 3)(4x—6) (2)

(x-3)(x-5)>0 x<-5 Miền xác định cua (1) la ¢(x-3)(x+5)20 <|x=3

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: x> =

Loại 2 Quy phương trình chứa căn thức về hệ phương trình không chứa căn thức

Bằng cách đặt ẩn phụ, ta quy phương trình chứa căn thức về một hệ phương trình không chứa căn thức Trong chuyên đề "Phương trình và hệ phương trình không chứa căn thức” ta đã đề cập đến một số bài tập thuộc loại này

Ta chí xét thêm vài thí dụ nữa

Thí dụ 2:

Giải phương trình sau: 2(x2 +2) = 5x|x3 +1 (1)

Bài giải:

Viết lại (1) dưới dạng tương đương sau: 2(x? +2) =5AÍX+1.Ajx°—x+1 (2)

Đặt u=¬/x+1; V=xx2 -x+1, với điều kiện x> —1

Vậy nghiệm của (1) là x => `

Ta có: u +v° = (u> - v?)(u2 - v*)- u?v2(u +V) (do uv = 1)

= (u2 +vŸ)(u2+v2)~(u+v) = Ia+vỷ ~3uv(u +v) ||(u+ v)? ~2uv |~(u +v)

Loại 3 Sử dụng phương trình tương đương hoặc hệ quả để giải phương trình chứa căn thức

Dat u=./2x +3 + yx+121

Tacé out =3x+44+2V2x2 +5x +3 vdi u>0 (2)

Thay (1) vao (2) va dan dén phương trình hệ quả sau: VỂ ~20=u St =u~ 20 =0 S| 1 TỔ, cus (do u>0)

u=-

Vậy (1) dẫn đến phương trình hệ quả sau:

x2-1 J2x+3+4x4+1=50 5

Thử lại x = 3 vào (1) thấy đúng, vậy (1) có nghiệm duy nhất x = 3

Loại 4 Hệ phương trình chứa căn thức

Khi đó từ (3) (4) có hệ: u+V = 7 v=3 2x+y+2=9 =l 9; y=25

(1) © (Jk+y} +Jx+y -20=00 Jx+y =4 (do yjX+Y >0)Cx+y=l6

x“+y°=136 ([(x+y)*-2xy=136 (xy =60

vầy hệ (1) (2) có hai nghiệm (10, 6) và (6, 10)

Dat u=fk+y 20; v=.fx-y 20

Ta phải có u>^B, v2.5, nhung ————<w

Vậy hệ (1) (2) vô nghiệm

-1<x<2; -1<y<2 |-1<x2; -1<y<2 y=x; -1<x<2

xx+1+¬Ÿ/2-x=^3 3+2./(x+1)(2- x) =3

Vậy (1) (2) có hai nghiệm (-1, -1); (2, 2)

Loại 5 Sử dụng phương pháp chiều biến thiên hàm số để giải phương trình và bất phương trình chứa

Vậy f(x) là hàm số đồng biến khi x< =

Ta có f(-1) = 0 Vay x = -1 la nghiệm duy nhất của (1)

Thi du 2:

Giải phương trình sau: jx2 +15 =3x~2+-/x2+8 (1)

Bài giải:

Viết lại (1) dưới dang f(x) = 3x -2+yx2+8 -Jx2+15=0 (2)

Hàm số f(x) xác định với mọi x thuộc R Xét hai kha nang sau:

Vay f(x) là hàm đồng biến khi x> —-2, mặt khác ta có f(0) = 5

Từ đó suy ra nghiệm của (2) là x > 0

Thí dụ 4:

Giải phương trình sau: „j(x + 2)(2x—1) - 32jx +6 =4 -/(x+6)(2xT—1)+3Ax+2 (1)

Viết lại (1) dưới dạng tương đương:

Vay f(x) la ham đồng biến khi x> 5, mặt khác f(7) = (213 +3)(-/13 - 3) =4

Do đó x = 7 là nghiệm duy nhất của (1)

Dễ thấy từ đây suy ra x = y = 0 hoặc x = y = 2

Đó là hai nghiệm của hệ (1), (2)

Loại 6 Phương pháp đánh giá hai vẽ để giải phương trình và bất phương trình chứa căn thức Phương pháp này dựa trên nhận xét sau:

- Nếu x > 2 và xeD, thì VP(3) > 0, VT(3) < 0, do đó loại khả năng này

- Nếu x < 2 và xeD, thì VP(3) < 0, VT(3) > 0, do đó loại khả năng này

- Với x = 2, thì rõ xeD và thỏa mãn (3), do VP = VT =0

Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của (1)

(3)

2/ Xét phương trình: yx? +2x+/2x-1 = fax? +4x+1 (1)

Vậy (1) có nghiệm duy nhất x18

Loại 7 Phương trình và bất phương trình chứa căn thức có tham số

Dạng 1 Giải và biện luận phương trình và bất phương trình căn thức có tham số Thí dụ 1:

Giải và biện luận theo a phương trình sau: x— 4a+16 - 2A/x - 2a + 4 +¬/x =0 (1

- Nếu m < 0: Phương trình có nghiệm x = 1 - 2m

- Nếu m = 0: Phương trình có nghiệm x = 0

- Nếu 0 <m <- : Phương trình có nghiệm x = 0 và x = 1 ~ 2m

- Nếu m>=: Phương trình có nghiệm x = 0

1 Nếu a = 0, bất phương trình (1) có dạng 2x + fx? >0 (2) Rõ ràng (2) vô nghiệm

2 Nếu a > 0, bất phương trình (1) có dạng ofa? — x? > -2x (3)

Tóm lại ta có kết luận sau: 1 Nếu a = 0: Phương trình (1) vô nghiệm

2 Nếu a #0: Phương trình (1) có nghiệm là PS <x<|al

Dạng 2 Các bài toán định tính về phương trình và bat phương trình chứa tham số

Thay lại vào (1) có hay m=¬l8 =3-/2

Vậy điều kiện cần đế phương trình có nghiệm duy nhất là m = 3-/2

Đảo lại: khi m = 3-/2, ta có phương trình: y4- x +¬^jx+5 =3-/2

—-5sxs4 -Sexs4 -S<xs4 =5<Xx<S4

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất m = 3-/2

Lập bảng biến thiên sau:

Từ đó suy ra (*) có nghiệm duy nhất (tức là phương trình đã cho có nghiệm duy nhất) khi và chí khi:

Từ đó suy ra hệ trên có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng

u+v=m là tiếp tuyến với cung tròn AB (cung ở góc phần tư thứ nhất),

(3) ©(u+v)®-2uv=9 ©(u+v})Ÿ~ 2[(u +v)-m]=9

c©(u+v)2-2(u+v)+2m=9 ©(u+v)“- 2(u+v)+2m-9=0 (4)

Dễ thấy (1) có nghiệm (2) (3) có nghiệm

Cũng thấy ngay điều đó xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng u+v =1+¬/—-10+ 2m nằm giữa hai đường thẳng u + v

= 3và u+v=3-/2, tức là khi và chỉ khi:

III BAI TAP CUNG CO KIEN THUC

1 Cac dé thi tuyén sinh DH - CD

Bài 1: (Đại học, Cao đẳng khối B - 2002)

Bài 2: (Đại học Cao, đẳng khối D - 2002)

Vậy nghiệm của (1) là (—, - 1 \z{2} ‹;[3, + =)

Bài 3: (Đại học, Cao đẳng khối A - 2004)

Bài 4: (Đại học, Cao đăng khối D - 2004)

Cho hệ phương trình: Vi+ fy =1 ()

Tacé w+v? =1—- 3m © (u+v)Ÿ - 3uv(u +v)=1— 3m

Khi u+v =1, ta có uv=m

u+v=1 (6) Vay (3) (4) (5) oyuv=m (7)

Vậy 0<m<2 là tất cả các giá trị cần tìm của tham số m

Bài 5: (Đại học, Cao đẳng khối A - 2005)

Vậy nghiệm của (1) là 2 < x < 10

Bài 6: (Đại học, Cao đẳng khối D - 2005)

Bài 7: (Đại học, Cao đẳng khối A - 2006)

Fi 5 7? )\ 2 = St=30,hy =30 xy =9 4t© + 4t+16 =121-22t+t 3t“ + 26t—105 =0 105

3 vậy 4) G)S {UY xey =3

Thay (4) vào (5) và có: 4 =-/x+1+ jy+1 <4

Điều đó chứng tỏ rằng trong bất đẳng thức Bunhiacopski có dấu bằng

Bài 8: (Đại học, Cao đẳng khối D - 2006)

Bài 9: (Đại học, Cao đẳng khối B - 2006)

Cho phương trình: ix? +mx +2 =2x 41 (1)

Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt

Bài giải:

X“ +mx +2 =4x“ +4x+1 f(x) = 3xˆ + x(4 -m) —1=0 (3) Bài toán trở thành: Tìm m đế hệ (2) (3) có hai nghiệm phân biệt Điều đó xảy ra khi và chỉ khi (3) có hai nghiệm

i Giải và biện luận theo a bất phương trình sau: -/x— a > +/X— 2a + 2x - 3a

: Đáp số: 1/ Nếu a < 0: vô nghiệm

'2/ Nếu a>0: 3a <x< 28G + v3)

Bài 7:

Giải và biện luận theo a bat phương trình sau: +ja+ 2jx +¬Ía-xjx < V2

Đáp số: 1/ Nếu a < 0: vô nghiệm

2/ Nếu 0<a<1: 0<x«<aˆ

3/ Nếu 1<a<2: 4(a- 1)<x < a2

4/ Nếu a > 2: vô nghiệm